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第十章 概率
一、单选题
1．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为；②目标恰好被命中两次的概率为；③目标被命中的概率为＋；④目标被命中的概率为1－，以上说法正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．②④ D．①③
3．打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部击中 B．至少击中发
C．至少击中发 D．以上均不正确
4．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个，则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
射击次数 50 100 200 400 1000
射中8环以上的次数 44 78 158 320 800
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.82
6．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
8．将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（ ）
A．4 B．40 C．250 D．400
9．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（ ）
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
10．池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281
7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436
5987 3882 0753 8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）A． B． C． D．
11．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.
14．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个现象是______．（选填“确定性”或“随机性”）
15．在我国四大名著《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为______．
16．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为________.
三、解答题
17．为落实“双减”政策，增强学生体质，某校在初一年级随机抽取了20名学生进行50米往返跑和跳绳测试，测试结果如下表
跳绳 50米往返跑 一般 良好 优秀
一般 1 3 1
良好 b 3 2
优秀 3 1 a
由于部分数据丢失，仅知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一位，抽到跳绳优秀的学生的概率为.
(1)求a，b的值；
(2)从50米往返跑为优秀的学生中任意抽取2人，求其中至少有一位跳绳为优秀的学生的概率.
18．某种婴儿用品主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，为了测量此类新产品的挥发性物质含量，从生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图，若以频率作为概率，规定该婴儿用品的挥发性物质含量<18‰为合格产品.
（1）若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？
（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从与中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求2个均在内的概率.
19．十三届全国人大四次会议月日表决通过了《关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和年远景目标纲要的决议》，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献，该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该款芯片的性能以某项指标值为衡量标准，性能指标的等级划分如表：
性能指标值
等级 A
为了解该款芯片的生产效益，该企业从试生产的产品进行随机抽样并测量了每件产品的指标值，若以组距为画频率分布直方图时，发现（设“”）满足：.
(1)试确定的所有取值，并求；
(2)从样本性能指标值不小于的产品中釆用分层抽样的方法抽取件产品，求样本中等级A产品与等级产品的件数.然后从这件产品中一次性随机抽取件产品，并求出件都是A级品的概率.
20．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;
（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
21．在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为
（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
22．某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.
（1）求直方图中的值；
（2）求的值；
（3）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.
【详解】
分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
共有18种分法，
则2，3连号的概率为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.
2．C
【解析】
根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】
对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为＋，所以①错误，
对于说法②，目标恰好被命中两次的概率为，故②正确
对于说法③，目标被命中的概率为＋＋，所以③错误，
对于说法④，目标被命中的概率为1－，故④正确.
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
利用并事件的定义可得出结论.
【详解】
所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
列出所有三位数的回文数即可求得结果.
【详解】
三位数的回文数有：
101 111 121 131 141 151 161 171 181 191
202 212 222 232 242 252 262 272 282 292
303 313 323 333 343 353 363 373 383 393
404 414 424 434 444 454 464 474 484 494
505 515 525 535 545 555 565 575 585 595
606 616 626 636 646 656 666 676 686 696
707 717 727 737 747 757 767 777 787 797
808 818 828 838 848 858 868 878 888 898
909 919 929 939 949 959 969 979 989 999
共有90个，其中奇数有50个，故出现奇数的概率为
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
利用频率估计概率即可求解.
【详解】
大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在，
所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为，
故选：C.
6．A
【解析】
利用古典概型的概率进行列举所有情况，然后即可求解
【详解】
依题意，阳数为1、3、5、7、9，故所有的情况为，，，，，，，，，，共10种，
其中满足条件的为，，，，共4种，故所求概率
故选A．
【点睛】
关键点睛：利用古典概型的概率进行求解，主要考查考生数学建模、数学运算、逻辑推理等能力，属于基础题
7．C
【解析】
【分析】
记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.
【详解】
记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，
则，，，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
直接利用频率的定义求解即可．
【详解】
一个容量为1000的样本分成若干组，某组的频率为0.4，
该组的频数为：．
故选：．
【点睛】
本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题．
9．C
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件、必然事件即可得出结果.
【详解】
25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.
故选：C
10．B
【解析】
【分析】
求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.
【详解】
由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故选：B.
11．B
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率求解.
【详解】
解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，
则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，
记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知．
故选：B．
12．D
【解析】
【分析】
根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被整除的概率.
【详解】
由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：
，
，
，
共36种情况，所得结果之积为：, , , , ,
所得之积能被整除的概率
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用列表法求古典概率，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率.
13．4
【解析】
【分析】
直接列举基本事件即可.
