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2022年广东省广州市花都区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列四个实数中，为无理数的是（　　）
A．3 B． C． D．0.3
2．甲、乙两位学生各进行5次一分钟跳绳训练，经统计两人的平均成绩相同，方差分别为S甲2＝3.2，S乙2＝1.8，则成绩更为稳定的是（　　）
A．甲 B．乙
C．甲、乙成绩一样稳定 D．无法确定
3．（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
4．下列计算正确的是（　　）
A．2a a2＝2a3 B．3a3÷2a＝a2 C．（2a2）3＝6a5 D．5a2﹣2a＝3a
5．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．70° C．110° D．140°
6．甲、乙两位同学去图书馆参加整理书籍的志愿活动，已知甲每小时比乙多整理5本，甲整理80本书所用的时间与乙整理70本书所用的时间相同，设乙每小时整理x本书，根据题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
7．函数y＝ax2+1与y在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程x2﹣6x+m+6＝0的两个实数根，则m的值是（　　）
A．m＝2 B．m＝9 C．m＝3或m＝9 D．m＝2或m＝3
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则∠BAD的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
10．已知，直线l：yx﹣3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线l上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．3 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，则∠BOC的度数为 　 　．
12．　 　．
13．已知直线y＝2x与直线y＝﹣x+b交于点（2，4），则关于x，y的方程组的解是 　 　．
14．若关于x的方程的解为负数，则点（m，m+2）在第 　 　象限．
15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB＝AC＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论：
①AE＝BC；
②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2；
③EF＝AE+DH；
④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6：5．
其中正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解不等式组：．
18．如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．
19．已知P（）．
（1）化简P；
（2）若b＝﹣a，求P的值．
20．为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，学校计划对每位学生进行家访，家访的形式由家长自行选择，某班主任对本班学生家长的家访形式进行调查统计，并绘制如下的统计表和不完整的扇形统计图．
家访形式 数量（人）
入户家访 4
电话家访 15
短信家访 16
到校家访 10
（1）扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是 　 　．
（2）若选择“入户家访”的四位学生分别为A，B，C，D，班主任决定本周从这四人中随机选取两人进行入户家访，用列表法或画树状图法求恰好选中A，B两人的概率．
21．学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．
（结果保留小数点后一位．1.414，1.732）
22．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6．
（1）在AB上求作点E，使得EA＝EC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠ACB＝2∠A，求AE的长．
23．如图，反比例函数y经过点M（a，b），其中a，b满足（b）2＝0．
（1）求反比例函数y的解析式；
（2）以点M为圆心，MO为半径画圆，点N是圆周上一点，且∠OMN＝120°，求点N的坐标．
24．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且AD＝BD．
（1）若AC＝6，BC＝8，AB＝10，求∠ACD的度数；
（2）证明：∠ACB+∠ADB＝180°；
（3）设k，试判断CA，CD，CB之间的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
25．已知抛物线y＝mx2+（l﹣3m）x+1﹣4m（m）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点C（4，5）．
（1）判断点C（4，5）是否在抛物线上；
（2）直线AC与抛物线的对称轴交于点D，连接BC，BD．
①若S△BCD＝6，求抛物线的解析式；
②将直线AC沿x轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为E，F是线段AE上的一点，且EF＝3AF．P是△ABC的外心，设过点P，F的直线l与x轴的夹角为α（0°＜α≤90°）．试判断α的大小是否发生变化．若不变，请求出tanα的值；若发生变化，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列四个实数中，为无理数的是（　　）
