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第一节 函数及其表示
最新考纲·
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示
函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
考向预测·
考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与
其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度．
学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式
及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记 3个知识点
1．函数与映射的概念
函数 映射
两个集
集合 A，B是两个非空的________ 集合 A，B是两个非空的________
合 A，B
按照某种确定的对应关系 f，使对 按某一个确定的对应关系 f，使对
对应 于集合 A中的________一个数 x， 于集合 A中的________一个元素
关系 在集合 B中都有________的数 f(x) a，在集合 B中都有________的元
和它对应． 素 b与之对应
称 f：A→B为从集合 A到集合 B的 称 f：A→B为从集合 A到集合 B的
名称
一个函数． 一个映射．
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的________；与 x的
值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．显然，值域是
集合 B的子集．
(2)函数的三要素：__________、__________和__________．
(3)相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：________________、________________、________________．
[提醒] 函数图象的特征：与 x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可
以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函
数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[提醒] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并
集，值域是各段值域的并集．
二、必明 3个常用结论
1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．
2．直线 x＝a(a是常数)与函数 y＝f(x)的图象有 0个或 1个交点．
3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
三、必练 4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)对于函数 f：A→B，其值域是 B.( )
(2)函数与映射是相同的概念，函数是映射，映射也是函数．( )
(3)只要集合 A中的任意元素在集合 B中有元素对应，那么这个对应关系就是函数．( )
(4)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是相等函数．( )
(5)分段函数不是一个函数而是多个函数．( )
(二)教材改编
2．[必修 1·P18例 2改编]下列函数中，与函数 y＝x＋1是相等函数的是( )
3
A．y＝( x + 1)2 B．y＝ x3＋1
x2C．y＝ ＋1 D．y＝ x2＋1
x
3．[必修 1·P 117例 1改编]已知 f(x)＝ x + 3 + ，若 f(－2)＝0，则 a的值为________．x+a
(三)易错易混
+ 12 仰 1
4．(忽视自变量范围)设函数 f(x)＝ ,则使得 f(x)≥1的自变量 x的取值
1 1
范围为________．
5．(忽视新元范围)已知 f( x)＝x－1，则 f(x)＝________．
(四)走进高考
x2 ，x > 2，
6．[2021·浙江卷]已知 a∈R，函数 f(x)＝ 若 f(f( 6))＝3，则 a＝________．
x 3 + a，x ≤ 2.
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 函数的定义域 [基础性]
1 y lg 2x．函数 ＝ ＋(x－1)0的定义域是( )
12+xx2
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|0D．{x|12．如果函数 f(x)＝ln (－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数 a的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．[2022· f 2x江西抚州模拟]若函数 f(x)的定义域为[0，6]，则函数 的定义域为( )
x3
A．(0，3) B．[1，3)∪ 3，8
C．[1，3) D．[0，3)
4．[2022· ax+1陕西渭南高三检测]若函数 y＝ 的定义域为 R，则实数 a的取值范围是
ax2ax+2
( )
A 0 1 B 1． ， ． 0， C． 0 1 1， D． 0，
2 2 2 2
一题多变 ●
1 ( ) 3 f 2x．变问题 将题 中的“函数 的定义域”改为“函数 f(x－5)的定义域为________．”
x3
2．(变条件，变问题)将题 3 改为“已知函数 f(x－5)的定义域为[0，6]，则函数 f(x)的定
义域为________．”
反思感悟
1．给定函数的解析式，求函数的定义域
2．求抽象函数定义域的方法
考点二 函数的解析式 [综合性]
[例 1] (1) 2已知 f + 1 ＝lg x，则 f(x)的解析式为________．
x
(2)(一题多解)已知二次函数 f(x)满足 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则 f(x)的解析式为________．
(3)[2022·佛山一中月考]已知函数 f(x)满足 f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数 f(x)的解析式为
________．
听课笔记：
反思感悟 求函数解析式常用的方法
[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析
式时，如果定义域不是 R，一定要注明函数的定义域．
【对点训练】
1x21 1．若函数 f(1－2x)＝ 2 (x≠0)，那么 f( )等于( )x 2
A．1 B．3 C．15 D．30
2 f x + 1 x 1．已知 ＝ ＋ ，则函数 f(x)的解析式为________．
x x
