资源简介

《学会作圆——点与圆的位置关系（二）》的教学评析
授课者：广西桂林市宝贤中学 张知莹
评析者：广西桂林市教科所 蒋海啸
《学会作圆——点与圆的位置关系（二）》这一课是人教版第24章第2节“点、直线、圆和圆的位置关系”的第二课时，所涉及的主要数学知识包括：不在同一直线上的三个点确定一个圆、三角形的外接圆、反证法等。张知莹老师围绕“学会作圆”这一中心，把用尺规作圆作为重点，淡化反证法（后续学习），以鲜明的主题开展了生动丰富、卓有成效的课堂教学。
一、主题明确、主线清晰
“作圆”这一主题贯彻了整个课堂，每个环节都是在教师带领下学生独立完成，使训练的“主线”一目了然，学生的动手能力得到应有的加强。
二、层次分明、结构完整
“作圆”看似简单，信手拈来，但随着条件的不断变化，能力层次的要求逐渐加大，适应了广大学生的需求；在循序渐进、高潮迭起的过程中不失时机的归纳小结，确保了课堂教学的丰满和完整。
三、紧扣本质、渗透思想
本课虽然平常但不平淡，每一个结论的得出和方法的形成，都体现了数学原理和思想方法的运用，把体验、模仿、熟练、创造、反思等融于其中，使数学学习源于课堂用于课外，意味深长。
四、引导有序、体现特色
学习固有差异，缩小差异的主角就是教师、学生。课堂中教师点拨的过程，学生研讨的场景，体现了新课改的理念，为学生能力的自主构建搭建了平台，凸显了学生自我学习、自主发展的教学风格。
五、技能娴熟、成效显著
教师的语言、媒体的应用、课堂的驾驭等，充分的体现了教师高超的技能和良好的功底，学生在教师的带领下学到了知识、掌握了方法，高效的课堂教学自然也就水到渠成。
人无完人，课亦如此，不足之处当然存在。字数受限，不再赘言。望专家们能另予赐教。
《学会作图——点与圆的位置关系（二）》教学设计
广西桂林市宝贤中学 张知莹
1．教学内容解析
本节课的内容 《学会作图——点与圆的位置关系（二）》是依照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求：会利用基本作图完成“过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。”将人教版（2004版）九上教材中的《24.2.1点和圆的位置关系》第二课时的相关内容进行整合后设计的一节课。
本节课的主要内容是让学生掌握过不在同一直线上三点作圆，也就是作三角形外接圆的方法及数学原理。教学从简单的情况入手，由提出求作必经过一个点的圆开始，到必经过两个点的圆，再到必经过三个点的圆的问题，体现了由简单到复杂的数学思维过程。其中，经过两点如何作圆以及这些圆的圆心分布特点是本课的关键部分，解决了这个问题，下面过不共线三点作圆的问题可以转化为“求过线段AB端点与过线段BC端点的公共圆”的问题，也就是转化为求作线段中垂线交点的问题。因此本节课的重点是让学生掌握过不在同一直线上三点作圆的方法和其数学原理。
为了完成本节课的学习，学生应该首先掌握点在圆上的概念，线段中垂线的性质定理和判断点是否在中垂线上的方法。线段中垂线的尺规作图方法由于在前面学习时间已久，而且应用的时间较少，故在授课时给予穿插复习。如何用这些定理也是学生应掌握的概念知识。在作圆时，引导学生关注作圆的两个要素——圆心和半径，始终抓住要作圆就要确定圆心和半径的关键，使之成为学生考虑能作出圆的方向。
虽然本节课的主要内容是让学生掌握过不在同一直线上三点作圆的方法及数学原理，但究其实质是多边形能内接于圆的条件在三角形中的体现，即多边形的各边的中垂线能相交于一点，则该多边形能内接于圆。但因为时间和学生水平所限，只能对四点是否可以共圆进行粗浅讨论，给学生以提纲挈领的分析，让学有兴趣的学生深入探讨。在学习了经过两点的圆其圆心在线段的中垂线上后，那么经过不共线三点的圆就可以分解为“过有公共端点的两段线段端点的公共圆”的问题，从而转化为过两点作圆确定其圆心的问题。