A．3 B． C． D．0.3
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
解：3是整数，是分数，0.3是有限小数，这些都属于有理数；
是无理数．
故选：C．
2．甲、乙两位学生各进行5次一分钟跳绳训练，经统计两人的平均成绩相同，方差分别为S甲2＝3.2，S乙2＝1.8，则成绩更为稳定的是（　　）
A．甲 B．乙
C．甲、乙成绩一样稳定 D．无法确定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解：∵甲、乙两位学生的平均成绩相同，S甲2＝3.2，S乙2＝1.8，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩较为稳定的是乙．
故选：B．
3．（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
解：点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2），
故选：D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．2a a2＝2a3 B．3a3÷2a＝a2 C．（2a2）3＝6a5 D．5a2﹣2a＝3a
【分析】根据单项式乘除单项式法则，积的乘方、幂的乘方法则及同类项定义逐项判断．
解：A、2a a2＝2a3，故A正确，符合题意；
B、3a3÷2aa2，故B错误，不符合题意；
C、（2a2）3＝8a6，故C错误，不符合题意；
D、5a2与﹣2a不是同类项，不能合并，故D错误，不符合题意；
故选：A．
5．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠OAB＝20°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．70° C．110° D．140°
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA＝20°，从而利用三角形内角和定理可得∠AOB的度数，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
解：∵OA＝OB，∠OAB＝20°，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝140°，
∴∠C∠AOB＝70°，
故选：B．
6．甲、乙两位同学去图书馆参加整理书籍的志愿活动，已知甲每小时比乙多整理5本，甲整理80本书所用的时间与乙整理70本书所用的时间相同，设乙每小时整理x本书，根据题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
【分析】设乙每小时整理x本书，根据甲整理80本书所用的时间与乙整理70本书所用的时间相同，列方程即可得到结论．
解：设乙每小时整理x本书，根据题意列方程得，
故选A．
7．函数y＝ax2+1与y在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一．
解：A、反比例函数图象在第二、四象限，因此﹣a＜0，可得a＞0，二次函数开口向上，则a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，则a＜0，一致，故此选项正确；
B、抛物线与y轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
C、反比例函数图象在第二、四象限，因此﹣a＜0，可得a＞0，二次函数开口向下，则a＜0，前后矛盾，故此选项错误；
D、抛物线与y轴交于负半轴，不合题意，故此选项错误；
故选：A．
8．已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程x2﹣6x+m+6＝0的两个实数根，则m的值是（　　）
A．m＝2 B．m＝9 C．m＝3或m＝9 D．m＝2或m＝3
【分析】①当腰长为4时，直接把x＝4代入原方程即可求出m的值；
②当底边为4时，那么x的方程x2﹣20x+m＝0的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值．
解：①当腰长为4时，把x＝4代入原方程得16﹣24+m+6＝0，
∴m＝2，
∴原方程变为：x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝4，x2＝2，
∵4+2＞4
∴能构成三角形；
②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+6＝0的两根是相等的，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+6）＝0，
∴m＝3，
∴方程变为x2﹣6x+9＝0，
∴方程的两根相等为x1＝x2＝3，
∵3+3＞4
∴能构成三角形；
综上，m的值是2或3，
故选：D．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则∠BAD的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过B作BE⊥AD于E，由菱形的性质得AB＝AD，OAAC＝4，OBBD＝3，AC⊥BD，再由勾股定理得AB＝AD＝5，然后由菱形面积求出BE的长，即可解决问题．
解：如图，过B作BE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝6，
∴AB＝AD，OAAC＝4，OBBD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴AB＝AD5，
∵BE⊥AD，
