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第七节　函数的图象
最新考纲
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．
考向预测
考情分析：本节的常考点有函数图象的辨析、函数图象和函数性质的综合应用及利用图象解方程或不等式，其中函数图象的辨析仍是高考考查的热点，题型以选择题为主，属中档题．
学科素养：通过函数图象的识别及应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．描点法作图的流程
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象与y＝______的图象关于x轴对称；
y＝f(x)的图象与y＝______的图象关于y轴对称；
y＝f(x)的图象与y＝______的图象关于原点对称；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与y＝________(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)伸缩变换
(4)翻折变换
二、必明3个常用结论
1．记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2．图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换．
3．图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P35例5改编]函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
3．[必修1·P24习题A组T7改编]下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
(三)易错易混
4．(记错变换规律出错)把函数f(x)＝ln x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________．
5．(忽视定义域及分段不清出错)画出函数y＝的图象．
(四)走进高考
6．[2021·浙江卷]已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象为如图的函数可能是(　　)
A.y＝f(x)＋g(x)－
B．y＝f(x)－g(x)－
C．y＝f(x)g(x)
D．y＝
关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　作函数的图象　[基础性]
作出下列函数的图象：
(1)y＝()|x|；
(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
反思感悟　函数图象的3种常用画法
方法 适用条件
直接法 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象．
转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
图象 变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
考点二　函数图象的辨识　[基础性、综合性]
[例1]　(1)[2020·浙江卷]函数y＝x cos x＋sin x在区间[－π，π]的图象大致为(　　)
(2)函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝x
D．f(x)＝x cos x
听课笔记：
1．抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
2．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【对点训练】
1．[2022·重庆诊断]函数f(x)＝x cos 的图象大致为(　　)
2.
[2022·开封市第一次模拟考试]某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝(ex－e－x)cos x
B．f(x)＝(ex－e－x)|cos x|
C．f(x)＝(ex＋e－x)cos x
D．f(x)＝(ex＋e－x)sin x
考点三　函数图象的应用　[综合性]
角度1　研究函数的性质
[例2]　在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点．设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断不正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0，2]
D．函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增
　利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
角度2　函数图象在不等式中的应用
[例3]　(1)若函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则的大小关系是(　　)
A．>>
B．>>
C．>>
D．>>
(2)[2020·北京卷]已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)
C．(0，1)
D．(－∞，0)
角度3　求参数的取值范围
[例4]　(1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
听课笔记：
利用函数的图象研究不等式的基本思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解.
【对点训练】
1．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
2．已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________．
3．[2022·淄博模拟]关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述不正确的有(　　)
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
微专题破解抽象函数图象的对称性　
[例]　下列说法中，正确命题的个数为(　　)
①函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称；
②函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称；
③如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
④函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，把函数y＝f(x)中的y换成－y，x保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于x轴对称；对于②，把函数y＝f(x)中的x换成－x，y换成－y，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点对称；对于③，若对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝＝a对称；对于④，因为函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，它们的图象分别向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象，即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
答案：D
　函数对称性的常用结论
(1)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)；
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称；函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(x)的图象关于直线y＝b对称．
[变式训练]　已知下图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．
①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；
④y＝f(－|x|)．
第七节　函数的图象
积累必备知识
一、
2．(1)f(x)－k　(2)－f(x)　f(－x)　－f(－x)　logax　(4)|f(x)|　f(|x|)
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，关于原点对称．
答案：C
3．解析：其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．
答案：C
4．解析：根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln .
答案：y＝ln
5．解析：y＝其图象如图所示．
6．解析：y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；y＝f(x)－g(x)－＝x2－sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；y＝f(x)g(x)＝sin x，
则y′＝2x sin x＋cos x，
当x＝时，y′＝>0，与图象不符，排除C.
答案：D
提升关键能力
考点一
解析：(1)先作出y＝()x的图象，保留y＝()x图象中x≥0的部分，再作出y＝()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图象，如图①实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.
考点二
例1　解析：(1)因为f(x)＝x cos x＋sin x，则f(－x)＝－x cos x－sin x＝－f(x)，又x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C，D错误．当x＝π时，y＝πcos π＋sin π＝－π<0，知B错误；只有A满足．
(2)从图象看，y＝f(x)应为奇函数，排除C；
又f＝0，知f(x)＝x＋sin x不正确；
对于B，f(x)＝，得f′(x)＝，
当0所以f(x)＝＝在上递减，B不正确；
只有f(x)＝x cos x满足图象的特征．
答案：(1)A　(2)D
对点训练
1．解析：根据题意，f(x)＝x cos ＝x sin x，定义域为R，关于原点对称．有f(－x)＝(－x)sin (－x)＝x sin x＝f(x)，即函数y＝f(x)为偶函数，排除B，D.
当x∈(0，π)时，x>0，sin x>0，有f(x)>0，排除C.只有A适合．
答案：A
2．解析：当x＝0时，C选项中f(0)＝2，不合题意，排除C.当x＝π时，B选项中f(π)＝×1>0，不合题意，排除B.D选项中f(π)＝0，不合题意，排除D.
答案：A
考点三
例2　解析：由题意得，当－4≤x＜－2时，点B的轨迹为以(－2，0)为圆心，2为半径的圆；当－2≤x＜2时，点B的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆；当2≤x＜4时，点B的轨迹为以(2，0)为圆心，2为半径的圆，如图所示；以后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数．由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；因为f(x)的周期为8，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可知，f(x)的值域为[0，2]，故C正确；由图象可知，f(x)在[－2，0]上单调递增，因为f(x)在[6，8]的图象和在[－2，0]的图象相同，故D正确．
答案：A
例3　解析：(1)由题意可得，分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，c(f(c))与原点连线的斜率．
结合图象可知，当a>b>c>0时，<<.
(2)函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象(图略)，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)故选D.
答案：(1)B　(2)D
例4　解析：(1)画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0，1)．
(2)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，
所以①(－3消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，该方程有两个不等实根x1，x2，
∴
∴0②(x>1)有两组不同解．
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两不等实根x3、x4，
∴Δ＝a2－10a＋9>0，
又∵x3＋x4＝a－3>2，x3x4＝a＞1，∴a>9.
综上可知，09.
答案：(1)(0，1)　(2)(0，1)
对点训练
1．解析：(1)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
2．解析：∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，
由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图．
当x∈(－2，－1)时，f(x)>0，
当x∈(－∞，－2)时，f(x)<0，
∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)
答案：(－2，－1)
3．解析：函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示，
由图可得，
函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．
答案：C
微专题　破解抽象函数
图象的对称性
变式训练
　解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的，故选④.
答案：④

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