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2022年陕西省中考数学专题练8-圆
一．选择题（共12小题）
1．（2022 新城区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在劣弧AB上，∠BAD＝15°，∠ACB＝60，° AD＝2，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．
2．（2022 新城区校级一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 雁塔区校级四模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且弧AC的长是弧BC长的2倍，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，则∠CBD的度数为（　　）
A．90o B．95o C．100o D．105o
4．（2022 岐山县一模）如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝35°，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
5．（2022 雁塔区校级三模）如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C为的中点，D为圆上一点，∠ADC＝30°，⊙O的半径为4，则圆心O到弦AB的距离是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．2
6．（2022 武功县一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，连接BC、CD、BD，若∠BCD＝∠ABD，且AB＝12，则劣弧的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
7．（2022 榆林模拟）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，弦CD＝2，则劣弧的长为（　　）
A． B． C．π D．2π
8．（2022 碑林区校级四模）如图，BD是⊙O的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若∠COD＝126°，，则∠AGB的度数为（　　）
A．98° B．103° C．108° D．113°
9．（2022 雁塔区校级二模）如图，△ABC中，∠A＝60°，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，若AD＝CD，则∠AOE的度数是（　　）
A．120° B．100° C．80° D．60°
10．（2022 碑林区校级三模）如图，已知⊙O的半径为5，AB、CD为⊙O的弦，且CD＝6．若∠AOB+∠COD＝180°，则弦AB的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．（2022 碑林区校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C的⊙O的切线交BO的延长线于点P，若∠P＝34°，那么∠BAC度数为（　　）
A．112° B．118° C．146° D．168°
12．（2022 澄城县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
二．填空题（共8小题）
13．（2022 雁塔区校级四模）如图，C是线段AB上的任一点，分别以AB．AC．BC为直径在线段AB同侧作半圈，则这三个半圆周围成的图形被阿基米德称为“鞋匠刀形”（即图中阴影部分）．当“鞋匠刀形”的面积等于以BC为直径的半圆的面积时，过C作CD⊥AB，交圆周于点D，连接BD，则的值为 　 　．
14．（2022 灞桥区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠BOC＝120°，CD AB，则劣弧AD的长为 　 　．
15．（2022 灞桥区校级模拟）如图⊙O半径为，AB为直径，弦AC＝2，点P是半圆弧AB上的动点（不与A、B重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，则△PCD面积的最大值为 　 　．
16．（2022 雁塔区校级四模）如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠ADB＝　 　度．
17．（2022 灞桥区校级模拟）在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则AC+BC的最大值为 　 　．
18．（2022 长安区一模）如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP＝4，点A为OP上一动点，点B为⊙O上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形ABCD面积的最大值为 　 　．
19．（2022 雁塔区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝7cm，BC＝4cm，⊙O与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，点P是⊙O上任意一点，则线段AP长度的最小值为 　 　cm．
20．（2021 陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．
三．解答题（共9小题）
21．（2022 咸阳四模）在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
【问题提出】
（1）在“平行四边形、正方形、菱形”中，一定是等角线四边形的是 　 　；（填写图形名称）
【问题探究】
（2）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点，若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（3）如图②，是一块荒废的公园示意图，⊙C是一个直径为20m的圆形喷泉水池，现要重新修整这个公园，进一步扩大人们的活动范围，根据设计要求，需在水池边上取一点E使得AE＝BD，已知点A到点C的距离为300m，是否存在一种规划方案，使得四边形ABED的面积最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．
22．（2022 灞桥区校级模拟）【问题探究】