∴S菱形ABCD＝AD BEAC BD8×6＝24，
∴BE，
在Rt△ABE中，sin∠BAD，
故选：C．
10．已知，直线l：yx﹣3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线l上的动点，将OM绕点O逆时针旋转60°得ON．连接BN，则线段BN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．3 D．3
【分析】设直线l交y轴于E，可得A（，0），E（0，﹣3），B（，0），AB＝2，当M在直线l上运动时，N的轨迹是将直线l绕点A逆时针旋转60°得到的一条直线AN，设直线AN交y轴于D，过B作BH⊥AN于H，当M运动到E时，过NC⊥x轴于C，可得N（，），直线AN解析式为yx+3，令x＝0得D（0，3），OD＝3，从而可得∠DAO＝60°，在Rt△ABH中，BH＝AB sin60°＝3，即得当N运动到H时，BN的最小值即为BH的长3．
解：设直线l交y轴于E，
在yx﹣3中，令y＝0得x，令x＝0得y＝﹣3，
∴A（，0），E（0，﹣3），
∵点B与点A关于y轴对称，
∴B（，0），AB＝2，
OM绕点O逆时针旋转60°得ON，
∴当M在直线l上运动时，N的轨迹是将直线l绕点A逆时针旋转60°得到的一条直线AN，
设直线AN交y轴于D，过B作BH⊥AN于H，当M运动到E时，过NC⊥x轴于C，如图：
由已知可得：△MON是等边三角形，
∴ON＝OM＝3，∠NOC＝30°，
∴CN，OC，
∴N（，），
由N（，），A（，0）可得直线AN解析式为yx+3，
令x＝0得y＝3，
∴D（0，3），OD＝3，
∴tan∠DAO，
∴∠DAO＝60°，
在Rt△ABH中，
BH＝AB sin60°＝23，
∴当N运动到H时，BN的最小值即为BH的长3，如图：
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，则∠BOC的度数为 　130°　．
【分析】根据补角的概念直接计算即可．
解：∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°．
12．　3　．
【分析】原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．
解：原式23．
故答案为：3
13．已知直线y＝2x与直线y＝﹣x+b交于点（2，4），则关于x，y的方程组的解是 　　．
【分析】根据方程组的解是一次函数的交点坐标解答即可．
解：∵直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点坐标为（2，4），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
∴方程组的解，
故答案为：．
14．若关于x的方程的解为负数，则点（m，m+2）在第 　三　象限．
【分析】解方程得出x＝m+2，根据解为负数得出m＜﹣2，从而得出答案．
解：解关于x的方程，得：x＝m+2，
根据题意知，m+2＜0，
解得m＜﹣2，
∴点（m，m+2）在第三象限，
故答案为：三．
15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB＝AC＝4，则图中阴影部分的面积为 　4　．
【分析】连接OD，根据切线的性质及AB＝AC可判断△ABC、△BOD是等腰直角三角形，再根据阴影部分的面积为（S扇形BOD﹣SRt△BOD）+（S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形AOD）计算即可．
解：连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC＝4，
∴OA＝OB＝OD＝2，∠ACB＝∠ABC＝∠ODB＝45°，
∴∠BOD＝90°＝∠AOD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴阴影部分的面积为：（S扇形BOD﹣SRt△BOD）+（S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形AOD）
＝π﹣2+8﹣2﹣π
＝4．
故答案为：4．
16．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论：
①AE＝BC；
②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2；
③EF＝AE+DH；
④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6：5．
其中正确的结论是 　①②④　．（填写所有正确结论的序号）
【分析】①根据矩形的性质证明△ADE是等腰直角三角形，进而可以判断；
②首先证明△GCH∽△ECB，证明△AEF≌△BCE（AAS），可得EF＝EC，可得四边形CEFG是正方形，所以CG＝CE，进而可以判断；
③根据勾股定理可得DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，根据EF＝2，AE＝4，即可判断；
④设AF＝DF＝a，则AD＝BC＝AE＝2a，可得AB＝AE+BE＝3a，所以S四边形ABCD＝2a 3a＝6a2，根据勾股定理可得EFa，所以得S四边形EFGC＝EF2＝5a2，进而可以判断．
解：①在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝BC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
∴AE＝BC；故①正确；
②∵∠GCH+∠HCE＝90°，∠ECB+∠HCE＝90°，
∴∠GCH＝∠ECB，
∵∠G＝∠B＝90°，
∴△GCH∽△ECB，
∴，
∵∠AEF+∠CEB＝90°，∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠AEF＝∠BCE，
在△AEF和△BCE中，