【详解】
从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.
故答案为：4.
14．确定性
【解析】
【分析】
由题意可知，该事件是必然事件，故可得出结论.
【详解】
由题意可知，从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，
该事件是必然事件，所以这个现象是确定性，
故答案为：确定性.
15．##
【解析】
【分析】
列举所有抽取2种书的可能性，再找出满足题意的可能，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.
【详解】
从4种书中抽取2种，共有如下6种情况：
《西游记》和《三国演义》，《西游记》和《水浒传》，《西游记》和《红楼梦》，
《三国演义》和《水浒传》，《三国演义》和《红楼梦》，《水浒传》和《红楼梦》.
其中满足题意的有如下3种情况：
《西游记》和《红楼梦》，《三国演义》和《红楼梦》，《水浒传》和《红楼梦》，
故满足题意的概率为.
故答案为：.
16．0.496
【解析】
【分析】
先求没有1个部件需要调整的概率，再用1减即可.
【详解】
设分别为部件1，2，3需要调整的事件，则至少有1个部件需要调整的概率为
故答案为：0.496
17．(1)2；4；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)根据学生总数为20，和抽到跳绳优秀的学生的概率为建立方程组，解得答案即可；
(2)列举出所有可能情况，进而根据古典概型求概率的方法求得答案.
(1)
由题意，.
(2)
根据表格，50米往返跑为优秀的学生有6人，记这6人为1，2，3，4，5，6，其中5，6表示这6人中跳绳为优秀的学生，于是从这6人中抽取2人的所有情况为：
{12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56}，总共15种情况，
其中至少有一位跳绳优秀的情况有：{15，16，25，26，35，36，45，46，56}，共9种情况.
∴所求概率.
18．（1）该产品需要进行技术改进；（2）.
【解析】
【分析】
（1）、由频率分布直方图求出平均值判断与16的大小关系即可得出结论;
（2）、先根据分层抽样求得在与中所抽取的个数，运用列举法列出事件的所有情况，由古典概率公式可求得答案.
【详解】
（1）∵，故该产品需要进行技术改进；
（2）组的产品的个数为，组的产品的个数，所以从组中抽取个，从组中抽取个，
记组中抽取的5个分别为，组中抽取的一个为，
则从6个中抽取2个的所有情况如下：共15种情况，
其中在中恰有2个的有共10种情况，所以所求的概率.
19．(1)的取值集合为，；
(2)等级A产品的件数为，等级产品的件数为，.
【解析】
【分析】
（1）由结合，可求得的可能取值，利用频率之和为可求得的值；
（2）分析可知所抽取的件产品中，等级A产品的件数为，分别记为、、、，等级产品的件数为，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
(1)
解：根据题意，，按组距为可分成个区间，
分别是、、、、、，
因为，由，，可知的取值集合为，
每个小区间对应的频率值为.
所以，，解得.
(2)
解：等级A产品的频率为，等级产品的频率为，
所以，等级A产品和等级产品的频率之比为，
所以，从样本性能指标值不小于的产品中釆用分层抽样的方法抽取件产品，
等级A产品的件数为，分别记为、、、，等级产品的件数为，记为，
从这件产品中任意抽取件产品，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，
其中，事件“所抽的件都是A级品”包含的基本事件有：、、、、、，共种，故所求概率为.
20．（1）25小时；（2）0.3.
【解析】
（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有、，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
【详解】
（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，
∴由频率最大区间为，则众数为；
（2）由图知：不少于30小时的区间有、，
∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
【点睛】
本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.
21．（1） （2）
【解析】
（1）若满足条件只需甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，写出概率；
（2）甲队至少得3分包含甲队恰得3分，和甲队得6分，根据分值判断获胜情况，求得概率.
【详解】
（1）若甲队获第一名且丙队获第二名，即甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，
即，
即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是；
（2）当甲队恰得3分，即甲队胜了一场，甲胜乙且丙胜甲，或甲胜丙且乙胜甲，
当甲恰得6分，即甲队胜了2场，即,
那么该次比赛中甲队至少得3分的概率.
【点睛】
本题考查对立事件同时发生的概率，重点考查读题，抽象概括能力，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意.
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图的高之和为组距分之一，即可得出结果；
（2）根据样本容量、总体与频率之间的关系计算即可得出结果；
（3）用总面积1减去左边2个矩形的面积即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图的性质得：
，
解得.
（2）∵成绩在的学生人数为6，
由频率分布直方图得成绩在的学生所占频率为：，
∴.
（3）根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率：
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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