（1）如图1，以BC为直径的圆与直线l相切于点A，点D是直线l上异于点A的任意一点，则∠BAC　 　∠BDC．（用＞，＜或＝连接）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB，，BC＝7，CE＝2，在AD边上是否存在点M，使∠EMC最大？请求出此时sin∠EMC和AM的值．
【解决问题】
（3）如图3，四边形ABCD是一个鲜花培育基地，在铁架CD上种植了大量的玫瑰花，工作人员想在对面墙AB上找一点M，并架设一个横杆MN，使得MN∥BC，且MN＝2，在点N处安装一个植物补光灯，对CD段的玫瑰花进行补光（点A、B、C、D、M、N在同一平面内），为了让光照更充足，必须使∠CND最大，已知AB，∠A＝90°，∠B＝45°，CD⊥BC，CD＝4，请问能否找到一点M，从而确定N，使得∠CND达到最大？若存在，请求出此时sin∠CND的值及BM的长；若不存在，请说明理由．
23．（2022 澄城县二模）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，连接AE，以AB为直径作⊙O，⊙O交BE于点D，AC为⊙O的切线．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，sinB，求DE的长．
24．（2022 榆林模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点O作OE∥BC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠E＝∠DAC；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径．
25．（2022 碑林区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若⊙O的半径为5，CE是⊙O的切线，AE＝6.4，求EC的长．
26．（2022 灞桥区校级模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，则S△ABC　 　S△DBC（＞，＜，＝）；
（2）如图，⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的直径为10，BC＝8，求tan∠BAC的值；
（3）如图，四边形ABCD是西安城市绿化工程“幸福林带”要打造的一片公共休闲区域，∠B＝90°，AD＝8m，ED∥BC交AB于点E，∠BCD＝30°，ED＝CD，为了美化环境，现要在四边形AECD区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求出绿化区域AECD面积的最大值．
27．（2021 陕西）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．
问题解决：
（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长；若不存在，请说明理由．
28．（2021 陕西）如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．
29．（2021 陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．
2022年陕西省中考数学专题练8-圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：作直径AE，连接OD，BE，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD＝180°，∠DAB＝15°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
∵AD＝2，
∴OA＝OD，
∴AE＝2OA＝2，∠OAD＝∠ODA＝45°，
∴∠OAB＝45°﹣15°＝30°，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴BEAE，
∴AB，
故选：D．
2．【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD，
∴sin∠ACB＝sin∠ADB，
故选：D．
3．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵弧AC的长是弧BC长的2倍，
∴∠ABC＝60°，∠CAB＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝60°+45°＝105°，
故选：D．
4．【解答】解：如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠BDC∠BOC，且∠BDC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×35°＝70°，
∴∠A＝90°﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
5．【解答】解：如图，
连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，
∴OC⊥AB，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∵AO＝4，
∴OE＝2，
故圆心O到弦AB的距离为2．
故选：B．
6．【解答】解：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，
∴∠BOD＝2∠BCD，∠AOD＝2∠ABD，
∵∠BCD＝∠ABD，
∴∠BOD＝∠AOD，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，
∴∠BOD＝∠AOD＝90°，
∵AB＝12，
∴OA＝OB＝6，
∴劣弧的长为3π．
故选：C．
7．【解答】解：连接OC，OD．
∵OC＝ODD＝2，CD＝2，
∴OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴的长π，
故选：C．
8．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠COD＝126°，
∴∠DAC∠COD126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
故选：C．
9．【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即BD⊥AC，
∵AD＝CD，
∴AB＝BC，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠ABC＝60°，
∴∠AOE＝∠ABC+∠OEB＝60°+60°＝120°．
故选：A．
