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第六节　对数与对数函数
·最新考纲·
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象．
3．体会对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
·考向预测·
考情分析：对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．
学科素养：通过对数运算考查数学运算的核心素养；通过对数函数的图象与性质考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
积 累必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．对数
(1)对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)对数的性质：①＝________；＝b(a>0，且a≠1)．
(3)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝____________；
②loga＝________________；
③logaMn＝________(n∈R)．
(4)换底公式：logab＝________(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
2．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：________
值域：________
当x＝1时，y＝0，即过定点________
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上 是________ 在(0，＋∞)上 是________
3.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．它们的定义域和值域正好互换．
二、必明2个常用结论
1．换底公式的三个重要结论
①logab＝；②n＝logab；
③logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数图象的特点
(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；
当0(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
(3)在直线x＝1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)
(2)log2x2＝2log2x.(　　)
(3)当x>1时，logax>0.(　　)
(4)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P73练习T3改编]已知a＝，b＝log2，c＝，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
3．[必修1·P74习题T3改编]计算：
＋lg 7＝________．
(三)易错易混
4．函数y＝3＋loga(x＋3)的图象必经过定点的坐标为________．
5．(忽视底数a的讨论出错)若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷理]设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1，则(　　)
A．aC．b提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　对数式的化简与求值　[基础性]
1．[2022·山西省临汾市高三考试]已知4x＝3y＝m，且＝2，则m＝(　　)
A．2　 　　B．4　　 　C．6　　 　D．9
2．[2022· 临沂期末改编]若10a＝4，10b＝25，则下列选项中不正确的是(　　)
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8lg22 D．b－a>lg 6
3．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
4．计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
反思感悟　对数运算的一般思路
考点二　对数函数的图象及应用　[基础性、综合性]
[例1]　(1)[2022·泰安模拟]函数y＝ln (2－|x|)的大致图象为(　　)
(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
听课笔记：
反思感悟　对数型函数图象的考查类型及解题思路
(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．
(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法．
【对点训练】
1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)
2．[2022·西安调研]设x1，x2，x3均为实数，且＝＝＝lg x3，则(　　)
A．x1C．x2考点三　对数函数的性质及其应用　[综合性]
角度1　比较对数值的大小
[例2]　(1)[2020·全国卷Ⅲ]设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．aC．b(2)[2022·衡水检测]已知a＝()0.2，b＝，c＝ab，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．a听课笔记：
反思感悟　比较对数值大小的方法
若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
角度2　解简单的对数不等式
[例3]　已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)
A．(2，＋∞) 　　　　　 B．
C．，＋∞) D．(，＋∞)
听课笔记：
反思感悟　求解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
形如 logax>logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0形如 logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
角度3　对数型函数性质的综合应用
[例4]　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
听课笔记：
反思感悟　求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
二判 判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
【对点训练】
1．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝bc
C．ab>c
2．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
微专题 巧借运算性质　拟合函数破压轴
思想方法
[例]　[2021·辽宁大连期中]定义在(0，＋∞)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)<2的解集是(　　)
A．(－1，9) B．(0，8)
C．(8，9) D．(0，9)
解析：方法一　(一般解法)因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(3×3)＝f(9)，则不等式f(x)＋f(x－8)<2等价于f[x(x－8)]因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以不等式等价为即解得8所以不等式的解集为(8，9)，故选C.
方法二　(秒杀解法)根据在(0，＋∞)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，可以设f(x)＝log3x(x>0)，
则不等式f(x)＋f(x－8)<2可化为log3x＋log3(x－8)<2，
得即
解得8答案：C
名师点评　本题是一个抽象函数的试题，如果直接研究抽象函数的单调性有困难，可尝试根据抽象函数的结构和形式，从中找到一个能“拟合”这个规律的具体函数，结合具体函数的性质解决问题．如本题抽象函数有性质“f(xy)＝f(x)＋f(y)”，可以借助对数函数模型解题．
[变式训练]　若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则＋…＋＝(　　)
A．1 009　　B．2 018　　C．2 019　　D．2 020
第六节　对数与对数函数
积累必备知识
一、
1．(1)x＝logaN　(2)N　(3)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM　(4)
2．(2)(0，＋∞)　R　(1，0)　增函数　减函数
3．y＝logax　y＝x　
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因为01.所以c>a>b.
答案：D
3．解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
答案：
4．解析：因为当x＝－2时，y＝3＋0＝3，所以该函数的图象必过定点(－2，3)．
答案：(－2，3)
5．解析：当0当a>1时，loga1.
所以实数a的取值范围是
答案：
6．解析：a＝2ln 1.01＝ln 1.012＝ln (1＋0.01)2＝ln (1＋2×0.01＋0.012)>ln 1.02＝b，所以b下面比较c与a，b的大小关系．
记f(x)＝2ln (1＋x)－＋1，则
f(0)＝0，f′(x)＝＝，
由于1＋4x－(1＋x)2＝2x－x2＝x(2－x)
所以当00，
即>(1＋x)，f′(x)>0，
所以f(x)在[0，2]上单调递增，
所以f(0.01)>f(0)＝0，即2ln 1.01>－1，即a>c；
令g(x)＝ln (1＋2x)－＋1，则
g(0)＝0，g′(x)＝＝，
由于1＋4x－(1＋2x)2＝－4x2，
在x>0时，1＋4x－(1＋2x)2<0，
所以g′(x)<0，即函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以g(0.01)综上，b答案：B
提升关键能力
考点一
1．解析：由题知，x＝log4m，y＝log3m，则＝＝logm4＋2logm3＝logm36＝2，
则m＝6，故选C.
答案：C
2．解析：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg 6且lg <1，故B错误，D正确；ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正确．
答案：B
3．解析：设logba＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
答案：4　2
4．解析：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝
＝
＝－.
(3)原式
＝·＝·＝·＝.
考点二
例1　解析：(1)令f(x)＝ln (2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距．
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．
答案：(1)A　(2)(1，＋∞)
对点训练
1．解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B项；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D项，故选C项．
答案：C
2．解析：画出函数y＝，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示：
由图象直观性，知x2答案：D
考点三
例2　解析：(1)因为a＝log32＝log3b＝log53＝log5＞log5＝＝c，所以a＜c＜b.
(2)函数y＝()x与y＝的图象关于直线y＝x对称，则，∴a又c＝ab＝
＝＝0.20.2<()0.2＝a，所以b>a>c.
答案：(1)A　(2)B
例3　解析：因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，
即|log2x|>1，解得02.
答案：B
例4　解析：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1.
因此a＋5＝4，即a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0，得－1即函数f(x)的定义域为(－1，3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有，解得a＝.
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.
对点训练
1．解析：因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32c.
答案：B
2．解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，
即8－2a>a，且8－2a>0，
解得1当0由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴8－a0，此时解集为 .
综上可知，实数a的取值范围是.
微专题 　巧借运算性质　拟合函数破压轴
变式训练
　解析：方法一　因为f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，所以f(a＋1)＝f(a)·f(1)，所以＝f(1)＝2，
所以＝＝＝…＝＝＝＝2，(共有1 010项)
所以＋…＋＝1 010×2＝2 020.
方法二　根据题意可设f(x)＝2x，则
＋…＋＝＋…＋＝2×1 010＝2 020.
答案：D

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