从知识的发生和发展过程角度分析来看，本课程体现了由简单到复杂（过一个点作圆——两个点作圆——三个点作圆）的数学思想，由特殊到一般、分类讨论、以及转化的数学思想。
2．教学目标设置
通过本节课的学习，学生应该掌握作三角形外接圆的方法、理论实质和方法的由来（即为什么要这样作的原因）。在学习后学生掌握作圆的方法：确定圆心和半径，会作任意三角形的外接圆，知道外心到各顶点距离相等。初步体会由简单到复杂、由特殊到一般的分析问题的方法。同时学生经过与同学的讨论，培养学生与他人合作、交流、领会的精神。
3．学生学情分析
知识基础：对于作圆的内容，学生在小学就学习了用圆规画圆，这就是一种基础的确定圆心和半径从而确定圆的方式。而这节课在强化确定圆需要两要素后，提出作增加经过某些点的条件的圆问题。找圆心的问题涉及作线段的中垂线，这是学生在八年级上就学习过的内容，但因时间久，可能部分学生已经忘记了其尺规作图的方法，需要在其中穿插复习并教师示范作图。学生可以完成过一个点作圆、过两个作圆的问题，但是怎么把不共线三点作圆问题转化为与前面的内容联系起来，是需要教师帮助他们转化的。在这里，教师通过将过三点作圆问题转化为有公共点的两组点，分别过这两组点作圆，那么它们中垂线的交点就是既过A、B点的圆的圆心，又过B、C点的圆的圆心，经过证明这点到三个点的距离相等，从而为学生可以作出图形做好了铺垫与证明。
认知水平与能力：已经掌握线段中垂线的尺规作图方法和其性质，点与圆的位置关系也已经学习了第一课时。有较好的合作意识和参与意识，具有观察、分析、概括能力和用几何语言表达的能力。
本节课的难点在于如何引导学生探求出过两点的圆的圆心分布有什么特点，从而为作过不共线三点的圆打下基础。在此要求学生合作作图，并提出了思考要求：①所作出的圆，圆心到A、B两点距离有什么关系？②圆心的分布有什么特点？挑出了三种有代表性作图结果给予展示，要求回答第一个思考问题，学生会很快答出，这些圆心到A、B两点距离相等；结合课件展示，这些圆的圆心相对于线段AB有什么特殊性，由于判定点是否在中垂线的方法学生已经学的时间久了，所以可能只有很少部分的学生会想到“到线段两端点距离相等点在线段的中垂线上” 的结论，所以教师要指明“这些点相对于线段AB而言有何特殊性”。
4．教学策略分析
对于作圆的问题，学生在小学都已经学习了用圆规作圆，用圆规作圆其实质就是定圆心和半径，从而画出圆的过程，只是学生在小学学习时没有意识到这一点。那么在本节课作圆，开始就着重强调作圆抓住圆心和半径即可确定圆，接下来的作圆无一不是紧扣这两个元素展开。相对于小学的作圆，本节课的要求作的圆是添加了限制条件的：过某些点作圆。那么从问题的最简单情况入手分析到逐渐增加条件：过一个点——过两个点——过三个点（又分为共线和不共线两类）——过四个点，作圆要过这些点时怎么确定圆心和半径。既从理论上分析出这些特殊圆的圆心位置，也从实际操作上让学生作出符合要求的图形。
本节课的内容是要求学生作图，所以再每个作图活动中尽可能让学生多实际操作完成作图。作图前提出思考要求，引导学生如何确定圆心和半径。作图完之后进行说理，然后总结归纳，以利于不同层次的学生理解。对基础好的学生不仅其知然还知其所以然，让他们明白数学理论说理证明的必要性；而对于基础一般的学生，知道说理的重要性，更重要的是能记住如何作出图。
学生作图时教师巡堂，针对学生作图出现的问题进行个别指导和说理。用课堂练习的形式对学生的掌握情况进行反馈。
5．教学过程
教学目标：
1、使学生掌握三角形外接圆的尺规作图方法，了解该作图的数学原理；
2、使学生经历从简单到复杂的数学思维过程，培养其转化的数学思想和分类讨论的数学思想；
3、通过探究活动培养学生间的合作、交流、领会等精神。
教学重点：作三角形外接圆的尺规作图方法和其数学理论
教学难点：1、过两点的圆的圆心分布特点；
2、如何将三点问题转化两点问题处理；
教学环节
教学
活动
教学过程
设计意图
