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第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
·最新考纲·
1．理解命题的概念．
2．了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相
互关系．
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．
·考向预测·
考情分析：命题的真假判断和充分必要条件仍是高考热点，题型仍为选择、填空题．
学科素养：通过四种命题的关系及充分、必要条件的判断考查逻辑推理的核心素养．
必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记 3个知识点
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题，其中________的语句叫
做真命题，________的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．
3．充分条件、必要条件与充要条件
若 p q，则 p 是 q 的________条件，q 是 p 的 p成立的对象的集合为 A，
________条件 q成立的对象的集合为 B
p是 q的________条件 p q且 q p A是 B的________
p是 q的________条件 p q且 q p B是 A的________
p是 q的________条件 p q ________
p是 q的__________条件 p q且 q p A，B互不________
二、必明 2个常用结论
1．四种命题间的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．
(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．
2．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若 p是 q的充分条件，则 q是 p的必要条件．
(2)传递性：若 p是 q的充分(必要)条件，q是 r的充分(必要)条件，则 p是 r的充分(必要)
条件，即“p q，且 q r” “p r”(“p q，且 q r” “p r”)．
三、必练 4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“x－3>0”是命题．( )
(2)一个命题非真即假．( )
(3)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则 q”．( )
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(5)当 q是 p的必要条件时，p是 q的充分条件．( )
(6)命题“若 p不成立，则 q不成立”等价于“若 q成立，则 p成立”．( )
(二)教材改编
2．[选修 2－1·P8习题 A组 T2改编]命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c
B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤b
C．若 a＋c>b＋c，则 a>b
D．若 a>b，则 a＋c≤b＋c
3．[选修 2－1·P10练习 T3改编]“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(三)易错易混
4 1．(对命题中条件与结论否定不全面)“－ 2
A 1．－ 2
C 1．－ 2 2
5．(忽视大前提)已知命题“对任意 a，b∈R，若 ab>0，则 a>0”，则它的否命题是
________________________________________________________________________．
6．(忽视等号的选取)已知 p：x>a，q：x≥2.
(1)若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是________；
(2)若 p是 q的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是________．
(四)走进高考
7．[2021·浙江卷]已知非零向量 a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 命题及其关系 [基础性]
1．已知命题 p：正数 a的平方不等于 0，命题 q：若 a不是正数，则它的平方等于 0，则
q是 p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
2．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是( )
A．逆命题为“周期函数不是单调函数”
B．否命题为“单调函数是周期函数”
C．逆否命题为“周期函数是单调函数”
D．以上都不正确
3．下列命题中为真命题的是( )
A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B．抛物线 y＝ax2＋2x－1与 x轴至少有一个交点
C.互相包含的两个集合相等
D．空集是任何集合的真子集
反思感悟
判断命题真假的方法
(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，
只需举出一个反例即可．
(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，
当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．
[提醒] 写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；
(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
考点二 充分条件与必要条件的判定 [综合性]
[例 1] (1)已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两
两相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2020·北京卷]已知α，β∈R，则“存在 k∈Z 使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”
的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
反思感悟
充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据 p q，q p进行判断．
(2)集合法：根据使 p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命
题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
【对点训练】
1．[2022·合肥市质量检测]“x>0” 1是“ >－2”的( )
x
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知条件 p：x＋y≠－2，条件 q：x，y不都是－1，则 p是 q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点三 充分、必要条件的应用 [应用性]
[例 2] 已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P是 x∈S
的必要条件，求实数 m的取值范围．
一题多变
1．(变条件)例 2条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P是 x∈S的充要条件？并说明理
由．
2．(变条件)若例 2变成设 p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋
m}，且 p是 q的必要不充分条件，求实数 m的取值范围．
反思感悟
1．根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键
(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系．
(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
2．解题时要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范
围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【对点训练】
设 p：ln (2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若 q是 p的必要不充分条件，则实数 a
的取值范围是________．
微专题 等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决
的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得
到圆满解决的思维方式．
[例] 设 p：|4x－3|≤1；q：a≤x≤a＋1，若 p是 q的必要不充分条件，则实数 a的取
值范围是( )
A 1． 0，
2
B 0 1． ，
2
C．(－∞，0]∪ 1， +∞
2
D．(－∞，0)∪ 1， +∞
2
解析：设 A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，则 A＝{x| 1 ≤ x ≤ 1}，又 p是 q的必
2
要不充分条件，∴p是 q的充分不必要条件，即 A?B，
1
a ≤ 1， a < ，
∴ 2 或 2
a + 1 > 1 a + 1 ≥ 1，
1
故所求实数 a的取值范围是 0， .