3．已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则 f(x)＝________．
4．已知 f(x)满足 2f(x) f 1＋ ＝3x，则 f(x)＝________．
x
考点三 分段函数 [基础性、综合性]
角度 1 求分段函数的函数值
[例 2] (1)[2022·安徽合肥检测]已知函数
x + 1 ，x > 2，
f(x)＝ x2 则 f(f(1))＝( )
x2 + 2，x ≤ 2，
A 1．－ B．2
2
C．4 D．11
cos πx，x ≤ 1，
(2)[2022· 郑州模拟]已知 f(x)＝ 则 f ＋f 的值为( )
f x 1 + 1，x > 1， 3 3
A 1 1． B．－
2 2
C．－1 D．1
听课笔记：
反思感悟 分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当
出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量
的值，切记要代入检验．
角度 2 分段函数与方程
2x，x > 0，
[例 3] [2022·长春模拟]已知函数 f(x)＝ 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a的值等
x + 1，x ≤ 0.
于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
听课笔记：
反思感悟
根据分段函数的函数值求自变量的值时，应根据自变量与分段函数各段的定义域分类讨
论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的范
围.
角度 3 分段函数与不等式
1，x ≤ 0，
[例 4] [2022·湘赣皖长郡十五校一联]设函数 f(x)＝ 则满足 f(x＋2)>f(3x)的 x
2x，x > 0，
的取值范围是( )
A．x<1 B．x≥1
C．－2听课笔记：
反思感悟
与分段函数有关的不等式问题主要表现为解不等式(有时还需要结合函数的单调
性)．若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参
数，则只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解即可.
【对点训练】
2x + 1，x 0，
1．[2022·长沙长郡中学月考]已知函数 f(x)＝ 且 f(x0)＝3，则实数 x0的值
3x2，x 仰 0，
为( )
A．－1 B．1
C．－1或 1 D 1．－1或－
3
x，x 仰 0，
2．[2022·福州市高三质量检测]函数 f(x)＝ 则 f(2)＋f(－1)＝________．
ex 1，x 0，
1 + x2，x ≤ 0
3．[2021·深圳模拟]已知函数 f(x)＝ ，若 f(x－4)>f(2x－3)，则实数 x的取
1，x > 0
值范围是________．
微专题 学通学活巧迁移新定义函数
交汇创新
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的
一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，
或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
[例] [2022·广东深圳模拟]在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整
点，若函数 f(x)的图象恰好经过 n(n∈N*)个整点，则称函数 f(x)为 n阶整点函数．给出下列函
数：
x
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x) 1＝ ；④φ(x)＝ ln x．其中是一阶整点函数的是
3
( )
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
解析：对于函数 f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点
函数，排除 D项；对于函数 g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它
1
不是一阶整点函数，排除 A项；对于函数 h(x)＝( )x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，
3
3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除 B项．故选 C项．
答案：C
名师点评
本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定
义函数题的关键是紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问
题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数 f(x)的图象恰好经过 1个整
点，问题便迎刃而解．
[变式训练]
1．[2022· 1山东滨州月考]具有性质 f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函
x
x 0 仰 x 仰 1 ，
数．下列函数：①y 1 1＝x－ ；②y＝x＋ ；③y＝ 0 x = 1 ， 中满足“倒负”变换的函数是
x x
1 x > 1
x
( )
A．①② B．②③
C．①③ D．只有①
2．若函数 f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1) x∈R，都有 f(－x)＋f(x)＝0；
(2) x f x f x1，x2∈R，且 x1≠x2，都有 1 2 <0.x1x2
在①f(x)＝sin x，②f(x)＝ 2x3，③f x ＝1－x这三个函数中，____________是“优美函
数”．
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节 函数及其表示
积累必备知识
一、
1．数集 集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定
2．(1)定义域 值域 (2)定义域 值域 对应关系 (3)定义域 对应关系 解析法 图
象法 列表法
3．对应关系
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．解析：对于 A，函数 y＝( x + 1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数 y＝x＋1的定义域
不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；
x2
对于 C，函数 y＝ ＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数 y＝x＋1的定义域不同，不是相等函
x
数；
对于 D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选 B.
