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第八节　函数与方程
最新考纲
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
考向预测
考情分析：本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点解决一些参数问题，其中利用零点解决一些参数问题仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．
学科素养：通过函数零点的判断与求解考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2．函数零点存在定理
(1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②________<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
二、必明3个常用结论
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0)．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)
(4)若连续不断的函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P92习题A组T5改编]函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．和(3，4) D．(4，＋∞)
3．[必修1·P88例1改编]函数f(x)＝－()x的零点个数为________．
(三)易错易混
4．(忽视二次项系数为0的情况)若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
5．(不会用数形结合讨论二次方程根的分布)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．
(四)走进高考
6．[2019·全国Ⅲ卷]函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A．2　　　　B．3 　　　　C．4　　　　D．5
关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　函数零点所在区间的判定　
1．函数f(x)＝＋ln 的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(0，1)，(2，3)
2．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2　确定函数零点(或方程的根)所在区间的3种方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点二　确定函数零点的个数　[基础性、综合性]
[例1]　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3　　　B．2
C．1　 D．0
(2)[2022·河南郑州质检]已知函数f(x)＝()x－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
听课笔记：
　函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
【对点训练】
1．[2022·重庆调研]设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　)
A．4 B．3　
C．2　 D．1
2．函数f(x)＝2sin x sin －x2的零点个数为________．
考点三　函数零点的应用　[综合性]
角度1　根据函数零点个数求参数
[例2]　(1)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)
A． B．
C．
角度2　根据零点的范围求参数
[例3]　(1)[2022·武汉质检]若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)　 B．[2，＋∞)
C． D．
(2)[2022·衡水检测]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[1，2]时，f(x)＝log2x，若方程f(x)－ax＝0在(0，＋∞)上恰好有两个不等的实数根，则正实数a的值为(　　)
A． B．
C． D．2
角度3　求函数多个零点(方程根)的和
[例4]　[2021·广东七校联考]设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos (πx)|－f(x)在区间上的所有零点的和为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
　已知函数有零点(方程有根)求参数值(范围)的3种常用的方法
(1)直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
【对点训练】
1．[2022·武汉质量监测]已知函数f(x)＝－a.若f(x)没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，e)　 B．(0，1)
C．(0，e)　 D．[0，1)
2．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
微专题解嵌套函数的零点问题　
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
类型1　嵌套函数零点个数的判断
[例1]　已知f(x)＝则函数y＝－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝或f(x)＝1，
作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．
答案：5
　求解此类问题的主要步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
类型2　求嵌套函数零点中的参数
[例2]　函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).
在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．　
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；
当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解；
当a<－1时y＝a与y＝f(t)的图象只有一个交点，函数g(x)只有一个零点，不合题意，综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
答案：[－1，＋∞)
　(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．
(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．
[变式训练]　已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
第八节　函数与方程
积累必备知识
一、
1．(1)f(x)＝0　(2)x轴　f(x)＝0
2．(1)f(a)·f(b)　(2)f(c)＝0
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：因为f(2)＝ln 2－1<0，
f(3)＝ln 3－>0，
且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，
所以f(x)的零点在区间(2，3)内．
答案：B
3．解析：作函数y1＝和y2＝()x的图象如图所示，
结合函数的单调性及图象知函数f(x)有1个零点．
答案：1
4．解析：若函数f(x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个根，若a＝0，则方程2ax2－x－1＝0可化为：－x－1＝0方程的解为－1，不成立；若a<0，则方程2ax2－x－1＝0不可能有正根，故不成立；若a>0，则Δ＝1＋8a>0，且c＝－1<0；
故方程有一正一负两个根，
故方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个解可化为
(2a·02－0－1)(2a·12－1－1)<0；
解得，a>1；
故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：C
5．解析：由题意m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
∴y＝－x2＋2x在(0，4)上的值域为(－8，1]，∴－8答案：(－8，1]
6．解析：方法一　函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数，
即2sin x－sin 2x＝0在区间[0，2π]的根个数，
即2sin x＝sin 2x，令h(x)＝2sin x和g(x)＝sin 2x，
作出两函数在区间[0，2π]的图象如图所示，由图可知，
h(x)＝2sin x和g(x)＝sin 2x在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．故选B.