一、问题引入
师：说起作圆，同学们在小学已经作过。你们能谈谈你是如何确定圆的吗？
生：以圆规一脚固定作圆心，张开两脚长为半径作圆。
师：我们画圆时，圆心位置相同，半径不同，两个圆是一样的吗？
生：不一样。
师：半径相同，圆心位置不同，两个圆是同一个圆吗？
生：不是同一个圆。
师：也就是是说由圆心确定圆的位置，由半径决定圆的大小。两个元素确定了，我们说圆确定了。
师：我们在小学时画不同的圆是直接改变圆心位置和半径大小的圆。今天我们要求作的圆是有约束条件的圆，所求作的圆，增加要求经过某些点的限制条件，我们又该用怎样的方法确定其圆心和半径呢？
由学生用圆规作圆为引入，开门见山说明作圆的两个基本要素：圆心和半径
二、作出符合要求的圆
作图要求一：作一个经过A点的圆
师：我们从简单情况入手，先看求作圆经过平面上一个定点A，你可以怎么确定圆心和半径呢？
生：以任意一点为圆心，这一点到A点距离为半径作圆。
师：作圆心的这一点可以和A点重合吗？
生：噢，以与A点不同的任意一点为圆心，这一点到A点距离为半径作圆。
师：既然圆心的位置是任意的，相应半径大小也是任意的，这样作圆有多少个？
生：无数个。
师：这说明什么？
生：过一点可以作无数个圆。
从问题的简单情况入手，使学生经历由简单到复杂的考虑问题的方式
作图要求二：作一个经过A、B两点的圆
师：现在我们继续增加约束条件，如果作一个同时经过平面上A、B两点的圆，你准备怎么确定这个圆的圆心和半径？
（先自己画图，然后再分组讨论）
师：思考：①作出来的圆，圆心到A、B两点距离会是什么关系？②圆心的分布有什么特点？
（展示学生的作图，请学生回答自己是如何作图的）
生1：以线段AB中点为圆心O，圆心到A点或B点的距离为半径作圆；
生2：分别以A、B点为圆心，任意长为半径作弧，两弧的交点为所求作圆的圆心，圆心到圆心到A点或B点的距离为半径作圆；
生3：作线段AB的中垂线，在中垂线上任意取一点为圆心，圆心到A或B点距离为半径作圆。
师：以上三种作法代表了同学们的作法，结合刚才老师提出的问题，作出来的圆，其圆心到A、B两点距离会是什么关系？
生：相等。
师：所以圆心的位置上有何特殊性？
生：在线段的中垂线上。
师：还记得线段中垂线的尺规作图方法吗？
（学生叙述，教师示范作图）
师：所以过两点的圆，其圆心分布在这两点的连线的线段中垂线上。中垂线上有无数个点可以作圆心，所以过两点的圆有多少个？
生：无数个。
将问题进一步增加条件，使学生进一步理解由简单到逐步复杂的思维过程；
让学生理解过两点的圆的圆心在线段的中垂线上，为接下来找到作过不共线三点的圆埋下伏笔。
作图要求三：作一个经过不共线A、B、C三点的圆
师：刚才我们分析了A、B两点的圆其圆心落在线段AB的中垂线上，现在改变约束条件，过另外两点B、C的圆的圆心落在哪？
生：在线段BC的中垂线上。
师：这条中垂线与前一条中垂线相交，设交点为O点，这O点到A、B、C三点距离有何关系？为什么
生：相等。
（学生叙述，教师板书）
证明：∵O点在线段AB中垂线上
∴OA=OB
∵O点在线段BC中垂线上
∴OB=OC
∴OA=OB=OC
师：说的很好！那么如果以O点为圆心，OA长为半径作圆，这个圆会经过B、C两点吗?完成作图三的要求。
（学生作图，教师巡堂并指导学生作图）
师：这样我们就作出了一个过不在同一直线上的三点的圆。
这三点的连线构成三角形，这个圆过三角形三个顶点，叫做三角形的外接圆。
师：现在哪位同学能总结一下作三角形外接圆的步骤。
生：作AB、BC边中垂线的交点为圆心，圆心到顶点距离为半径作圆。
师：总结得很好！但是对于顶点不是A、B、C的三角形，我们怎么知道哪条边是AB，哪条边是BC。如果我作了类似于AB与AC边的中垂线的交点，这个交点与O点是同一点吗？为什么？
生：是。O点也在线段AC的中垂线上。
因为刚才我们已证明OA=OC，到线段两端点距离相等的点在线段中垂线上。
师：说的非常棒!
