资源简介

第二节 函数的单调性与最值
·最新考纲·
1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性．
考向预测·
考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与
应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．
学科素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记 2个知识点
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意
两个自变量值 x1，x2
定义 当 x1f(x2)，那
当 x1么就说函数 f(x)在区间 D上是
f(x)在区间 D上是________
________
图象描述
自左向右看图象是 自左向右看图象是
________ ________
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间D上是________或________，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性，区间 D叫做函数 y＝f(x)的________．
(3)若函数 y＝f(x)在区间 D内可导，当________时，f(x)在区间 D上为增函数；当________
时，f(x)在区间 D上为减函数．
(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函
数，否则为减函数．简称“同增异减”．
[提醒] 有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，
只能用“，”或“和”连接．
2．函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
(1)对于任意 x∈I，都有________； (1)对于任意 x∈I，都有________；
条件
(2)存在 x0∈I，使得________ (2)存在 x0∈I，使得________
结论 M是 y＝f(x)的最大值 M是 y＝f(x)的最小值
[提醒] (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最
值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)．
二、必明 3个常用结论
1．函数 y＝f(x)(f(x)>0 或 f(x)<0) 1在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反．
f x
2 a．“对勾函数”y＝x＋ (a>0)的单调递增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调递减
x
区间是[－ a，0)，(0， a].
3．增函数与减函数形式的等价变形： x1，x2∈[a，b]且 x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－
f(x2)]>0 f x1 f x2 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x f x1 f x21)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，x1 x2 x1 x2
b]上是减函数．
三、必练 4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数 y＝|x|是 R上的增函数．( )
(2) 1函数 y＝ 的单调减区间是(－∞，0)∪ 0， +∞ .( )
x
(3)若函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )
(4)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数
f(x)在区间 D上是增函数．( )
(5)已知函数 y＝f(x)在 R上是增函数，则函数 y＝f(－x)在 R上是减函数．( )
(二)教材改编
2．[必修 1·P39习题 A组 T3改编]下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )
A. y＝2|x| B．y＝6－x
C． y 1＝ D．y＝－x2＋6
x
3．[ 1必修 1·P31例 4改编]函数 y＝ 在[2，3]上的最小值为( )x 1
A 2 B 1 C 1 D 1． ． ． ．－
2 3 2
(三)易错易混
4．(忽视函数的定义域出错)函数 f(x)＝ln (4＋3x－x2)的单调递减区间是________．
5．(忘记函数的单调区间出错)已知函数 y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且 f(a＋
1)(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷]下列函数中是增函数的为( )
x
A．f(x)＝－x B．f(x) 2＝
3
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝3 x
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 确定函数的单调性或单调区间 [基础性]
角度 1 判断或证明函数的单调性
1．(一题多解) ax试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1，1)上的单调性．
x 1
听课笔记：
反思感悟 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
(1)取值：设 x1，x2是定义域内的任意两个值，且 x1(2)作差、变形：作差 f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判
断差的符号的方向变形．
(3)定号：确定差的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．
(4)判断：根据定义作出结论．
[提醒] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度 2 利用函数图象求函数的单调区间
2．求函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
听课笔记：
一题多变
(变条件)若题 2中函数变为 f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
反思感悟 由图象确定函数的单调区间需注意两点
(1)单调区间必须是函数定义域的子集；
(2)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
角度 3 复合函数的单调区间
3．函数 f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
听课笔记：
反思感悟 复合函数单调性的确定方法
若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的
单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.
考点二 函数单调性的应用 [综合性]
角度 1 比较函数值的大小
[例 1] (1)[2022· 1 1武汉模拟]已知函数 f(x)＝ x ，若 a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(loge +1 2 38)，
则 a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b(2)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后关于 y轴对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－
f(x1)](x2－x1)<0
1
恒成立，设 a＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c的大小关系为( )
2
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
听课笔记：
反思感悟 利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自
