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第三节 函数的奇偶性与周期性
最新考纲·
1．了解函数奇偶性的含义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
·考向预测·
考情分析：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期
性交汇的问题仍是高考考查的热点．题型以选择、填空题为主，中等偏上难度．
学科素养：通过函数奇偶性和周期性的概念考查数学抽象的核心素养；通过函数性质的
应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记 2个知识点
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果函数 f(x)的定义域内______x都有
偶函数 关于______对称
______________________，那么函数 f(x)是偶函数
如果函数 f(x)的定义域内______x都有
奇函数 关于______对称
______________________，那么函数 f(x)是奇函数
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何
值时，都有 f(x＋T)＝________，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中______________的正数，那么这个
________就叫做 f(x)的最小正周期．
二、必明 3个常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反
的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
(2) 1若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
(3)若 f(x 1＋a)＝－ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
3．函数对称性常用结论
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称．
(2)若对于 R上的任意 x都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线
x＝a对称．
(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
三、必练 4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“a＋b＝0”是“函数 f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．( )
(2)若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)＝0.( )
(3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称．( )
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．( )
(5)已知函数 y＝f(x)是定义在 R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)
上是增函数．( )
(6)若 T为 y＝f(x)的一周期，那么 nT(n∈Z)是函数 f(x)的周期．( )
(二)教材改编
2．[必修 1·P36练习 T1改编]下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x 2－－ x D．f(x)＝2x 2－＋ x
3．[必修 1·P45复习题 B组 T4改编]设 f(x)是定义在 R上的周期为 2的函数，当 x∈[－1，
4x2 + 2， 1 ≤ x < 0，
1)时，f(x) 3＝ 则 f ＝________．
x，0 ≤ x < 1， 2
(三)易错易混
4 ( ) f(x) lg 1 x
2
．不化简函数解析式出错 函数 ＝ 是________函数．(填“奇”或“偶”或“非
x+3 3
奇非偶”)
5．(找不到函数的周期从而求不出结果)已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f x + 1 ，
2
1
且 f( )＝3 f 10 1，则 ＝________．
2 2
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷理]设函数 f(x) 1 x＝ ，则下列函数中为奇函数的是( )
1+x
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 函数奇偶性的判断 [基础性]
[例 1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 9 x2 + x2 9；
(2)f(x)＝(x＋1) 1 x；
1+x
2
(3)f(x) 4 x＝ .
x+3 3
x2 + 2x + 1，x > 0，
(4)f(x)＝
x2 + 2x 1，x < 0.
听课笔记：
反思感悟 判定函数奇偶性的两种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
[注意] 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在 x0使 f(－x0)＝－f(x0)，不能判
断函数 f(x)是奇函数．
考点二 函数奇偶性的应用 [综合性、应用性]
[例 2] (1)[2019·全国Ⅱ卷]已知 f(x)是奇函数，且当 x<0 时，f(x)＝－eax，若 f(ln 2)＝8，
则 a＝________．
(2)设奇函数 f(x)的定义域为[－5，5]，若当 x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式
f(x)<0 的解集是________．
听课笔记：
反思感悟 函数奇偶性的应用
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义
求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，
由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
[注意] 对于定义域为 I的奇函数 f(x)，若 0∈I，则 f(0)＝0.
【对点训练】
1．[2022·武汉质检]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x sin x B．y＝x ln x
x
C y e 1． ＝ x D．y＝x ln ( x2 + 1－x)e +1
2．已知 f(x)为定义在 R上的奇函数，当 x≥0时，f(x)＝2x＋m，则 f(－3)＝________．
3．[2022·贵阳市第一学期监测考试]函数 f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)
的和，则 g(1)等于( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
考点三 函数的周期性及其应用 [综合性]
[例 3] (1)[2022·重庆质检]已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，对任意的实数 x，f(x
－2)＝f(x＋2)，当 x∈(0，2) f(x) x2 f 13时， ＝ ，则 ＝( )
2
A 9．－ B 1 1 9．－ C． D．
4 4 4 4
(2)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，则 f(1)
＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
(3)已知 f(x)是 R上最小正周期为 2的周期函数，且当 0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数 y
＝f(x)的图象在区间[0，6]上与 x轴的交点个数为________．
听课笔记：
反思感悟 求函数周期的方法
方法 解读 适合题型
具体步骤为：对于函数 y＝f(x)，如果能够
找到一个非零常数 T，使得当 x取定义域
定义法 非零常数 T容易确定的函数
内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么
T就是函数 y＝f(x)的周期
采用递推的思路进行，再结合定义确定周
期．如：若 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x＋2a)
递推法 含有 f(x＋a)与 f(x)的关系式
＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以 2a
为 f(x)的一个周期
通过换元思路将表达式化简为定义式的
结构，如：若 f(x＋a)＝f(x－a)，令 x－a
换元法 ＝t，则 x＝t＋a，则 f(t＋2a)＝f(t＋a＋a) f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以 2a为 f(x)的一个
周期
【对点训练】
1．已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且 f(1) 2＝ ，f(0)≠0，
2 2
则 f(2021)＝( )
A．2021 B．1 C．0 D．－1
2．已知函数 f(x)的定义域为 R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A．f 1 ＝0 B．f(－1)＝0
2
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
考点四 函数性质的综合运用 [综合性]
角度 1 函数的单调性与奇偶性
[例 4] (1)已知奇函数 f(x)在 R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若 a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，
c＝g(3)，则 a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b(2)[2020·新高考Ⅰ卷]若定义在 R的奇函数 f(x)在(－∞，0)单调递减，且 f(2)＝0，则满足
xf(x－1)≥0的 x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪ 3， +∞
B．[－3，－1]∪ 0，1
C．[－1，0]∪ 1， +∞
D．[－1，0]∪ 1，3
听课笔记：
反思感悟
1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变
量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2．对于抽象函数不等式的求解，应变形为 f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变
成常规不等式，转化为 x1x2)求解.