根据刚才的分析，我们可以看出，作任意两边中垂线的交点是同一点，所以过不共线三点的圆是唯一的。因此我们说：过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。
通过改变限制条件的设问，将不共线三点问题转化为有公共点的两组点的问题，从而将其转化为求作既过A、B点，又过B、C点的公共圆的问题。其圆心当然就是两条中垂线的交点。
作出一个过不共线三点的圆。
证明所作圆的唯一性
三、学生练习
1、求作：直角三角形和钝角三角形的外接圆
师：前面我们作了锐角三角形的外接圆，三角形还有直角三角形和钝角三角形，同学们按照刚才的作图步骤作出直角三角形和钝角三角形的外接圆。
（学生作图，教师展示，选取作不同边的中垂线交点，作出圆的学生练习展示）
师：可以看出，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在其外部。
（再展示直角三角形外接圆圆心的特殊方法并说明理由）
生：由于直角三角形三个顶点都在圆上，所以直角所对的弦应该为直径，所以只需作斜边的中垂线与斜边的交点就是其外心。
（学生练习反馈，讲评）
2、已知: A、B、C三个村庄位置如图，现要修建一个水塔，使三个村到水塔的距离相等。请画出水塔的位置。
3、某工厂一台设备有一个圆形的零件，在生产中使用不当而破损，由于该设备图纸已丢失，无法知道它的尺寸。请同学们考虑用什么方法画出它复原图。
应用方法作三角形的外接圆，同时显示选择线段的任意性
学生提出了作直角三角形的外心特殊方法，理论与实践相结合
进一步强化作三角形外心方法和外心的性质
四、问题拓展
（1）A、B、C三点在同一直线上
师：刚才我们讨论了三点不在同一直线上可以确定一个圆。如果将三个点的位置特殊化，三个点在同一直线上时，过三点能作出一个圆吗？怎么作？
生：刚才我们已经知道，过两个点的圆的圆心在其线段的中垂线上，设过A、C两点的圆的圆心在线段AC中垂线上，过B、C两点的圆的圆心在线段BC中垂线上，由于三点共线，所以这两条中垂线互相平行，所以这两条中垂线没有交点，也就是没有这样的圆心。
师：回答得很有条理！所以我们说过同一直线上的三个点不能作圆。
对于三点的位置情况，学生通常会先想到不共线的三点，提出要考虑共线的三点问题，使学生思维更严谨
（2）四点可以确定圆吗？
师：约束条件再增加一个点，过四点能确定圆吗？
（分组讨论）
生：分情况讨论，①四点共线，不能确定圆；②三点共线，第四点不在该线上，不能确定圆；③任意三点不共线可以确定圆。
师：如果这四点的位置是这样，我们看出有一个圆同时过这四点，但当我们把D点移出来，发现没有圆同时过这四点。
原因是刚才我们说不共线三点确定一个圆，A、B、C三点已经确定圆了，怎么又有一个圆经过D点和A、B、C三点呢？
师：所以，四点是否确定圆的问题是有条件的，什么条件，有兴趣的同学们可以课后查阅相关资料，我们课后可以一起讨论。
对于四点问题的提出，有利于培养学生对问题思考的类比性，激发学有兴趣的同学继续深入研究
五、学生总结
师：通过这节课的学习，你有什么感悟和体验？
生1：确定圆要确定圆心和半径；
生2：知道三角形外接圆作图步骤和过点是否有圆的结论。
生3：用作线段的中垂线方法找圆心。