2
答案：A
名师点评
本例将“ p是 q的必要而不充分条件”转化为“p是 q的充分而不必要条件”；将 p、
q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，
体现了等价转化思想的应用．
[变式训练 1] 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其
中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[变式训练 2] 命题“对任意 x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可
以是( )
A．a≥4 B．a>4
C．a≥1 D．a>1
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
积累必备知识
一、
1．判断真假 判断为真 判断为假
2．(1)若 q，则 p 若 p，则 q 若 q，则 p (2)相同 没有关系
3．充分 必要 充分不必要 真子集
必要不充分 真子集 充要 A＝B
既不充分也不必要 包含
三、
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√
2．解析：命题的否命题是将原命题的条件、结论都否定，故题中命题的否命题是“若 a
≤b，则 a＋c≤b＋c”．
答案：A
3．解析：若 x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，
则 x的值也可能为－2.
答案：B
4 1 1．解析：依题意可知选项中的 x的取值范围 － 2 2
1
范围，所以选项中的 x的取值范围要比－ 2 2
条件是－1答案：B
5．答案：对任意 a，b∈R，若 ab≤0，则 a≤0.
6．解析：(1)因为 p是 q的充分不必要条件，所以{x|x>a} {x|x≥2}，则实数 a的取值范
围是 a≥2.
(2)因为 p是 q的必要不充分条件，所以{x|x≥2} {x|x>a}，则实数 a的取值范围是 a<2.
答案：(1)a≥2 (2)a<2
7．解析：若 a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出 a＝b；若 a＝b，则 a·c＝b·c 必成立，故
“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．
答案：B
提升关键能力
考点一
1．解析：“正数 a的平方不等于 0”即“若 a是一个正数，则它的平方不等于 0”，其否
命题为“若 a不是正数，则它的平方等于 0”．故选 B.
答案：B
2．解析：根据四种命题的构成可知，选项 A，B，C均不正确．故选 D.
答案：D
3．解析：A是假命题，当 m＝0时，mx2＋2x－1＝0 不是一元二次方程；B是假命题，
当 a＝－2时，抛物线 y＝ax2＋2x－1与 x轴无交点；C是真命题，即若 A B，B A则 A＝B；
D是假命题，空集是任何非空集合的真子集．
答案：C
考点二
例 1 解析：(1)由 m，n，l在同一平面内，可能有 m，n，l两两平行，所以 m，n，l可
能没有公共点，所以不能推出 m，n，l两两相交．由 m，n，l两两相交且 m，n，l不经过同
一点，可设 l∩m＝A，l∩ n＝B，m∩ n＝C，且 A n，所以点 A和直线 n确定平面α，而 B，C
∈n，所以 B，C∈α，所以 l，m α，所以 m，n，l在同一平面内．
(2)若存在 k∈Z 使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当 k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有 sin α＝sin (2nπ
＋β)＝sin β；当 k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有 sin α＝sin [(2n＋1)π－β]＝sin β.若 sin α
＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z)．
答案：(1)B (2)C
对点训练
1 1．解析：由 > 2x+1 1 1－2，得 >0，解得 x>0 或 x<－ ，所以“x>0”是“ >－2”的充分不必要
x x 2 x
条件．
答案：A
2．解析：因为 p：x＋y≠－2，q：x≠－1或 y≠－1，所以 p：x＋y＝－2， q：x＝－1
且 y＝－1，因为 q p，但 p q，所以 q是 p的充分不必要条件，即 p是 q的充分不必
要条件．
答案：A
考点三
例 2 解析：由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
∵x∈P是 x∈S的必要条件，则 S P.
1 m ≥ 2，
∴ 解得 m≤3.
1 + m ≤ 10，
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得 m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
一题多变
1．解析：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．
若 x∈P是 x∈S的充要条件，则 P＝S，
1 m = 2， m = 3，
∴ ∴
1 + m = 10， m = 9，
这样的 m不存在．
2．解析：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．
∵ p是 q的必要不充分条件，
p是 q的充分不必要条件．
∴p q且 q p，即 P?S.
∴ 1 m ≤ 2，
1 m < 2，
或
1 + m > 10 1 + m ≥ 10，
∴m≥9，又因为 S为非空集合，
所以 1－m≤1＋m，解得 m≥0，
综上，实数 m的取值范围是[9，＋∞)．
对点训练
1
解析：p对应的集合 A＝{x|y＝ln (2x－1)≤0}＝{x| < x ≤ 1}，q对应的集合 B＝{x|(x－
2
a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}．
由 q是 p的必要而不充分条件，知 A B.
所以 a 1≤ 且 a 1＋1≥1，因此 0≤a≤ .
2 2
1
答案： 0，
2
微专题 等价转化思想在充要条件中的应用
变式训练 1
解析：“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破
楼兰”是“返回家乡”的必要而不充分条件．
答案：B
变式训练 2
解析：要使“对任意 x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要 a≥4，所以 a>4是命题为
真的充分不必要条件．
答案：B

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