角度 2 函数的奇偶性与周期性
[例 5] (1)[2022·贵阳调研]定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x<0时，
f(x)＝2x－1，则 f(log220)＝( )
A 1 1． B． C 1．－ D 1．－
4 5 5 4
(2)已知 f(x) 2a 3是定义在 R上的以 3为周期的偶函数，若 f(1)<1，f(5)＝ ，则实数 a的取
a+1
值范围为( )
A．(－1，4) B．(－2，0)
C．(－1，0) D．(－1，2)
听课笔记：
反思感悟
周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求
函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
角度 3 函数的奇偶性与对称性相结合
[例 6] 已知定义在 R上的函数 f(x)，对任意实数 x有 f(x＋4)＝－f(x)，若函数 f(x－1)的
图象关于直线 x＝1对称，f(－5)＝2，则 f(2 021)＝________．
听课笔记：
反思感悟 函数 f(x)满足的关系 f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数 f(x)
满足的关系 f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．
【对点训练】
1．[2022· 1 1佛山调研]已知函数 f(x)＝log2 + 1 + 2 + 3，则不等式 f(lg x)>3 的解集为x x
( )
A 1 1． ，10 B． ∞， ∪ 10， +∞
10 10
C．(1，10) D 1． ，1 ∪ 1，10
10
2．已知 f(x)是定义域为 R的奇函数，且函数 f(x＋2)为偶函数，则下列结论不正确的是
( )
A．函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若 f(－5)＝－1，则 f(2 019)＝－1
微专题 函数性质中“三个二级”结论的应用
数学抽象
函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题
时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，
再利用单调性解决相关问题．
结论 1 抽象函数的对称性
已知函数 f(x)是定义在 R上的函数．
(1)若 f(a＋x)＝f(b－x) a+b恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 对称，特别地，若 f(a＋x)
2
＝f(a－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称．
(2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)的图象关于点(a，
0)对称．
[例 1] 定义在 R 上的函数 f(x)满足：①对任意 x∈R有 f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上
是增函数；③f(1＋x)＝f(3－x)，则下列结论正确的是( )
A．f(7)B．f(7)C．f(4.5)D．f(4.5)解析：由①知函数 f(x)的周期为 4，由 f(1＋x)＝f(3－x)，知函数 f(x)图象关于直线 x＝2
对称，由②知函数 f(x)在[0，2]上单调递增，则在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上越靠近 x
＝2，对应的函数值越大，又 f(7)＝ f(3)， f(6.5)＝ f(2.5)， f(4.5)＝ f(0.5)，由以上分析可得
f(0.5)答案：D
结论 2 奇函数的最值性质
已知函数 f(x)是定义在区间 D上的奇函数，则对任意的 x∈D，都有 f(x)＋f(－x)＝0.特
别地，若奇函数 f(x)在 D上有最值，则 f x max + f x min＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0.
x+1 2[例 2] +sin x设函数 f(x)＝ 2 的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝________．x +1
解析：显然函数 f(x)的定义域为 R，
f(x) x+1
2+sin x 1 2x+sin x＝
x2
＝ ＋ ，
+1 x2+1
2x+sin x
设 g(x)＝ 2 ，则 g(－x)＝－g(x)，x +1
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知 g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min
＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案：2
结论 3 抽象函数的周期性
(1)如果 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
(2)如果 f(x＋a) 1＝ (a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
f x
(3)如果 f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
[例 3] [2022·江西鹰潭模拟]偶函数 f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0 时，f(x)
＝ x2＋1，则 f(2 020)＝( )
A．2 B．0
C．－1 D．1
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线 x＝0 对称，f(x)＝f(－x)．又 f(x)的图象关
于点(1，0)对称，
∴f(x)＝－f(2－x)，即 f(x)＝－f(x－2)．
∴f(x)的周期为 4.
