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2022年河北高考数学模拟试卷4
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 保定模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x+3≥0}，B＝{x∈Z|≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣2＜x≤3} B．{﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣2，﹣1，1，2，3} D．R
2．（5分）（2022 石家庄模拟）若复数z＝（1+2i）（a﹣i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣，2） B．（﹣2，）
C．（，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）
3．（5分）（2021 桃城区校级三模）已知1，1，＜1，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（，1）
4．（5分）（2022 保定模拟）某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：
则下列说法正确的是（　　）
A．4月至7月的月平均计划销售额为22万元
B．4月至7月的月平均实际销售额为27万元
C．4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25
D．这4个月内，总的计划销售额没有完成
5．（5分）（2022 邯郸一模）已知直线x﹣y+m＝0与圆C：x2+y2+4y＝0相交于A，B两点，若，则m的值为（　　）
A．﹣4或0 B．﹣4或4 C．0或4 D．﹣4或2
6．（5分）（2022 邯郸一模）已知tanα＝﹣3，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）（2021 张家口三模）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E为AF的中点，，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，若对 x∈（0，e）， x1，x2∈（0，e）且x1≠x2，使得f（x）＝g（xi）（i＝1，2），则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 保定模拟）下列命题中是真命题的有（　　）
A．函数f（x）＝在其定义域上为减函数
B．若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ≤4）＝0.79，P（ξ≤﹣2）＝0.21，则μ＝1
C．若（x+4）（3+x）6＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+a3（2+x）3+…+a7（2+x）7，则a2＝36
D．若{an}为等比数列，则S4n，S8n﹣S4n，S12n﹣S8n，…仍为等比数列
（多选）10．（5分）（2022 石家庄二模）已知函数f（x）＝sin（sinx）+cos（cosx），则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的一个周期为2π
B．函数f（x）在上单调递增
C．函数f（x）的最大值为
D．函数f（x）图象关于直线对称
（多选）11．（5分）（2022 保定一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点F2的直线与该椭圆相交于A，B两点，点P在该椭圆上，且|AB|≥1，则下列说法正确的是（　　）
A．存在点P，使得∠F1PF2＝90°
B．满足△F1PF2为等腰三角形的点P有2个
C．若∠F1PF2＝60°，则
D．|PF1|﹣|PF2|的取值范围为
（多选）12．（5分）（2022 张家口一模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段BD1上（不含端点）的任意一点，点E是线段A1B的中点，点F是平面ABCD内一点，则下面结论中正确的有（　　）
A．CD∥平面PBC1
B．以A1为球心、为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线长是
C．|EP|+|PF|的最小值是
D．|EP|+|PF|的最小值是
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 邯郸一模）已知A，B，C，D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若AD是球O的直径，且，∠BAC＝120°，则该三棱锥A﹣BCD体积的最大值为 　 　．
14．（5分）（2021 河北二模）已知函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x﹣a，若方程f（x）＝g（x）有4个不同的实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则a（x1+x4﹣x3）的取值范围是 　 　．
15．（5分）（2022 唐山一模）设函数f（x）＝，若f（a）＝0，则a＝　 　．
16．（5分）（2021 沈阳四模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶．它是由一块正方形、一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形．如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 张家口一模）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2C+sinBsinC＝sin2A．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC周长的最大值．
18．（12分）（2022 保定一模）直线l：y＝kx+t交抛物线x2＝4y于A，B两点，过A，B作抛物线的两条切线，相交于点C，点C在直线y＝﹣3上．
（1）求证：直线l恒过定点T，并求出点T坐标；
（2）以T为圆心的圆交抛物线于PQMN四点，求四边形PQMN面积的取值范围．
19．（12分）（2022 辛集市模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB，点E为PC的中点，且BE⊥平面PCD．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）若二面角P﹣BD﹣C的余弦值为，求直线PC与AB所成角的正切值．