师：大家总结得都很好，我们作图不仅要会作，还要能说出其数学原理出来，理论与实践结合，用数学理论指导我们作图。
学生从学习内容、作图的关键和方法等方面对本节课谈谈他们的体会和感悟
课件9张PPT。学会作圆——点与圆的位置关系（二）授课者：广西·桂林市宝贤中学 张知莹一、问题引入用圆规画圆时，你是如何确定圆的位置和大小的。圆心——确定圆的位置半径——确定圆的大小求作经过某些点的圆，如何确定圆心和半径？作图要求一：作一个经过A点的圆A·结论：过一个点可以作无数个圆圆心——异于A点的任意一点半径——圆心到A点距离二、作出符合要求的圆作图要求二：作一个经过A、B两点的圆A··B结论：过两个点可以作无数个圆思考：①所作出的圆，圆心到A、B两点距离有什么关系？ ②圆心的分布有什么特点？圆心——线段AB中垂线上的点半径——圆心到A或B点距离还记得线段中垂线的尺规作图怎么画吗？O1·O2·O3·作图要求三：作一个经过不在同一直线A、B、C三点的圆A··B· CO·结论：过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心改变约束条件，过另外两点B、C的圆的圆心在什么位置？外接圆作图步骤： 圆心是三角形任意两边中垂线的交点，半径是圆心到任一顶点的距离O点到A、B、C三点距离有何关系？为什么?三、学生练习1、求作：直角三角形和钝角三角形的外接圆2、已知: A、B、C三个村庄位置如图，现要修建一个水塔，使三个村到水塔的距离相等。请画出水塔的位置。3、某工厂一台设备有一个圆形的零件，在生产中使用不当而破损，由于该设备图纸已丢失，无法知道它的尺寸。请同学们考虑用什么方法画出它复原图。O四、问题拓展（1）A、B、C三点在同一直线上结论：过同一直线上三点不能确定一个圆A··B· C（2）四点可以确定圆吗？①四点共线；A··BC··D·D②三点共线，第四点不在该直线上；③其中任意三点不共线；（四点一定共圆吗）五、学生总结1、作圆着重确定什么元素？3、今天作圆依据什么数学原理确定圆心？——圆心位置和半径大小——线段中垂线性质和其尺规作图方法2、作三角形外接圆如何确定圆心和半径？——任意两边中垂线的交点为圆心，圆心到其中一点距离为半径学会作圆——点与圆的位置关系（二）
一、问题引入
用圆规画圆时，你是如何确定圆的位置和大小的。
——确定圆的位置 ——确定圆的大小
二、作出符合要求的圆
作图要求一：作一个经过A点的圆 作图要求二：作一个经过A、B两点的圆
结论： 结论：
3、改变约束条件，过另外两点B、C的圆的圆心在什么位置？
作图要求三：作一个经过不共线A、B、C三点的圆
总结作图步骤：
三、学生练习
1、求作：直角三角形和钝角三角形的外接圆
2、已知: A、B、C三个村庄位置如图，
现要修建一个水塔，使三个村到水塔的
距离相等。请画出水塔的位置。
3、某工厂一台设备有一个圆形的零件，
在生产中使用不当而破损，由于该设备
图纸已丢失，无法知道它的尺寸。请同
学们考虑用什么方法画出它复原图。
四、问题拓展
（1）A、B、C三点在同一直线上 （2）四点可以确定圆吗？
结论：
五、学生总结
1、作圆着重确定什么元素？
2、作三角形外接圆如何确定圆心和半径？
3、今天作圆依据什么数学原理确定圆心？

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