∴f(2 020)＝f(2 020－4×505)＝f(0)，
又当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，
∴f(2 020)＝f(0)＝1.
答案：D
第三节 函数的奇偶性与周期性
积累必备知识
一、
1．任意一个 f(－x)＝f(x) y 轴 任意一个 f(－x)＝－f(x) 原点
2．f(x) 存在一个最小 最小正数
三、
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
2．解析：D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以 f(x)为偶函数，其余 A，B，C选项均不满
足 f(－x)＝f(x)．
答案：D
3 1 1 23．解析：f ＝f ＝－4× ＋2＝1.
2 2 2
答案：1
1 x2 > 0，
4．解析：由 得－1x + 3 3 ≠ 0，
2 2
0)∪ 0 1 f(x) lg 1 x lg 1 x， ，所以 ＝ ＝ ，
x+3 3 x
f( x) lg 1 x
2
因为 － ＝ ＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数．
x
答案：奇
5．解析：因为 f(x)＝－f x + 1 ，所以 f(x＋1)＝f x + 1 + 1 ＝－f x + 1 ＝f(x)，所以 f(x)
2 2 2 2
是以 1为周期的周期函数，所以 f 10 1 ＝f 10 + 1 ＝f(1)＝3.
2 2 2
答案：3
6 2．解析：方法 1：f(x)＝－1＋ ，其图象的对称中心为(－1，－1)，将 y＝f(x)的图象沿
x+1
x轴向右平移 1个单位，再沿 y轴向上平移 1个单位可得函数 f(x－1)＋1的图象，关于(0，0)
对称，所以函数 f(x－1)＋1是奇函数，故选 B.
2 2
方法 2：选项 A，f(x－1)－1＝ －2，此函数为非奇非偶函数；选项 B，f(x－1)＋1＝ ，
x x
2x 2
此函数为奇函数；选项 C，f(x＋1)－1＝ ，此函数为非奇非偶函数；选项 D，f(x＋1)＋1
x+2
2
＝ ，此函数为非奇非偶函数，故选 B.
x+2
答案：B
提升关键能力
考点一
1 (1) 9 x
2 ≥ 0，
例 解析： 由 得 x＝±3.
x2 9 ≥ 0.
∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时 f(x)＝0.
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
即 f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
1 x
(2) ≥ 0，由 1+x ，得－11 + x ≠ 0
∵f(x)的定义域为(－1，1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
2
解析：(3) 4 x ≥ 0，由 得－2≤x≤2且 x≠0.
x + 3 3 ≠ 0
2 2
∴f(x)的定义域为[－2，0)∪ 0 2 f(x) 4 x 4 x， ，关于原点对称．此时，有 ＝ ＝ ，
x+3 3 x
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当 x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当 x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以 f(x)为奇函数．
考点二
例 2 解析：(1)由题意得，当 x>0，－x<0 时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以 f(ln
2)＝e－a ln 2＝eln 2 a＝2－a＝8＝23，即 2－a＝23，所以 a＝－3.
(2)由图象知，当 00；当 2∴当－20.
综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪ 2，5 .
答案：(1)－3 (2)(－2，0)∪ ，
对点训练
1．解析：A中，y＝x sin x为偶函数，D中，y＝x ln ( x2 + 1－x)是偶函数．B中，函数
x x x
y＝x ln x的定义域为(0 ) C f( x) e 1 1 e f(x) y e 1，＋∞ ，非奇非偶函数． 中， － ＝
e x
＝ ＝－ ，则 ＝
+1 1+ex ex+1
为奇函数．
答案：B
2．解析：因为 f(x)为 R上的奇函数，所以 f(0)＝0，
即 f(0)＝20＋m＝0，解得 m＝－1，
故 f(x)＝2x－1(x≥0)，
则 f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
答案：－7
3．解析：由已知得 f(x)＝(x－1)2＝x2－2x＋1＝h(x)＋g(x)，
∵h(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴g(x)＝x2＋1，h(x)＝－2x，
∴g(1)＝12＋1＝2.
答案：D
考点三
例 3 解析：(1)由 f(x－2)＝f(x＋2)知 y＝f(x)的周期 T＝4，
又 f(x)是定义在 R上的奇函数，
f 13∴ ＝f 8 3 3＝f ＝－f 3 9＝－ .