10．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴AB8，
故选：C．
11．【解答】解：连接OC，设⊙O与OP交于点E，连接CE，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥CP，
∴∠COP＝90°﹣∠P＝90°﹣34°＝56°，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE（180°﹣56°）＝62°，
∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形，
∴∠BAC＝180°﹣∠OEC＝118°，
故选：B．
12．【解答】解：连接OD，如图，
∵BD垂直平分半径OC，
∴DO＝DC，
∵OD＝OC，
∴OD＝OC＝DC，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CBD∠COD＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝45°+30°＝75°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
13．【解答】解：连接AD，如图，
设AC＝2r，BC＝2R，
∵鞋匠刀形”的面积等于以BC为直径的半圆的面积，
∴π（r+R）2πr2πR2πR2，
∴R＝2r，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB＝∠DCA＝90°，
∴∠B+∠BDC＝90°，
∴∠A＝∠BDC，
又∵∠DCB＝∠DCA，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∴CD2＝AC BC＝2r×2R＝2R×2R＝2R2，
∴CDR，
∴，
故答案为：．
14．【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，AB＝4，CD AB，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，OA＝2，
∴劣弧AD的长为：，
故答案为：．
15．【解答】解：∵⊙O半径为，AB为直径，
∴AB＝4，∠ACB＝90°，
∴BC2，
∴S△ABC2，
∵PCD＝90°，
∴∠ACB＝∠PCD＝90°．
∵∠CAB＝∠CPD，
∴△ACB∽△PCD，
∴（）2，
∴，
∴S△PCDPC2．
∴当PC最大即PC为⊙O直径时，S△PCD最大，
此时PC＝4，S△PCD32＝16．
故答案为：16．
16．【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵∠AOB45°，
∴∠ADB∠AOB＝22.5°，
故答案为：22.5．
17．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵∠C＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝a，延长AC至点F，使得CF＝a，
∵tan∠AFB，
作△ABF的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AB于点E，则AEAB＝2，∠AOE＝∠AFB，
∴tan∠AOE，
∴OE＝4，OA，
∴BC（ACBC）（AC+CF）（OA+OF），
∴BC的最大值为4．
故答案为：．
18．【解答】解：如图，当点P与A重合时，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，此时面积最大，
∴四边形ABCD 面积的最大值 AC BD8×8＝32，
故答案为：32．
19．【解答】解：如图，连接OF、OE、OG、AO，AO交⊙O于P，如图，此时线段AP长度最小，
∵⊙O与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
∵AB∥CD，
∴O、E、G三点共线，即EG为⊙O的直径，
∴四边形BCGE为矩形，
∴EG＝BC＝4cm，
∵OE＝OF＝EO＝PO＝2cm，
∴四边形BFOE为正方形，
∴BE＝OF＝2cm，
∴AE＝AB﹣BE＝7﹣2＝5（cm），
在Rt△AEO中，AO（cm），
∴AP＝AO﹣OP＝（2）（cm），
∴线段AP长度的最小值为（2）cm．
故答案为：（2）．
20．【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵ACBC＝4，OCOE，
∴AQ＝OA+OQ＝41＝31，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为31，
故答案为31．
三．解答题（共9小题）
21．【解答】解：（1）因为平行四边形的对角线互相平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，
∴在“平行四边形、正方形、菱形”中，一定是等角线四边形的是正方形，
故答案为：正方形；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD＝BD，
∴AE＝BE，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，BE，
∵四边形ABCD为等角线四边形，
∴AC＝BD＝5，
∴DE，
∴S2，
S3，
∴S四边形ABCD＝S；
（3）存在，当等角线四边形对角线不垂直时，
如图，过点D作DM⊥AE于M，过点B作BN⊥AE于N，
则S四边形ABED＝S，
∵DM＜DO，BN＜BO，
∴DM+BN＜BD，
当等角线四边形对角线垂直时，
S四边形ABED＝S△AED+S△AEB
，
综上，当等角线四边形对角线垂直时面积最大，
如图，当AE过圆心C，AE最长，四边形ABED中，AE⊥BD时，其面积最大，
∵⊙C的直径为20m，
∴CE，
∵AC＝300m，
∴AE＝BD＝300+10＝310（m），
∴S四边形ABED（m2），
故四边形ABED的面积最大值为48050m2．
22．【解答】（解：（1）如图1，
设BD交⊙O于E，连接CE，
∵l是⊙O的切线，切点是A，
∴点D在⊙O的外部，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BEC＝90°，
∵∠BEC是△BCD的外角，
∴∠BEC＞∠BDC，
∴∠BAC＞∠BDC，
故答案为＞；
（2）如图2，
作CE的垂直平分线交AD于M，交CE于N，作△CEM的外接圆O，作直径EF，连接CF，作AG⊥BC于G，
∴EN＝CNCE＝1，
在Rt△ABG中，
∵tanB，
∴AG，BG＝x，
∴x2+（）2＝（2）2，
∴x＝2，
∴MN＝AG＝2，BG＝2，
设OM＝OE＝r，
∴ON＝MN﹣ON＝2r，
在Rt△EON中，
r2﹣（2r）2＝12
∴r，
∴EF＝2r，