变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法
进行求解.
角度 2 求函数的最值(值域)
[例 2] (1)[2022· 1河南郑州调研]函数 f(x)＝ x 2在 x∈[1，4]上最大值为 M，最小值为x
m，则 M－m的值是( )
A 31 9 11． B．2 C． D．
16 4 4
2
(2) y x +4函数 ＝ 2 的最大值为________．x +5
听课笔记：
反思感悟 利用函数单调性求最值应先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(可结合
本节微专题理解)
[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的
最大值，最小的作为分段函数的最小值．
角度 3 解函数不等式
[例 3] 已知 R上的函数 f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当 x>0时，f(x)>－1.
(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R上是单调增函数；
(2)若 f(1)＝1，解关于 x的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
听课笔记：
一题多变
(变条件，变问题)例 3 x中，函数 f(x)满足的条件改为“定义域为(0，＋∞)，f 1 ＝f(x1)－x2
f(x2)，当 x>1时，f(x)<0”．
(1)求 f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)求不等式 f(2x＋1)>f(2－x)的解集．
反思感悟
求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为 f(m)应注意 m，n应在定义域内取值.
角度 4 求参数的值或取值范围
a x 2，0 < x ≤ 1，
[例 4] (1)[2022·哈尔滨模拟]已知函数 f(x)＝ 在(0，＋∞)上为单调
loga x，x > 1，
递增函数，则 a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1，2)
C．(1，2] D．(0，2]
(2)[2022· x 5贵阳市高三摸底]函数 y＝ 在(－1，＋∞)上单调递增，则 a的取值范围是
x a 2
( )
A．a＝－3 B．a<3
C．a≤－3 D．a≥－3
听课笔记：
反思感悟 利用单调性求参数的方法
(1)依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间与已知单调区间比较．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
(3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
【对点训练】
1．[2022·西安模拟]已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1对称，当 x1≠x2且 x1，x2∈(1，＋
∞)时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0
1
恒成立，设 a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)，则 a，b，c的大小关
2
系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
2x 22．设函数 f(x)＝ 在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为 M，m m，则 ＝( )
x 2 M
A 2 B 3 C 3． ． ． D 8．
3 8 2 3
3 (2 a)x + 1，x < 1, f x f x．如果函数 f(x)＝ 满足对任意 x ≠x ，都有 1 2 1 2 >0成立，那么 , 1 x1 x2
实数 a的取值范围是( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(2，＋∞) D 3． ，2
2
x3，x ≤ 0，
4．[2022·济南模拟]已知函数 f(x)＝ 若 f(2－x2)>f(x)，则实数 x的取
ln x + 1 ，x > 0，
值范围是________．
微专题 求函数最值的常用方法
思想方法
一、单调性法
[例 1] a 1函数 f(x)＝－ ＋b(a>0)在 ，2 1上的值域为 ，2 ，则 a＝________，b＝________．
x 2 2
f(x) a解析：∵ ＝－ ＋b(a>0) 1在 ，2 上是增函数，
x 2
1 1
∴f(x)min＝f( )＝ ，f(x)max＝f(2)＝2.2 2
2a + b = 1，
即 2a 解得 a＝1，b
5
＝ .
+ b = 2， 2
2
答案：1 5
2
名师点评 利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定
函数的单调性．
二、不等式法
主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常用的不等式
有以下几种：
a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；
a+b ab(a≥0，b≥0)；
2
a+b 2 a2ab ≤ +b
2
≤ (a，b为实数)．
2 2
2
[例 2] 已知函数 f(x) sin x＝ ，则 f(x)的最大值为________．
sin x+2
2
解析：设 t＝sin x＋2，则 t∈[1 t 2 4，3]，则 sin2x＝(t－2)2，则 g(t)＝ ＝t＋ －4(1≤t≤3)，
t t
由“对勾函数”的性质可得 g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又 g(1)＝1，g(3)
1
＝ ，所以 g(t)max＝g(1)＝1.即 f(x)的最大值为 1.3
答案：1
名师点评 在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正”“二定”“三相等”，
特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
三、换元法
换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择
换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最
值．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
[例 3] (1)函数 f(x)＝x＋2 1 x的最大值为________；
(2)求函数 y＝x－ 4 x2的值域．
解析：(1)设 1 x＝t(t≥0)，所以 x＝1－t2，所以 y＝f(x)＝x＋2 1 x＝1－t2＋2t＝－t2
＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以当 t＝1即 x＝0时，ymax＝f(x)max＝2.
(2)换元法：由 4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设 x＝2cosθ(θ∈[0，π])，
则 y＝2cos θ－ 4 4 cos2 θ＝2cosθ－2sin θ
＝2 2cos θ + π ，
4
θ π π 5π因为 ＋ ∈ ， ，
4 4 4
所以 cos θ + π 2∈ 1， ，
4 2
所以 y∈[－2 2，2].
答案：(1)2 (2)y∈[－2 2，2]
名师点评 在使用换元法时注意换元后新元的范围(即定义域)，特别是三角换元后新函
数的周期性对值域的影响．
四、数形结合法
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值
的一种常用的方法．
a，a b
[例 4] 对 a，b∈R，记 max{a，b}＝ 函数 f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)
b，a < b，
的最小值是________．
解析：由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.
x + 1 ，x 1，
所以 x 1≥ .所以 f(x)＝ 2
2 x 2 ，x < 1 .
2
其图象如图所示：
1 1 1 3
由图象易知，当 x＝ 时，函数有最小值，所以 f x min＝f( )＝ + 1 ＝ .2 2 2 2