2 2 2 2 4
(2)方法一 ∵f(x)在 R上是奇函数，且 f(1－x)＝f(1＋x)．
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即 f(x＋2)＝－f(x)．
因此 f(x＋4)＝f(x)，则函数 f(x)是周期为 4的函数，
由于 f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令 x＝1，得 f(0)＝f(2)＝0，
令 x＝2，得 f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令 x＝3，得 f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
π
方法二 由题意可设 f(x)＝2sin x ，作出 f(x)的部分图象如图所示．
2
由图可知，f(x)的一个周期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]
＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
解析：(3)因为当 0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又 f(x)是 R上最小正周期为 2的周期函数，且 f(0)
＝0，则 f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又 f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数 y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与 x轴的交点有 7个．
答案：(1)A (2)C (3)7
对点训练
1．解析：令 x＝y＝0，则 f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，
故 2f(0)(f(0)－1)＝0，
故 f(0)＝1，(f(0)＝0舍)
令 x＝y 1＝ ，则 f(1)＋f(0)＝2f(1)f(1)，
2 2 2
故 f(1)＝0.
∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2f(x)f(1)＝0，
即 f(x＋1)＝－f(x－1) f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝f(x)，
故 f(x)的周期为 4，即 f(x)是周期函数．
∴f(2021)＝f(1)＝0.
答案：C
2．解析：因为函数 f(x＋2)为偶函数，则 f(2＋x)＝f(2－x)，可得 f(x＋3)＝f(1－x)，
因为函数 f(2x＋1)为奇函数，则 f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以，f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即 f(x)＝f(x＋4)，
故函数 f(x)是以 4为周期的周期函数，
因为函数 F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则 F(0)＝f(1)＝0，
故 f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．
答案：B
考点四
例 4 解析：(1)易知 g(x)＝xf(x)在 R上为偶函数，
∵奇函数 f(x)在 R上是增函数，且 f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又 3>log25.1>2>20.8，且 a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则 c>a>b.
(2)因为函数 f(x)为定义在 R上的奇函数，所以 f(0)＝0.又 f(x)在(－∞，0)单调递减，且
f(2)＝0，画出函数 f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数 f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当 x≤0时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当 x>0时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≥0，得 1≤x≤3.
故满足 xf(x－1)≥0的 x的取值范围是[－1，0]∪ 1，3 .
答案：(1)C (2)D
例 5 解析：(1)依题意，知 f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则 f(4＋x)＝f(x)，所以 f(x)是周期函
数，且周期为 4.
又 2所以 f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)
＝－f(2 4 1－log25)＝－(22－ log2 5－1)＝－ 1 ＝ .5 5
(2)因为 f(x)是定义在 R上的以 3为周期的偶函数．
∴f(5)＝f(－1)＝f(1)<1.
2a 3
从而 <1，解得－1a+1
答案：(1)B (2)A
例 6 解析：由函数 y＝f(x－1)的图象关于直线 x＝1 对称可知，函数 f(x)的图象关于 y
轴对称，故 f(x)为偶函数．
由 f(x＋4)＝－f(x)，得 f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以 f(x)是周期 T＝8 的偶函数，所
以 f(2 021)＝f(5＋252×8)＝f(5)＝f(－5)＝2.
答案：2
对点训练
1．解析：∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，
且 f(－x)＝f(x)，则 y＝f(x)是偶函数，
易知 f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
f(1)＝log22＋ 4＝3，
所以不等式 f(lg x)>3可化为 0<|lg x|<1，
即－110
1
所以所求不等式的解集为 ，1 ∪ 1，10 ．
10
答案：D
2．解析：根据题意，f(x)是定义域为 R的奇函数，
则 f(－x)＝－f(x)，
又由函数 f(x＋2)为偶函数，
则函数 f(x)的图象关于直线 x＝2对称，
则有 f(－x)＝f(4＋x)，则有 f(x＋4)＝－f(x)，
即 f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数 f(x)是周期为 8的周期函数；
据此分析选项：
对于 A，函数 f(x)的图象关于直线 x＝2对称，A错误；对于 B，f(x)是定义域为 R的奇
函数，则 f(0)＝0，又由函数 f(x)的图象关于直线 x＝2对称，则 f(4)＝0，B正确；对于 C，函
数 f(x)是周期为 8的周期函数，即 f(x＋8)＝f(x)，C正确；对于 D，若 f(－5)＝－1，则 f(2 019)
＝f(－5＋2 024)＝f(－5)＝－1，D正确．
答案：A

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