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第3章 函数观点解决最值问题专题
第 4课时 矩形周长最值问题
【一、预备知识】
对于平面直角坐标系中的任意两点A（，），B（，），
（1）当AB为水平线段时，则，则其长度为： ；
（2）当AB为竖直线段时，则，其长度为： ；
【二、典型例题】
【例1】 如图，二次函数的图象与轴交于A （，0）、B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合）且横坐标为，过点M作轴的垂线，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥轴于点N．若点P在点Q左边，设矩形PMNQ的周长为l，请求出l与之间的函数关系式，并指出的取值范围；
（3）矩形PMNQ的周长是否存在最大值；若存在，请求出这个最大值及P点坐标；若没有最大值，请说明理由；
【三、进阶练习】
1、如图，抛物线与轴交于A、B两点．点N为线段AB上一点，过N作轴的垂线交抛物线于P．过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QM⊥轴于M，若点P在Q左侧，记P点的横坐标为，矩形PQMN的周长为l，则l与之间的函数关系式为 ，的取值范围是 ．
第1题图 第2题图
2、如图，抛物线与轴交于A （-3，0）、B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3）．点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合）且横坐标为，过点M作轴的垂线，与抛物线交于点E，过点E作ED∥AB交抛物线于点D，过点D作QN⊥轴于点N．若点D在点E左边，设矩形MEDN的周长为，则 与之间的函数关系式为 ，的取值范围为 ；当= 时，矩形MEDN的周长有最大值 ；
3、如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作轴的垂线，交轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．
【参考答案】
第4课时 《矩形周长最值问题》
【例1】 （1） ； （2），；
（2）当时，矩形PMNQ的周长有最大值：10；
【进阶练习】1、，；
2、，；当时，矩形MEDN的周长有最大值：10；
3、（1） ； （2），；
（2）当时，矩形PEFM的周长有最大值：10；
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