∴sin∠EMC＝sinF，
AM＝GN＝BC﹣BG﹣CE＝7﹣﹣2﹣2＝3；
（3）如图3，
作AT⊥BC于T，作DR⊥AT于T，
∴AT＝AB sinB＝88，
∴AR＝AT﹣RT＝AT﹣CD＝4，
∴CT＝DR＝AR＝4，
作FN∥AB，作⊙O与FN相切于N，且过CD，
过点O作GH⊥CD于H交FN于G，作GE⊥BC于E，
在Rt△EFG中，∠GFE＝∠B＝45°，EG＝CHCD＝2，
∴EF＝GE＝2，
设OC＝ON＝r，
在Rt△ONG中，∠OGN＝∠GFE＝45°，
∴OGr，
在Rt△COH中，
OH，
∴GH＝OG+OH，
由CE＝GH得，
8，
∴r1＝82，r2＝82，
∴BM＝FN＝FG+GN＝2（82）＝102，
sin∠CND．
23．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C．
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝8，sinB，
∴BC＝10，AB6，
连接AD．
∵AB为直径作⊙O，
∴∠ADB＝90°．
∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠B＝∠DAC，
∴sinB＝sin∠DAC，
∵AC＝8，
∴DC，
∴BD＝BC﹣CD，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝5．
∴DE＝BE﹣BD．
24．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OCA＝∠BCD，
∵OE∥BC，
∴∠E＝∠BCD，
∴∠E＝∠DAC；
（2）解：∵OE∥BC，
∴，
设OC＝3x，则BD＝2x，
∴OD＝5x，
在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，即（5x）2＝（3x）2+42，
解得：x＝1（负值舍去），
∴⊙O的半径为3．
25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC＝180°﹣∠ABC，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；
（2）解：连接OC，过O作OF⊥AE于F，
∵AD为⊙O的直径，
∴AD＝10，
∴OA＝OC＝5，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴四边形CEFO是矩形，
CF＝CE，EF＝CO＝5，
∵AE＝6.4，
∴AF＝AE﹣EF＝6.4﹣5＝1.4，
在Rt△AOF中，
OF，
∴EC．
26．【解答】解：如图1，
作AM⊥BC于M，作DN⊥BC于N，
∵AD∥BC，
∴AM＝DN，
∵SABC，S△DBC，
∴S△ABC＝S△DBC，
故答案是：＝；
（2）如图2，
作直径BD，连接CD，
∴∠BCD＝90°，
∴tanD，CD6，
∴tanD，
∵，
∴∠D＝∠BAC，
∴tan∠BAC；
（3）如图3，
作DF⊥BC于F，连接BD，
∴∠BFD＝90°，
∵DE∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BED＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BE＝DF，
又∵∠BCD＝90°，
∴DFCD，
∴BE，
∴DE＝CD，
∴BEDE，
设BE＝a，则DE＝2a，
∴BDa，
∴sin∠ABD，
∴点B在以弦AD＝8，圆心角是2∠ABD的圆O上运动，
过点O作AD的垂线，交⊙O于B′，交AD于H，当B运动到B′时，△ABD的面积最大，
∴DH4，
作直径DT，连接AT，
∴∠TAD＝90°，
∵，
∴∠T＝∠ABD，
∴DT84，
∴OB′＝OD＝2，
在Rt△DOH中，
OH2，
∴HB′＝OH+HB′＝22，
∴S△ABD最大8+8，
∵DE∥BC，
∴S△BDE＝S△DCE，
∴S四边形AECD＝S△ADE+S△DCE＝S△ADE+S△BDE＝S△ABD，
∴S四边形AECD最大＝8+8．
27．【解答】解：（1）如图1，
∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴C、D、E在同一条直线上，
∴CD+DE＝CE4；
（2）如图2，
连接OB，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，
∴∠BOE＝60°，OE＝OB，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝15，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠ABO＝∠CEO，
∴∠CBE+∠CEB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∵S四边形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO
＝S△BOE﹣S△BCE
S△BCE，
∴要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大，
作正△BEF，作它的外接圆⊙I，作直径FC′，
当C与C′重合时，S△BCE最大，
S△BCE最大15×（），
∴S四边形OABC最小，
此时OA＝OC5．
28．【解答】（1）证明：延长DO交AB于点H，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∵AB∥DP，
∴HD⊥AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AF∥OD；
（2）∵OH⊥AB，AB＝8，
∴BH＝AH＝4，
∴OH3，
∵BH∥ED，
∴△BOH∽△EOD，
∴，即，
解得：ED，
∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP，
∴四边形AFDH为矩形，
∴DF＝AH＝4，
∴EF＝ED﹣DF4．
29．【解答】（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，
∵2，
∴，
∴∠COB∠BOF，
∵∠A∠BOF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：连接BF，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴，即，解得BD＝8，
在Rt△ABD中，AD10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴，即，解得DF．

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