答案：B
3．解析：因为 f(x)＝ x + 3 + 1 ，
x+a
所以 f(－2)＝ 2 + 3 + 1 ＝0，解得 a＝1.
2+a
答案：1
4．解析：因为 f(x)是分段函数，所以 f(x)≥1应分段求解．当 x<1时，f(x)≥1，即(x＋1)2≥1.
解得 x≤－2或 x≥0，所以 x≤－2 或 0≤x<1；当 x≥1 时，f(x)≥1，即 4－ x 1≥1，
解得 1≤x≤10.
综上所述，x≤－2或 0≤x≤10.
答案：(－∞，－2]∪ ，
5．解析：令 t＝ x，则 t≥0，x＝t2，所以 f(t)＝t2－1(t≥0)．即 f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
6．解析：因为 6> ＝2，所以 f( 6)＝( 6)2－4＝2，
所以 f(f( 6))＝f(2)＝|2－3|＋a＝1＋a＝3，解得 a＝2.
答案：2
提升关键能力
考点一
2 x > 0，
1．解析：要使函数解析式有意义，须有 12 + x x2 > 0，
x 1 ≠ 0，
x 仰 2，
解得 3 仰 x 仰 ，所以－3x ≠ 1，
答案：B
2．解析：因为－2x a>0 x2 2
＝2.
答案：D
3．解析：因为函数 f(x)的定义域为[0，6]，所以 0≤2x≤6，解得 0≤x≤3.又因为 x－3≠0，
x 3 f 2x所以 ≠ ，函数 的定义域为[0，3)．故选 D项．
x3
答案：D
4．解析：要使函数的定义域为 R，则 ax2－4ax＋2>0恒成立．①当 a＝0 时，不等式为
a > 0，
2>0，恒成立；②当 a≠0 时，要使不等式恒成立，则 即
Δ = a 2 ·a·2 仰 0，
a > 0，
解得 0a 2a 1 仰 0， 2 2
答案：D
一题多变
1．解析：因为函数 f(x)的定义域为[0，6]，则 0≤x－5≤6，即 5≤x≤11，所以函数 f(x
－5)的定义域为[5，11].
答案：[5，11]
2．解析：因为函数 f(x－5)的定义域是[0，6]，则 0≤x≤6，有－5≤x－5≤1，所以函数
f(x)的定义域为[－5，1].
答案：[－5，1]
考点二
例 1 解析：(1)( 2 2换元法)令 ＋1＝t，则 x＝ .因为 x>0，所以 t>1，所以 f(t) lg 2＝ ，即
x t1 t1
f(x)的解析式是 f(x) lg 2＝ (x>1)．
x1
(2) 1 ( ) 2x 1 t(t R) x t1 f(t) 4 t1
2
6 t1方法 ： 换元法 令 ＋ ＝ ∈ ，则 ＝ ，所以 ＝ － × ＋5＝t2－5t
2 2 2
＋9(t∈R)，所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法 2：(配凑法)因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以 f(x)＝x2－5x＋9.
方法 3：(待定系数法)因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(2x＋1)
＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以
a = ， a = 1，
a + 2b = 6，解得 b = 5，
a + b + c = 5， c = 9.
所以 f(x)＝x2－5x＋9.
解析：(3)(消去法)f(x)＋2f(－x)＝ex， ①
f(－x)＋2f(x)＝e－x， ②
－
①②联立消去 f(－x)得 3f(x)＝2e x－ex，
所以 f(x) 2＝ e－x 1－ ex.
