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不定方程
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程.一般来说，不定方程有无数多个解，特殊情况(如整数）可能只有个别解.
求方程的正整数解.
练习1. 设，都是正整数，且满足，求的值.
14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克。问：大、中、小号钢珠各多少个
练习2. 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚
已知是三个最简真分数，如果每个分数的分子都加上，分母不变，所得三个新分数的和为，求这三个分数.
练习3. 甲班有42名学生，乙班有48名学生。某次考试后各班学生成绩的总和相等，平均分均为整数，且平均成绩均高于80分，那么甲班平均成绩比乙班平均成绩高多少分？
袋子里有三种颜色不同的球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从袋中取出10个球，数字和为21，问小明摸出的球中，红球最多不超过多少个？
练习4. 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43。问：小明最多摸出几个标有数字2的球
例5.（百鸡问题）公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问可买公鸡、母鸡、小鸡各几只？
练习5. 某次聚餐（有男宾和女宾），每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加？
作业：
求不定方程的正整数解.
一个长方形的长和宽均为整数，其周长数值和面积数值相等，求这个长方形的长和宽.
小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？
袋中有三种球，分别标有数字2、3和5，小明从中摸出12个球，它们数字和为41。问小明最多摸出几个标有数字3的球？
某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位女生的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数.
参考答案
例1.解:∵方程的一组特解为，∴方程的全部正整数解为（为整数）.∵，∴，∴整数=-3或-2或-1.当=-3时，；当=-2时，；当=-1时，.∴方程的正整数解为或或.
练习1.解：∵，∴.方程的一组特为解=13，=-2.∴方程的全部整数解为.∵,，∴(为整数）..∴.∴整数，∴.∴.
解：设大、中、小号钢珠各有个.由题意得：，整理得，∴.∵均为自然数，∴为3的倍数.经验算只有符合要求.这时，14-3-3=8（个）.
答：大号钢珠有3个，中号钢珠有3个，小号钢珠有8个.
练习2.解：设有个大和尚，个小和尚，由题意知1个大和尚每天吃个馒头，1个小和尚每天吃个馒头.列方程：，化为.∴.
∵493与63互质，又都是正整数.∴为63的倍数.∴最小为63.这时，，（人）.答：庙里至少有556个和尚.
例3.解：由题意得，去 分母得，
∴ (1) ,∵是最简真分数，∴,∴（1）式化为，∴ (2)，∵、都是最简真分数，∴或2，或3，经验算只有,符合（2）式.∴这三个分数为.
练习3.解：设甲班的平均成绩为分，乙班的平均成绩为分，依题意，列方程，.∵都是大于80且不大于100的整数，且是7的倍数，∴，对应的，只有符合题意，96-84=12（分）.
答：甲班平均成绩比乙班平均成绩高12分.
例4.解：设摸出的球中，蓝球有个，黄球有个，则红球有个，列方程，整理得 （1），要使红球尽量多，就要尽量大，即尽量小，（1）化为，∴就要尽量大.由（1）式可知一定是奇数.当时，取得最大值5，∴=4.
答：小明摸出的球中，红球最多不超过4个.
练习4.解：设标有数字2和3的球分别有个、个，则标有数字5的球有个.列方程：，化为.解得或或.
∴最大为5.
答：小明最多摸出5个标有数字2的球.
解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只.依题意得，化为.∴.∴.
答：公鸡4只，母鸡78只或公鸡8只，母鸡1只，小鸡81只或公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只.
练习5.设男宾有人，女宾有人，则孩子有人，列方程:,化为.∴.∵都是正整数，∴为4的倍数.又为整数，∴只有符合，这时孩子人数为（人），
12+3+5=20（人）.
答：这次活动共有20人参加.
作业
∵是方程的一个解，∴方程的所有正整数解为（为整数）.
∵，∴，∴，∴整数或-1.当时，；当时，.∴元方程的正整数解为或.
解：设长方形的长为，宽为，则.∴，∴.∵均为整数，∴为4的因数.∴=1或2或4.∴或4或6，对应的=6或4或3.∴这个长方形的长和宽分别为6和3或4和4.
解：设一共有个早上，个晚上，则化为，解得或.当时，12×1+5×3=27（声）.当时，7×1+8×3=31（声）.
∵27<31，∴波斯猫至少叫27声.
答：波斯猫至少叫了27声.
解：设标有数字2和3的球分别有个和个，则标有数字5的球有（12-）个.列方程：.化为，解得或或，∴最大为8.
答：小明最多摸出8个标有数字3的球.
解：由题意得，且整除，而，∴、都整除46，由此得或.当时，得每人捐款25元，当时，得每人捐款47元.
综上，每人捐款数为25元或47元.
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