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第五节　指数与指数函数
·最新考纲·
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，的指数函数的图象．
4．体会指数函数是一类重要的函数模型．
·考向预测·
考情分析：指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主．
学科素养：通过指数幂的化简求值，考查数学运算的核心素养，通过指数函数图象及性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．根式的概念及性质
(1)概念：式子 叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)①________没有偶次方根．
②0的任何次方根都是0，记作＝________．
③( )n＝____(n∈N*，且n>1)．
④ ＝a(n为大于1的奇数)．
⑤ ＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
2．分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂________．
3．指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝________；(ar)s＝________；(ab)r＝________，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 ________
性质 过定点________，即x＝0时，y＝1
当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x<0时，________； 当x>0时，________
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
二、必明3个常用结论
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03．在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1) ＝π－4.(　　)
＝＝.(　　)
(3)函数y＝a－x(a>0且a≠1)是R上的增函数．(　　)
(4)函数y＝ax(a>0且a≠1)与x轴有且只有一个交点．(　　)
(5)若am>an，则m>n.(　　)
(6)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P54练习T2改编]化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
3．[必修1·P56例6改编]若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P(2，)，则f(－1)＝________．
(三)易错易混
4．(忽视底数的讨论致错)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
5．(忽视底数的讨论致错)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．
(四)走进高考
6．[2020·天津卷]设a＝30.7，b＝()－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　指数幂的化简与求值　[基础性]
．－π0＝________．
2．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．
3．[2022·沧州联考(a>0，b>0)＝________．
4．已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　
[注意]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
考点二　指数函数的图象及应用　[综合性]
[例1]　(1)[2022·洛阳市高三模拟]已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是(　　)
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
听课笔记：
一题多变　
1．(变条件)若将例1(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．
2．(变条件，变问题)若将例1(2)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？
3．(变条件，变问题)若将例1(2)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？
反思感悟　 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【对点训练】
1．不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是(　　)
A．(1，－) B．(1，)
C．(－1，－) D．(－1，)
2．定义运算a b＝则函数f(x)＝1 2x的图象是(　　)
考点三　指数函数的性质及应用　[综合性]
角度1　比较指数幂的大小
[例2]　(1)[2022·唐山模拟]设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
(2)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是________．
听课笔记：
反思感悟　比较指数幂大小的常用方法
(1)单调性法：不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化为同底数的尽可能化为同底数的．
(2)取中间值法：不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．
(3)图解法：根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．
角度2　解简单的指数方程或不等式
[例3]　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
(2)设函数f(x)= 若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
听课笔记：
反思感悟　解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.
角度3　指数函数性质的综合应用
[例4]　(1)函数y＝－()x＋1在区间[－3，2]上的值域是________．
(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________．
听课笔记：
　反思感悟 求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.
【对点训练】
1．[2022·郑州调研]已知函数f(x)＝，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b2．若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________．
微专题 换元法求解与指数型函数有关的最值问题
思想方法
[例]　已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．
解析：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，
∴当a>1时，y≥2.
当0∵g(0)＝－1，g(1)＝2，
∴当0综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0名师点评　
1．此例利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2＋2t－1，将问题转化为求二次函数的最值(值域)问题，从而减少了运算量．
2．对于同时含有ax与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数函数中的类似问题，也用这种方法．
[变式训练]　已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，求m的取值范围．
第五节　指数与指数函数
积累必备知识
一、
1．(1)根式　(2)负数　0　a　a　－a
2. 没有意义
3．ar＋s　ars　arbr　
4．(0，＋∞)　(0，1)　y>1　01　0三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
2．解析：因为x<0，y<0，所以＝＝＝2x2|y|＝－2x2y.
答案：D
3．解析：由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案：
4．解析：方法一　当a>1时，将y＝ax的图象向下平移个单位长度得f(x)＝ax－的图象，A、B都不符合；当0方法二　函数f(x)的图象恒过点(－1，0)，
只有D中的图象符合．
答案：D
5．解析：当a>1时，f(x)＝ax在[－1，1]上为增函数，
∵函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，
∴a1＝2，解得a＝2；
当0∵函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，
∴a－1＝2，解得a＝，
综上可得，a＝2或.
答案：2或
6．解析：因为a＝30.7＞30＝1，b＝＝30.8>30.7，c＝log0.70.8答案：D
提升关键能力
考点一
1.解析： － -1
= － 1= -1= 0
答案：0
2．解析：∵f(a)＝2a＋2－a＝3.
∴f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝32－2＝7.
答案：7
3．解析：原式＝＝.
答案：
4．解析：因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.
答案：6
考点二
例1　解析：(1)由函数f(x)的大致图象可知3(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案：(1)A　(2)[－1，1]
一题多变
1．解析：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1)．
2．解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0].
3．解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．
当a>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；
当0综上可知，a的取值范围是.
对点训练
1．解析：y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
答案：C
2．解析：因为当x≤0时，2x≤1；
当x>0时，2x>1.
所以f(x)＝1 2x＝
答案：A
考点三
例2　解析：(1)y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，
∵y＝2x在定义域内为增函数，
∴y1>y3>y2.
(2)∵a＝＝＝b>0，
又函数f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，
∴f(a)>f(b)．
答案：(1)D　(2)f(a)>f(b)
例3　解析：(1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1无解，故a的值为.
(2)当a<0时，原不等式化为()a－7<1，
则2－a<8，解得a>－3，所以－3当a≥0时，则<1，0≤a<1.
综上，实数a的取值范围是(－3，1)．
答案：(1)　(2)(－3，1)
例4　解析：(1)因为x∈[－3，2]，所以若令t＝()x，
则t∈，
故y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，ymin＝；
当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数值域为.
解析：(2)由题意知f(x)是奇函数，且在R上为减函数，
则f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0，
即f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2)．
所以t2－2t>1－2t2，解得t>1或t<－.
答案：(1)
(2)
对点训练
1．解析：因为f(x)＝＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数，
又y＝2x在定义域上单调递增，
y＝2－x在定义域上单调递减，
所以f(x)＝2x－2－x在定义域上单调递增，
由20.3>1，0<0.20.3<1，log0.32<0，
可得f(20.3)>f(0.20.3)>f(log0.32)，则a>b>c.
答案：A
2．解析：∵y＝是减函数，且f(x)的值域是，
∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，
则a>0且＝2，解之得a＝1，
因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
答案：(－∞，－1]
微专题 　换元法求解与指数型函数
有关的最值问题
变式训练
　解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈.
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间上单调递增，
故有－，解得m≥－.
所以m的取值范围为.

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