，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴EF＝EC，
∵四边形CEFG是矩形，
∴四边形CEFG是正方形，
∴CG＝CE，
∵，
∴CE2＝CH CB＝5×4＝20，
∴CE＝2；故②正确；
③∵BC＝AE＝4，CE＝2，
∴BE2，
∴CD＝AB＝AE+BE＝4+2＝6，
∴DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，
∵EF＝2，AE＝4，
∴EF≠AE+DH；故③错误；
④当F是AD的中点时，
设AF＝DF＝a，则AD＝BC＝AE＝2a，
∵BE＝AF＝a，
∴AB＝AE+BE＝3a，
∴S四边形ABCD＝2a 3a＝6a2，
∵EFa，
∴S四边形EFGC＝EF2＝5a2，
∴S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6a2：5a2＝6：5．故④正确．
综上所述：①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式2x﹣1＞x+2得：x＞3，
解不等式3（x﹣1）≤9得：x≤4，
则不等式组的解集为3＜x≤4．
18．如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．
【分析】利用SAS证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝BC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴DC＝EC．
19．已知P（）．
（1）化简P；
（2）若b＝﹣a，求P的值．
【分析】（1）先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法即可；
（2）由b＝﹣a，可以得到a+b，然后代入（1）中化简后的式子即可．
解：（1）P（）

；
（2）∵b＝﹣a，
∴a+b，
当a+b时，原式．
20．为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，学校计划对每位学生进行家访，家访的形式由家长自行选择，某班主任对本班学生家长的家访形式进行调查统计，并绘制如下的统计表和不完整的扇形统计图．
家访形式 数量（人）
入户家访 4
电话家访 15
短信家访 16
到校家访 10
（1）扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是 　128°　．
（2）若选择“入户家访”的四位学生分别为A，B，C，D，班主任决定本周从这四人中随机选取两人进行入户家访，用列表法或画树状图法求恰好选中A，B两人的概率．
【分析】（1）用360°乘以“电话家访”的人数占总人数的比例即可；
（2）列表展示所有4种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是360°128°，
故答案为：128°；
（2）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等情况数，其中恰好选中A，B两人的有2种，
所以恰好选中A，B两人的概率为．
21．学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．
（结果保留小数点后一位．1.414，1.732）
【分析】延长BC，交过点A的水平线于点E，根据题意可得BE⊥AE，AD＝BE＝30米，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后进行计算即可解答．
解：如图：延长BC，交过点A的水平线于点E，
则BE⊥AE，AD＝BE＝30米，
在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，
∴AE10（米），
在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，
∴EC＝AE tan45°＝10（米），
∴BC＝BE﹣EC＝30﹣1012.7（米），
∴大树BC的高约为12.7米．
22．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6．
（1）在AB上求作点E，使得EA＝EC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠ACB＝2∠A，求AE的长．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AB于点E，连接EC即可；
（2）证明△BCE∽△BAC，推出BC2＝BE BA，求出BE，可得结论．
解：（1）如图，点E即为所求；
（2）∵EA＝EC，
∴∠A＝∠ECA，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCE＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCE∽△BAC，
∴BC2＝BE BA，
∴BE4，
∴AE＝AB＝EB＝9﹣4＝5．
23．如图，反比例函数y经过点M（a，b），其中a，b满足（b）2＝0．
（1）求反比例函数y的解析式；
（2）以点M为圆心，MO为半径画圆，点N是圆周上一点，且∠OMN＝120°，求点N的坐标．
【分析】（1）首先利用二次根式和平方的非负性可得a＝1，b，从而得出点M的坐标，即可得出答案；
（2）作MA⊥y轴于A，根据点M的坐标可得tan∠AMO，OM＝2，则∠AMO＝60°，则⊙M与y轴的另一个交点即为N，此时∠OMN＝120°，延长AM交⊙M于N'，此时∠OMN'＝120°，分别求出点N和N'的坐标即可．
解：（1）∵（b）2＝0．
∴a﹣1＝0，b0，
∴a＝1，b，
∴M（1，），
∵反比例函数y经过点M（a，b），
∴k＝1，
∴反比例函数y的解析式为y；
（2）如图，作MA⊥y轴于A，
∵M（1，），
