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第八章 立体几何初步
8.6.2直线与平面垂直 学案
一、学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义，理解点到平面的距离、直线与平面所成角的概念.
2.理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能够证明性质定理.
二、基础梳理
1.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
2.直线和平面所成角的定义：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
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3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
4.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
5.两平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
三、巩固练习
1.如图,在以下四个正方体中,直线与平面垂直的是( )
A.①② B.②④ C.①③ D.②③
2.若三条直线两两垂直,则直线垂直于( )
A.平面 B.平面 C.平面 D.平面
3.在正四面体中,已知分别是上的点(不含端点),则( )
A.不存在,使得 B.存在E,使得
C.存在E,使得平面 D.存在,使得平面平面
4.若斜线段AB的长是它在平面上的射影的长的2倍，则AB与平面所成的角是( )
A.60° B.45° C.30° D.120°
5.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20° B.40° C.50° D.90°
6.已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）
A.若,则 B.若 ,则
C.若,,则 D.若,,则
7.在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
8.如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，给出下列结论.
①AB与是相交直线；
②平面
③平面平面；
④平面
其中正确的结论是( )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
答案以及解析
1.答案：B
解析：对于①，由与所成角为，可得直线与平面不垂直；对于②，由，且，可得平面;对于③，由与所成角为,可得直线与平面不垂直；对于④，由平面，可得,同理，,可得平面.故选B.
2.答案：C
解析：∵，∴平面.
3.答案：D
解析：为了方便解题,将正四面体放入正方体中,如图所示.连接,对于选项A,取分别为的中点,则易知,所以选项A不正确;对于选项B,在正方体中,易知平面,因为过点D且与平面平行的平面不经过点E,所以不存在点E,使得,故选项B不正确;对于选项C,在正方体中,易证平面,所以不存在E,使得平面,故选项C不正确;对于选项D,设与平面的交点为K,连接,只要令平面与的交点为E即可得平面平面,故选项D正确.
4.答案：A
解析：斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，即是斜线段AB与平面所成的角.因为，所以，所以.
5.答案：B
解析：过球心O，点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，，，，，所以.故选B.
6.答案：A
解析：对于A，根据线面垂直的性质定理，即可知A正确；
对于B，若，，则或者、相交或者异面，所以B不正确；
对于C，若，，则，所以C不正确；
对于D，若，，则与的关系不确定，所以D不正确；
综上，选A．
7.答案：C
解析：∵在正四面体中，分别是的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故正确；
∵，是中点，
∴，，
∵，
∴平面，
∵，
∴平面，故正确；
∵平面，平面，
∴平面平面，
∵平面平面 ，且与平面不垂直，
∴平面与平面不垂直，故错误；
∵平面，且平面，
∴平面平面，故D正确,
故选C．
8.答案：D
解析：本题考查空间线面间的位置关系.对于①，在直三棱柱中，根据异面直线的定义知AB与是异面直线，所以①错误；对于②，的中点为D，且O是与的交点，所以O是的中点，连接OD，则因为平面平面所以平面所以②正确；对于③，因为平面，所以平面AOD与平面相交，所以③错误；对于④，因为在直三棱柱中，，所以四边形是正方形，平面因为所以平面所以④正确，故选D.

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