答案：

第二节 函数的单调性与最值
积累必备知识
一、
1．(1)增函数 减函数 上升的 下降的 (2)增函数 减函数 单调区间 (3)f′(x)>0
f′(x)<0
2．f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．解析：对于 A，y＝2|x|在[0，＋∞)上是增函数，所以在(0，1)上是增函数，正确；对
于 B 1，函数 y＝6－x在 R上是减函数，所以在(0，1)上是减函数，错误；对于 C，函数 y＝
x
在(0，＋∞)上是减函数，所以在(0，1)上是减函数，错误；对于 D，函数 y＝－x2＋6 在[0，
＋∞)上是减函数，所以在(0，1)上是减函数，错误．故选 A.
答案：A
3 1 1 1．解析：因为 y＝ 在[2，3]上单调递减，所以 ymin＝ ＝ .故选 B.x 1 3 1 2
答案：B
4．解析：由 4＋3x－x2>0得出函数 f(x)的定义域为－1为函数 t在 1 3 3， 上单调递增，在 ，4 上单调递减，而函数 y＝ln t在定义域上单调递增．根
2 2
3
据复合函数的单调性性质可知，函数的单调递减区间为 ，4 .
2

答案： ，

2 ≤ a+ 1 ≤ 2
5．解析：由条件知 2 ≤ 2a ≤ 2 ，解得：－1≤a<1.
a + 1 > 2a
答案：[－1，1)
6．解析：对于 f(x)＝－x，由正比例函数的性质可知，f(x)是减函数，故 A不符合题意；
x
对于 f(x) 2＝ ，由指数函数的单调性可知，f(x)是减函数，故 B不符合题意；对于 f(x)＝x2，
3
由二次函数的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故 C不符合
1
题意；对于 f(x)＝3 x＝x3，由幂函数的性质可知，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故选 D.
答案：D
提升关键能力
考点一
1．解析：方法 1：设－1x 1+1
＝ ＝a 1 + 1 ，
x 1 x 1
f(x1)－f(x ) a 1 +
1 a 1 + 1 a x x＝ － ＝ 2 12 ，x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
由于－1所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数 f(x)在(－1，1)上单调递减；
当 a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即 f(x1)方法 2：
'
f′(x) ax x 1 ax x 1
' a x 1 ax a
＝ 2 ＝ ＝－ .x 1 x 1 2 x 1 2
当 a>0时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1，1)上单调递减；
当 a<0时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1，1)上单调递增．
x2 + 2x + 1，x 0，
2．解析：f(x)＝
x2 2x + 1，x < 0
x 1 2 + 2，x 0，
＝
x + 1 2 + 2，x < 0.
画出函数图象，如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－
1，0)和(1，＋∞)．
一题多变
解析：函数 y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示，由图象可知，函数 y＝|－x2＋2x＋1|的单
调递增区间为(1－ 2，1]和(1＋ 2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1－ 2]和(1，1＋ 2].
3．解析：由 x2－2x－8>0，得 x>4或 x<－2.
设 t＝x2－2x－8，则 y＝ln t为增函数．
要求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数 t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．
∵函数 t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数 f(x)的
单调递增区间为(4，＋∞)．
答案：D
考点二
1
例 1 解析：(1)函数 f(x)＝ 1是 R 上的减函数，又 log 8<2<21.3<21.4＝40.7，所以
ex+1 2 3
f(40.7)(2)由于函数 f(x)的图象向左平移 1个单位长度后得到的图象关于 y轴对称，故函数 y＝f(x)
1 5
的图象关于直线 x＝1对称，所以 a＝f ＝f .当 x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2 2 2－x1)<0恒成
立，等价于函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以 b>a>c.故选 D项．
答案：(1)C (2)D
例 2 1 1解析：(1)因为 y＝ x和 y＝－ 2在[1，4]上是增函数，所以 f(x)＝ x 在[1，4]上x x2
是增函数，所以 M＝f(x)max＝f(4) 2
1 31
＝ － ＝ ，m＝f(1)＝0. 31因此 M－m＝ .故选 A项．
16 16 16
(2)令 x2 + 4＝t，则 t≥2，
∴x2＝t2 t 1－4，∴y＝ 2 ＝ ，t +1 t+1t
1
设 h(t)＝t＋ ，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
t
∴h(t)min＝h(2)
5
＝ ，
2
y 1 2∴ ≤ 5＝ (x＝0时取等号)．5
2
2
即 y最大值为 .
5
答案：(1)A (2)