∴AM＝1，OA，
∴tan∠AMO，OM＝2，
∴∠AMO＝60°，
则⊙M与y轴的另一个交点即为N，此时∠OMN＝120°，
∴ON＝2OA＝2，
∴N（0，2），
延长AM交⊙M于N'，此时∠OMN'＝120°，
∴AN'＝AM+MN'＝1+2＝3，
∴N'（3，），
综上：N（0，2）或（3，）．
24．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且AD＝BD．
（1）若AC＝6，BC＝8，AB＝10，求∠ACD的度数；
（2）证明：∠ACB+∠ADB＝180°；
（3）设k，试判断CA，CD，CB之间的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【分析】（1）证出△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，由角平分线的性质得出答案；
（2）过点D分别作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，证明△DCM≌△DCN（AAS），由全等三角形的性质得出DM＝DN，CM＝CN，证明△DAM≌△DBN（HL），由全等三角形的性质得出∠ADM＝∠BDN，由四边形内角和定理可得出答案；
（3）过点A作AE⊥AB于点E，证明△DMC∽△DEA，由相似三角形的性质可得出结论，则可得出结论．
【解答】（1）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴AC2+BC2＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD∠ACB＝45°；
（2）证明：过点D分别作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCM＝∠CDN，
又∵∠CMD＝∠CND，CD＝CD，
∴△DCM≌△DCN（AAS），
∴DM＝DN，CM＝CN，
∵AD＝BD，
∴△DAM≌△DBN（HL），
∴∠ADM＝∠BDN，
∴∠ADM+∠ADN＝∠BDN+∠ADN，即∠MAN＝∠ADB，
在四边形MDNC中，∠ACB+∠MDN+90°+90°＝360°，
∴∠ACB+∠MDN＝180°，
∴∠ACB+∠ADB＝180°；
（3）解：过点A作AE⊥AB于点E，
∵AD＝BD，
∴AEAB，
由（2）可得△DAM≌△DBN，
∴AM＝BN，
∴CB+CA＝CN+BN+CM﹣AM＝2CM，
∴CM（CB+AC），
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴△DMC∽△DEA，
∴，
∵，
∴k，
∴k，
∴CA+CB＝kCD．
25．已知抛物线y＝mx2+（l﹣3m）x+1﹣4m（m）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点C（4，5）．
（1）判断点C（4，5）是否在抛物线上；
（2）直线AC与抛物线的对称轴交于点D，连接BC，BD．
①若S△BCD＝6，求抛物线的解析式；
②将直线AC沿x轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为E，F是线段AE上的一点，且EF＝3AF．P是△ABC的外心，设过点P，F的直线l与x轴的夹角为α（0°＜α≤90°）．试判断α的大小是否发生变化．若不变，请求出tanα的值；若发生变化，请说明理由．
【分析】（1）直接把C的坐标代入解析式进行检验即可；
（2）①先求解抛物线与x轴的两个交点坐标，再求解AC的解析式，表示出D的坐标，再利用面积公式列方程，解方程即可；
②如图，过F作FH⊥x轴于H、过E作EK⊥x轴于K．先求得三角形的外心的坐标P（，）．再求AE的解析式为y＝﹣x﹣1．求出E（， ）．再利用相似三角形的性质求得F的坐标，设PF为y＝k1+b1，求出PF的解析式即可得到答案．
解：（1）把x＝4代入y＝mx2+（l﹣3m）x+1﹣4m得：
y＝16m+4（l﹣3m）+1﹣4m＝5，
∴点C（4，5）在抛物线上；
（2）①抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m，令y＝0，则mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝0，
∴（mx+1﹣4m）（x+1）＝0，
∵m，
解得x1，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
∵抛物线的对称轴为x，
∴D（，），
∵S△BCD＝S△ABC﹣S△ABD＝6，
∴5（1） （1）＝6，
整理得：m2＝1，解得m1＝1，m2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
②如图，过F作FH⊥x轴于H、过E作EK⊥x轴于K．
∵P是△ABC的外心，
∴PG、TL分别为AB、AC的垂直平分线，PG为抛物线的对称轴，
∴PG为x，
∵直线AC的解析式为y＝x+1，
∴∠CAB＝45°，
∵TL⊥AC，
∴∠OLT＝∠OTL＝45°，
设T（0，m1），L（m1，0），TL为y＝ex+f，
∴，解得e＝﹣1，
∴TL为y＝﹣x+f，
∵A（﹣1，0），C（4，5）．V为AC的中点，
∴V（，），
∴f，解得f＝4，
∴直线TL的解析式为y＝﹣x+4，
∴P（，），即P（，）．
∵AC与AE关于x轴对称，
∴AE的解析式为y＝﹣x﹣1．
∴，解得或，
∴E（， ）．
∵EF＝3AF．
∴，
∵FH∥EK，
∴△AHF∽△AKE，
∴，
∴FH||＝||．
∴F的纵坐标为．代入y＝﹣x﹣1．
∴F的横坐标为．
∴F（，），即F（，），
设PF为y＝k1+b1，
∴，解得，
∴PF的解析式为y＝3x﹣2，
当y＝0时，x，
∴SG，
∵PG．
∴tan∠PSG＝tanα3，
∴α的大小不会发生变化．tanα＝3．

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