20．（12分）（2022 辛集市模拟）我国政府加大了对全民阅读的重视程度，推行全民阅读工作，全民阅读活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对本校高三800名学生（其中男生480名）按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，了解他们每天的阅读情况．
每天阅读时间低于1h 每天阅读时间不低于1h 总计
男生 60
女生 20
总计 200
（1）根据所给数据，完成2×2列联表；
（2）根据（1）中的列联表，判断能否有99.9%的把握认为该高中高三学生“每天阅读时间低于1h”与“性别”有关？
（3）若从抽出的200名学生中按“每天阅读时间是否低于1h”采用分层抽样抽取10名学生准备进行读写测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天阅读时间不低于1h的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
21．（12分）（2022 辛集市模拟）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2（a∈R）．
（1）若，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，证明：f（x）不存在两个零点．
22．（12分）（2022 保定模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝2，a3＝3，当n≥2时，Sn+2+Sn＝2Sn+1+1，数列{bn}是正项等比数列，且b4＝16，b3＝b1b2．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）把{an}和{bn}中的所有项从小到大排列，组成新数列{cn}，例如{cn}的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列{cn}的前1000项和T1000．
2022年河北高考数学模拟试卷4
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 保定模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x+3≥0}，B＝{x∈Z|≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣2＜x≤3} B．{﹣1，0，1，2，3}
C．{﹣2，﹣1，1，2，3} D．R
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x+3≥0}＝R，
B＝{x∈Z|≤0}＝{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1，2，3}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 石家庄模拟）若复数z＝（1+2i）（a﹣i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣，2） B．（﹣2，）
C．（，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵z＝（1+2i）（a﹣i）＝a+2+（2a﹣1）i，
∴复数z在复平面内对应的点（a+2，2a﹣1），位于第四象限，
∴，解得﹣2＜a＜，
故实数a的取值范围为（﹣2，）．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）（2021 桃城区校级三模）已知1，1，＜1，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（，1）
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，分别求得a的范围，再取交集，即得所求．
【解答】解：1，得，
②1，得a＞0，
＜1，得0＜a＜1，
∴当1，1，＜1同时成立时，取交集得，
故选：A．
【点评】本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，属于中档题．
4．（5分）（2022 保定模拟）某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：
则下列说法正确的是（　　）
A．4月至7月的月平均计划销售额为22万元
B．4月至7月的月平均实际销售额为27万元
C．4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25
D．这4个月内，总的计划销售额没有完成
【考点】频率分布折线图、密度曲线；频率分布直方图．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用平均数公式求解判断AB；利用中位数的定义判断C；根据平均计划销售额和平均实际销售额大小判断D．
【解答】解：对于A，4月至7月的平均计划销售额为（15+20+25+30）＝，故A错误；
对于B，4月至7月的月平均实际销售额为（20+30+20+40）＝，故B错误；
对于C，4月至7月的月实际销售额的中位数为（20+30）＝25，故C正确；
对于D，4月至7月的平均计划销售额为（15+20+25+30）＝，
4月至7月的月平均实际销售额为（20+30+20+40）＝，
∵，
∴这4个月内，总的计划销售额已经完成，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查等高统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）（2022 邯郸一模）已知直线x﹣y+m＝0与圆C：x2+y2+4y＝0相交于A，B两点，若，则m的值为（　　）
A．﹣4或0 B．﹣4或4 C．0或4 D．﹣4或2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】把圆C的方程化为标准方程，可求圆心坐标与半径，由，可求圆心到直线AB的距离，从而可得＝，求解即可．
【解答】解：由圆C：x2+y2+4y＝0得x2+（y+2）2＝4，
∴圆心C的坐标为（0，﹣2），半径r＝2，
∵，∴∠ACB＝90°，
∴可得圆心C到直线AB的距离d＝r＝，
又圆心C到直线AB：x﹣y+m＝0的距离为d＝，
∴＝，∴|2+m|＝2，∴m+2＝±2，∴m＝﹣4或0，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
6．（5分）（2022 邯郸一模）已知tanα＝﹣3，则＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
【解答】解：因为tanα＝﹣3，
