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第四节　二次函数与幂函数
·最新考纲·
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．
3．理解二次函数的图象和性质．
4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
·考向预测·
考情分析：幂函数一般不单独命题，常与指数、对数函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．
学科素养：通过二次函数与幂函数的图象及性质考查直观想象、数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝____________．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 ______
值域
对称轴 x＝________
顶点 坐标 ________
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是____函数； 在上是____函数； 在上是____函数； 在上是____函数
二、必明3个常用结论
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P79习题T1改编]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点()，则k＋α＝(　　)
A． B．1
C． D．2
3．[必修1·P44习题A组T9改编]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．
(三)易错易混
4．(忽视二次项系数的讨论)已知函数f(x)＝ax2＋ax＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A．(0，20) B．[0，20)
C．[0，20] D．[20，＋∞)
5．(忽视函数的定义域)若，则实数a的取值范围是________．
(四)走进高考
6．[2020·江苏卷]已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则f(－8)的值是________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　幂函数的图象和性质　[基础性]
1．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　)
2．[2022·巴蜀中学调研]已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f()，b＝f(ln π)，c＝)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b3．[2022·长沙质检]幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________．
反思感悟　幂函数的指数与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数，当α是分数时，一般将其先化为根式再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
[提醒]　在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点二　二次函数的解析式　[综合性]
[例1]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
听课笔记：
反思感悟　求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：
【对点训练】
1．若二次函数的图象过点(4，－3)，且当x＝3时，二次函数取得最大值－1，则该函数的解析式为________．
2．若二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(1，0)，(3，0)，且过点(0，3)，则该二次函数的解析式是________．
考点三　二次函数的图象和性质　[综合性]
角度1　二次函数的图象
[例2]　(1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的结论是(　　)
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0　 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0　 D．f(m＋1)<0
听课笔记：
反思感悟
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件．
角度2　二次函数的单调性与最值
[例3]　[2022·沈阳模拟]已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
听课笔记：
反思感悟
(1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．
(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
角度3　二次函数中的恒成立问题
[例4]　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
听课笔记：
反思感悟　　由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．其中分离参数的依据是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
【对点训练】
1．[2022·重庆联考]已知二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]
B．[0，6]
C．[6，＋∞)
D．(－∞，0]
2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
3．设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
微专题 三个“二次”间的转化
思想方法
[例]　若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)由f(0)＝1，得c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x.
∴　∴
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
名师点评　二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体，因此，解决此类问题，首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题，借助函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
[变式训练]　若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围．
第四节　二次函数与幂函数
积累必备知识
一、
1．(1)y＝xα
2．(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(m，n)
(2)R　－　减　增　增　减
三、
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2．解析：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1；又f(x)的图象过点，所以()α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
答案：C
3．解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]
4．解析：a＝0时，f(x)＝5>0成立，
解得0综上0≤a<20.
答案：B
5．解析：由0≤a＋1<3－2a，得－1≤a<.
答案：
6．解析：y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则f(－8)＝－f(8)＝＝－4.
答案：－4
提升关键能力
考点一
1．解析：设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0答案：C
2．解析：由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，
又＝>，
所以>f，则b>c>a.
答案：A
3．解析：由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，
当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，
因此m＝2.
答案：2
考点二
例1　解析：方法一　(利用“一般式”)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用“顶点式”)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三　(利用“零点式”)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即
＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
对点训练
1．解析：设函数的解析式为y＝a(x－3)2－1，把(4，－3)代入得－3＝a－1，解得a＝－2，故所求二次函数的解析式为y＝－2x2＋12x－19.
答案：y＝－2x2＋12x－19
2．解析：设二次函数的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，代入(0，3)，解得a＝1，即所求二次函数图象的解析式为y＝x2－4x＋3.
答案：y＝x2－4x＋3
考点三
例2　解析：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)<0，得－1所以m＋1>0>－，所以f(m＋1)>f(0)>0.
答案：(1)B　(2)C
考点三
例3　解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝.
①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上递增．
∴f(x)min＝f＝＝－.
②当>1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
例4　解析：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，得
即－4∴所求m的取值范围是(－4，0].
解析：(2)方法一　要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立．
就要使m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二　当x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴只需m<即可．
综上所述，m的取值范围是.
对点训练
1．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，且a≠0)，
∵f(3＋x)＝f(3－x)，
∴a(3＋x)2＋b(3＋x)＋c＝a(3－x)2＋b(3－x)＋c，
∴x(6a＋b)＝0，∴6a＋b＝0，
∴f(x)＝ax2－6ax＋c＝a(x－3)2－9a＋c.
又∵f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，
∴a<0，∴f(x)的图象是以直线x＝3为对称轴，开口向下的抛物线，
∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，
∴实数m的取值范围是[0，6].
答案：B
2．解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
3．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t<1当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0f(x)min＝1，当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2.
微专题 　三个“二次”间的转化
变式训练
　解析：设f(x)＝x2＋mx－1，则
即化简得
解得所以－则实数m的取值范围为.

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