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2022年山东省德州市宁津县中考数学一模试卷
一、选择题。本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．（4分）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（4分）截至2021年11月2日，中国神舟十三号载人飞船长征二号已在轨飞行18天，距离地球约63800000千米（　　）
A．63.8×106千米 B．6.38×107千米
C．0.638×108千米 D．6.38×108千米
3．（4分）下列四个几何体中，俯视图形状与其它三个不同的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2b3）2＝﹣4b6 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2a2+a2＝3a2 D．2a6÷2a2＝a3
5．（4分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他），绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（　　）
A．样本容量为400
B．类型D所对应的扇形的圆心角为36°
C．类型C所占百分比为30%
D．类型B的人数为120人
6．（4分）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，则∠AOC的度数是（　　）
A．144° B．130° C．129° D．108°
8．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，且点A，B，C，D，E在同一平面内（　　）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点CCE的长为半径画弧，两弧交于点F，则CG的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
12．（4分）如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段AB为边在AB上方作等边三角形ABC，连接CD，下列四个结论：①△BOA≌△BDC；②直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°； ④随点B的移动，线段CD的长逐渐增大．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题。本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小題填对得4分。
13．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
15．（4分）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 　 　．（请填上正确的序号）
16．（4分）⊙P过坐标原点O，与x轴、y轴相交于点A、B，且OA＝OB＝4，作射线OP，则图中阴影部分面积为 　 　．
17．（4分）如图，一次函数y＝2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2，A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A2，A3，…均在直线l上，顶点O，O1，O2，…均在x轴上，则点Bn的坐标是　 　．
18．（4分）已知：点E是正方形ABCD边上的一点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，得到线段EA'，则线段DA'的最小值为 　 　．
三、解答题。本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝tan45°+．
20．（10分）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
21．（10分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
①　 　；
②　 　；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　 　；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　 　；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C四边形OABC＝　 　．
22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F
（1）求证：CD与⊙O相切于点D；
（2）若sin∠C＝，BD＝12，求EF的长．
23．（12分）某商场购进A、B两种商品进行销售，已知购进4件A商品和6件B商品需260元，购进5件A商品和4件B商品需220元．两种商品以相同的售价销售1（件）与售价x（元）之间的关系为y1＝310﹣5x；当售价为40元时，B商品可销售100件，少销售3件．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）当商品售价为多少元时，A、B两种商品的销售利润总和最大？最大利润是多少？
24．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．
（1）求证：△DCE≌△DAF；
（2）如图2，连接EF，过点D作DH⊥EF，延长DH交BF于点G，连接HB
①求证：HD＝HB；
②求∠DCH的度数．
25．（14分）已知：抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）如图1，连PC、PO，PO交直线BC于点F，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；
（3）如图2，连接AP交y轴于点E，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求直线AP的解析式．
2022年山东省德州市宁津县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．【解答】解：﹣2的相反数为2．
故选：A．
2．【解答】解：用科学记数法表示63800000千米为6.38×107千米．
故选：B．
3．【解答】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C．
故选：A．
4．【解答】解：A、（﹣2b3）8＝4b6，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（a﹣b）3＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a2+a3＝3a2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、3a6÷2a6＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．【解答】解：100÷25%＝400（人），
∴样本容量为400，
故A正确，
360°×10%＝36°，
∴类型D所对应的扇形的圆心角为36°，
故B正确，
140÷400×100%＝35%，
∴类型C所占百分比为35%，
故C错误，
400﹣100﹣140﹣400×10%＝120（人），
∴类型B的人数为120人，
故D正确，
∴说法错误的是C，
故选：C．
6．【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣6，
解不等式②，得：x≤13，
故原不等式组的解集是﹣6＜x≤13，
其解集在数轴上表示如下：
，
故选：B．
7．【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷8＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
8．【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴位于y轴右侧，
∴a＜0，﹣＞7，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y＝ax﹣b的图象经过第一、三、四象限的图象在第一．
故选：C．
9．【解答】解：∵第二次购进数量比第一次多1倍，且第一次购进x套，
∴第二次购进2x套．
依题意得：﹣＝4．
故选：A．
10．【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝6：，
设DF＝xm，CF＝，
∴CD＝＝2x＝20m，
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝+30）＝（10+10，
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
故选：A．
11．【解答】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝8，