方法二　因为f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x(1－cos x)，x∈[0，2π]，令f(x)＝0，得2sin x(1－cos x)＝0，即sin x＝0或1－cos x＝0，解得x＝0，π，2π.
所以f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为3个．
提升关键能力
考点一
1．解析：求函数f(x)＝＋ln 的零点所在的大致区间，等价于求＋ln ＝0的解所在的大致区间，等价于求＝－ln 的解所在的大致区间，等价于求＝ln x的解所在的大致区间，等价于求y＝与y＝ln x的图象在(0，＋∞)上的交点的横坐标所在的大致区间(如图所示)，由图可得，选D.
答案：D
2．解析：∵a∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，
f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．
答案：A
3．解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
答案：2
考点二
例1　解析：(1)方法一　由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二　函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2) 如图，作出g(x)＝()x与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
答案：(1)B　(2) C
对点训练
1．解析：易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，所以x≥0时，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，所以x＝1是函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的唯一零点．
根据奇偶性，知x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点，因此y＝f(x)有两个零点．
答案：C
2．解析：f(x)＝2sin x cos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：
由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
答案：2
考点三
例2　解析：(1)由题意知，如图，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab＝1，0(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图．
方程f(x)＝－x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的公共点的个数．
当直线l经过点A时，有2＝－×1＋a，a＝；
当直线l经过点B时，有1＝－×1＋a，a＝；
由图可知，a∈时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点．
另外，当直线l与曲线y＝，x>1相切时，恰有两个公共点，此时a>0.
联立得＝－x＋a，
即x2－ax＋1＝0，
由Δ＝a2－4××1＝0，得a＝1(舍去负根)．
综上，a∈
答案：(1)(0，1)　(2)D
例3　解析：(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，
即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，
则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
(2)由f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，可知f(x)为偶函数，且一条对称轴为直线x＝1；
再由f(x＋1)＝f(x－1)，可得f(2＋x)＝f(x)，求得周期为2.
根据x∈[1，2]时，f(x)＝log2x，作出函数f(x)的草图，如图所示：
∵方程f(x)－ax＝0在(0，＋∞)上恰好有两个不等的实数根，
∴函数y＝ax与y＝f(x)的图象在y轴右侧有两个交点．
设y＝ax与y＝log2x的图象相切时，切点坐标为(x0，log2x0)，
由y′＝，得＝，解得x0＝e>2.
∴由图象可知，当直线y＝ax过点(2，1)时，方程f(x)－ax＝0在(0，＋∞)上恰好有两个不等的实数根，∴a＝.
答案：(1)D　(2)C
例4　解析：由f(－x)＝f(x)，知函数f(x)是偶函数，由f(x)＝f(2－x)，可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1.由于函数f(x)与函数y＝|cos (πx)|均为偶函数，所以在上g(x)的零点之和为0，只需求在上的零点和．在同一个直角坐标系中画出函数y＝|cos (πx)|，y＝f(x)在上的图象如图，
在上，(1，1)为两函数图象的交点，另外两个交点关于x＝1对称，所以在上，g(x)的零点和为3，故所有零点的和为3.
答案：C
对点训练
1．解析：由f(x)＝－a＝0，得ex＝ax.若a<0时，显然y＝ex与y＝ax有零点，
因此若f(x)无零点，必然有a≥0.
当y＝ax与y＝ex相切时，设切点)，
则a＝且＝ax0，
∴a＝ax0，∴x0＝1，则切线斜率k＝|x0＝1＝e.
因此，要使曲线y＝ex与y＝ax不相交，则0≤a答案：A
2．解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得答案：
微专题　解嵌套函数的零点问题
变式训练
　解析：令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题．
令y＝f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋，
分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图1，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1由图2，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；
当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解．
所以y＝f(f(x))－2f(x)－共有4个零点．
答案：A

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