例 3 解析：(1)令 x＝y＝0，得 f(0)＝－1.
在 R上任取 x1>x2，
则 x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又 f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以函数 f(x)在 R上是单调增函数．
(2)由 f(1)＝1，得 f(2)＝3，f(3)＝5.
由 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得 f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，
即 f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数 f(x)在 R上是增函数，故 x2＋x＋1>3，解得 x<－2或 x>1，故原不等式的解集为{x|x<
－2或 x>1}．
一题多变
解析：(1)令 x1＝x2>0，代入得 f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故 f(1)＝0.
(2)任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1>x2，
x
则 1>1，由于当 x>1时，f(x)<0，
x2
x
所以 f 1 <0，即 f(x
x 1
)－f(x2)<0，
2
因此 f(x1)(3)因为函数 f(x)在 (0，＋∞)上单调递减，所以不等式 f(2x＋ 1)>f(2－ x)等价于
2x + 1 > 0
2 x > 0 1，解得－ 2 3
2x + 1 < 2 x
1 1
故原不等式的解集为 x < x < .
2 3
a x 2，0 < x ≤ 1
例 4 解析：(1)要使函数 f(x)＝ ，在(0，＋∞)上为增函数，则满足
loga x，x > 1
a > 1， ，故 1a 2 ≤ 0
(2)y x 5 x a 2+a 3＝ ＝ ＝1 a 3＋ ，所以当 a－3<0时，y x 5＝ 的单调递增区间是(－∞，
x a 2 x a 2 x a+2 x a 2
a＋2)，(a＋2，＋∞)；当 a－3≥0 x 5时不符合题意．又 y＝ 在(－1，＋∞)上单调递增，所
x a 2
以(－1，＋∞) (a＋2，＋∞)，所以 a＋2≤－1，即 a≤－3，综上知，a的取值范围是(－∞，
－3].
答案：(1)C (2)C
对点训练
1．解析：依题意 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，且 f(x)关于 x＝1
对称，
∴a＝f 1 5＝f ，
2 2
f(e)2
即 c答案：D
2 2x 4．解析：因为 f(x)＝ ＝2＋ ，所以 f(x)在区间[3，4]上单调递减．
x 2 x 2
2 2
所以 M＝f(3) 2 4＝ ＋ ＝6，m＝f(4) 2 4 4 m 4 8＝ ＋ ＝ ，所以 ＝ ＝ .故选 D.
3 2 4 2 M 6 3
答案：D
3 x x f x1 f x．解析：因为对任意 1≠ 2，都有 2 >0，x1 x2
所以 y＝f(x)在 R上是增函数．
2 a > 0，
所以 a > 1 3， 解得 ≤a<2.2
2 a × 1 + 1 ≤ a，
故实数 a 3的取值范围是 ，2 .
2
答案：D
4．解析：根据函数 f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在 R上的增函数．
∴2－x2>x，∴－2答案：(－2，1)

展开更多......

收起↑