3 3
答案：(1)f(x)＝lg (x>1)

(2)f(x)＝x2－5x＋9
(3)f(x) e－x ＝ － ex

对点训练
2
1．解析：(1)方法 1：由于 f(1－2x) 1x＝ (x≠0)，
x2
1
x 1 f(1
1
当 ＝ 时， )＝ 161 ＝15.故选 C. 2
16
1t
方法 2：设 1－2x＝t，则 x＝ ，
2
f(1 2x) 1x
2
结合 － ＝ 2 (x≠0)可知，x
2
f(t) ＝ 2－1
1t
＝ ，
1t 1t 2
2
1 1
1
所以 f( )＝ 2
2 1 2
＝15.故选 C.
12
答案：C
2．解析：令 t x + 1＝ (x>0)．
x
x + 1 1 1因为 ≥2，则 t2＝x＋ ＋2(t≥2)，得到 x＋ ＝t2－2，(t≥2)．
x x x
所以由 f( x + 1 )＝x 1＋ ，得：
x x
f(t)＝t2－2(t≥2)，即 f(x)＝x2－2(x≥2)．
答案：f(x)＝x2－2(x≥2)
3．解析：(待定系数法)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，
所以 ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数 x都成立，
a = 2，
所以 解得 a = 2，所以 f(x)＝2x＋7.
5a + b = 17， b = 7.
答案：2x＋7
4．解析：(解方程组法)因为 2f(x) f 1＋ ＝3x，①
x
1 1 3
所以将 x用 替换，得 2f ＋f(x)＝ ，②
x x x
1
由①②解得 f(x)＝2x－ (x≠0)，
x
即 f(x) 1的解析式是 f(x)＝2x－ (x≠0)．
x

答案：2x－ (x≠0)

考点三
例 2 解析：(1)因为 f(1)＝12＋2＝3，所以 f(f(1))＝f(3)＝3 1＋ ＝4.故选 C项．
32
(2)f f ＝ 1 ＋1＝f 1 ＋1＝cos π 3＋1＝ ，
3 3 3 3 2
f cos π 2π 1＝ ＝cos ＝－ ，
3 3 3 2
3 1
∴f ＋f ＝ ＝1.
3 3 2 2
答案：(1)C (2)D
例 3 解析：∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，
当 a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当 a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，
综上有 a＝－3.
答案：A
例 4 解析：
1，x ≤ 0，
因为函数 f(x)＝ 作出函数 f(x)的图象，如图所示．则由函数的图象可得当 x
2x，x > 0，
＋2≤0时，f(x＋2)＝1，f(3x)＝1，不满足 f(x＋2)>f(3x)．当 x＋2>0时，要满足 f(x＋2)>f(3x)，
则需 x + 2 > 0，或 x＋2>3x>0，解得－23x ≤ 0
答案：C
对点训练
1．解析：由条件可知，当 x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以 x0＝1；当 x0<0 时，f(x0)＝3x20
＝3，所以 x0＝－1，所以实数 x0的值为－1或 1.
答案：C
x，x 仰 0
2．解析：因为 f(x)＝ 所以 f(2)＋f(－1)＝e2－1－1＝e2－2.
ex 1，x 0，
答案：e2－2
1 + x2，x ≤ 0
3．解析：函数 f(x)＝ 在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持
1，x > 0
不变，若 f(x－4)>f(2x 3) x 仰 0－ ，则 2x 3 0或 x－4<2x－3≤0，解得 x∈(－1，4)．
答案：(－1，4)
微专题 学通学活巧迁移新定义函数
变式训练
1．解析：(逐项验证法)对于①，f 1 1＝ －x＝－f(x) 1，满足“倒负”变换；对于②，f
x x x
x 0 仰 x 仰 1 ，
1
＝ ＋x≠－f(x) 1，不满足“倒负”变换；对于③，f ＝ 0 x = 1 1， 满足 f ＝－f(x)．故
x x x
1 x > 1 ，
x
③满足“倒负”变换，故选 C.
答案：C
2．解析：由条件(1)得 f(x)是 R上的奇函数，由条件(2)得 f(x)是 R上的减函数．对于①，
f(x)＝sin x在 R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在 R
上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②

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