在Rt△DGE中，DE＝2，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣82＝（6﹣CG）4，
解得CG＝．
故选：D．
12．【解答】解：①∵△OBD和△ABC都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠OBD＝∠ODB＝∠BOD＝60°，BO＝BD，
∴∠ABC﹣∠DBA＝∠OBD﹣∠DBA，
∴∠CBD＝∠ABO，
∴△BOA≌△BDC（SAS），
故①正确；
②延长CD交x轴于点E，
∵∠ODC＝150°，
∴∠ODE＝180°﹣∠ODC＝30°，
∵∠BOA＝90°，∠BOD＝60°，
∴∠DOA＝∠BOA﹣∠BOD＝30°，
∴∠DEA＝∠DOA+∠ODE＝60°，
∴直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°，
故②正确；
③∵△BOA≌△BDC，
∴∠BDC＝∠BOA＝90°，
∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+90°＝150°，
故③正确；
④∵△BOA≌△BDC，
∴CD＝OA，
∵点A是x轴上一个定点，
∴OA的值是一个定值，
∴随点B的移动，线段CD的值不变，
故④错误；
故选：C．
二、填空题。本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小題填对得4分。
13．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥6．
故答案为：x≥2．
14．【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2＝﹣6，
∴m＝﹣3，
故答案为﹣3，
15．【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等2﹣b8，右边阴影部分面积＝（a+b） （a﹣b），
可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等7﹣（a﹣b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝3a 2b＝4ab，
可得：（a+b）7﹣（a﹣b）2＝2a 5b，不可以验证平方差公式．
故答案为：①②．
16．【解答】解：连接AB，如图所示，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∵AO＝BO＝4，
根据勾股定理，得AB＝，
∴半径为，
∴S阴影＝+＝4+6π．
故答案为：4+2π．
17．【解答】解：∵一次函数y＝2x+2，
∴M（﹣7，0），A1（2，2），
∵四边形AOBA1是菱形，
∴A7O1与A1M关于y轴对称，OA7与AB互相垂直平分，
∴O1（1，3），且AB是△MA1O1的中位线，
∴B（，1），
同理，O7A2与A1B8互相垂直平分，
把x＝1代入y＝2x+5得y＝4，
∴A2（4，4），
∵O1A8垂直平分A1B1，
∴O3（3，0），B4（2，2），
把x＝2代入y＝2x+2得y＝7，
∴A3（3，2），
∵O2A3垂直平分A4B2，
∴B2（4，4），
∴Bn的横坐标是：3×3n﹣1﹣1，纵坐标是：3n．
∴Bn的坐标是（3×2n﹣8﹣1，2n）．
故答案为：（5×2n﹣1﹣3，2n）．
18．【解答】解：在AB上取一点G，使得AG＝EC，CA′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∴AB﹣AG＝BC﹣EC，
∴BG＝BE，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°，
∵∠AEA′＝90°，
∴∠AEB+∠CEA′＝90°，
∴∠GAE＝∠CEA′，
在△AGE和△ECA′中，
，
∴△AGE≌△ECA′（SAS），
∴∠AGE＝∠ECA′，
∴∠AGE＝135°，
∴∠DCA′＝135°﹣90°＝45°，
∵DF⊥CA′，CD＝AB＝2，
∴DF＝，
∴当A′和F重合时，DA′最小．
三、解答题。本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
x＝tan45°+＝4+2﹣4＝﹣4．
∴原式＝．
20．【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：2，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．
21．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，xy＝2，
∴m＝1，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）由函数图象的对称性可知，函数的图象关于y轴对称，
从函数的增减性可知，在y轴的左侧（x＜4）；在y轴的右侧（x＞0）；
故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，当x＞6时；
（3）如图，①由A，由题意可得四边形OABC是平行四边形四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝3，
②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，
③S四边形OABC＝5|k|＝2k，
故答案为：4，7，2k．
22．【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOF+∠OAD＝90°，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC+∠ODA＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AEO，
∴OF∥BD，OA＝OB，
∴OE＝＝6，
∵sinC＝＝，
设OD＝x，OC＝3x，
∴CB＝OC+OB＝7x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF＝5，
∴EF＝OF﹣OE＝9﹣6＝7．
23．【解答】解：（1）设A、B两种商品每件的进价分别为x元，
由题意得：，
解得：，
答：A、B两种商品每件的进价分别为20元；
（2）设商品售价为x元，两种商品的销售利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣20）（310﹣5x）+（x﹣30）[100﹣4（x﹣40）]＝﹣8x2+720x﹣12800＝﹣5（x﹣45）2+3400，
∵﹣8＜8，
∴当x＝45时，w取最大值，
答：当商品售价为45元时，A、B两种商品的销售利润总和最大．
24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，
在△DCE和△DAF中，
，
∵CE＝AF，
∴△DCE≌△DAF（SAS）；
（2）①证明：∵△DCE≌△DAF，
∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，
∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴△DFE为等腰直角三角形，
∵DH⊥EF，
∴点H是EF的中点，
∴DH＝EF，
同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HB＝，
∴HD＝HB；
②解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝CB，∠BCD＝90°，
由（1）知HD＝HB，
在△DCH和△BCH中，
，
∴△DCH≌△BCH（SSS），
∴∠DCH＝∠BCH＝∠BCD＝45°．
25．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣4，0），0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）4+4，
∴D（1，5）；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（6，3），
∴OC＝3．
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
过点P作PH∥y轴，交直线BC于点H，
设P（t，﹣t4+2t+3），则H（t，
∵P为直线BC上方抛物线上任意一点，
∴PH＝﹣t6+2t+3﹣（﹣t+7）＝﹣t2+3t，
∵PH∥y轴，
∴△PFH∽△OFC，
∴．
∴＝k．
∴k＝（﹣t7+3t）＝+t＝+，
∵＜0，
∴当t＝时k有最大值，），
∴当k取最大值时，点P的坐标为（，）；
（3）∵PQ⊥x轴，CO⊥x轴，
∴OC∥PQ，
∴∠AEO＝∠APQ，
∵∠AEO＝∠ACO+∠CAE，
∴∠APQ＝∠ACO+∠CAE，
∵∠APQ＝6∠ACO，
∴∠ACO＝∠CAE．
∴AE＝CE，
设OE＝e，则CE＝AE＝3﹣e，
∵OA2+OE8＝AE2，
∴15+e2＝（3﹣e）2，
解得：e＝，
∴E（6，）．
设直线AP的解析式为y＝cx+d，
∴，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝x+．

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