所以＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．（5分）（2021 张家口三模）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E为AF的中点，，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】建立直角坐标系．写出点的坐标，再利用坐标表示出向量，代入，即可求出．
【解答】解：以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如图直角坐标系，
设|EF|＝1．由E为AF的中点，
可得E（0，0），G（1，1），A（﹣1，0），B（1，﹣1），D（0，2），
所以，
因为，所以（1，1）＝λ（2，﹣1）+μ（1，2），
即解得 则．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于中档题．
8．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，若对 x∈（0，e）， x1，x2∈（0，e）且x1≠x2，使得f（x）＝g（xi）（i＝1，2），则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】利用导数研究函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用．
【分析】对 x∈（0，e），f（x）的值域为[，5），g′（x）＝a﹣＝，推导出a＞0，g（x）min＝g（）＝1+lna，作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，数形结合由求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣3x+5，g（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e），
∴f（x）min＝f（）＝＝，
f（x）max→f（0）＝5，
∴对 x∈（0，e），f（x）的值域为[，5），
g′（x）＝a﹣＝，
当a≤0时，g′（x）＜0，与题意不符，∴a＞0，
令g′（x）＝0，得x＝，则∈（0，e），
∴g（x）min＝g（）＝1+lna，
作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，如图，
观察图形得到：
，解得．
∴实数a的取值范围是[，）．
故选：C．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 保定模拟）下列命题中是真命题的有（　　）
A．函数f（x）＝在其定义域上为减函数
B．若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ≤4）＝0.79，P（ξ≤﹣2）＝0.21，则μ＝1
C．若（x+4）（3+x）6＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+a3（2+x）3+…+a7（2+x）7，则a2＝36
D．若{an}为等比数列，则S4n，S8n﹣S4n，S12n﹣S8n，…仍为等比数列
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；二项式定理；命题的真假判断与应用；函数单调性的性质与判断；等比数列的性质．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】对于A，结合函数的单调性，即可求解，
对于B，结合正态分布的对称性，即可求解，
对于C，结合二项式定理，即可求解，
对于D，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：对于A，函数f（x）＝在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，在定义域上不单调，故A错误，
对于B，∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ≤4）＝0.79，PP（ξ≤﹣2）＝0.21，即有P（ξ≥4）＝0.21，
故它对应的正态曲线关于直线x＝1对称，即μ＝1，故B正确，
对于C，∵（x+4）（3+x）6＝[2+（2+x）][1+（2+x）]6，则，故C正确，
对于D，当等比数列{an}的公比为q＝﹣1时，，
则S4n，S8n﹣S4n，S12n﹣S8n， 不成等比数列，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，二项式定理，等比数列前n项和公式，属于基础题．
（多选）10．（5分）（2022 石家庄二模）已知函数f（x）＝sin（sinx）+cos（cosx），则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的一个周期为2π
B．函数f（x）在上单调递增
C．函数f（x）的最大值为
D．函数f（x）图象关于直线对称
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；逻辑推理．
【分析】由周期函数的定义判断A；利用复合函数的单调性判断B；求出函数的最大值判断C，由f（π﹣x）＝f（x）判断D．
【解答】解：∵f（x+2π）＝sin[sin（x+2π）]+cos[cos（x+2π）]＝sin（sinx）+cos（cosx）＝f（x），
∴函数f（x）的一个周期为2π，故A正确；
当x∈时，sinx∈（0，1）且单调递增，∴y＝sin（sinx）在（0，）上是增函数，
当x∈时，cosx∈（0，1）且单调递减，∴y＝cos（cosx）在（0，）上是增函数，
则函数f（x）在上单调递增，故B正确；
∵f（π﹣x）＝sin[sin（π﹣x）]+cos[cos（π﹣x）]＝sin（sinx）+cos（﹣cosx）＝sin（sinx）+cos（cosx）＝f（x），
∴f（x）的图象关于直线x＝对称，故D正确；
函数f（x）＝sin（sinx）+cos（cosx）在上单调递增，图象关于直线x＝对称，
又f（）＝sin（sin）+cos（cos）＝sin1+cos0＝1+sin1，
∴函数f（x）的最大值为1+sin1，故C错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查推理论证能力及运算求解能力，是中档题．
（多选）11．（5分）（2022 保定一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点F2的直线与该椭圆相交于A，B两点，点P在该椭圆上，且|AB|≥1，则下列说法正确的是（　　）
A．存在点P，使得∠F1PF2＝90°
B．满足△F1PF2为等腰三角形的点P有2个
C．若∠F1PF2＝60°，则
D．|PF1|﹣|PF2|的取值范围为
【考点】椭圆的性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】首先求出椭圆方程，当点P为该椭圆的上顶点时，求出∠F1PF2，即可判断A；再根据|PF2|的范围判断B；利用余弦定理及三角形面积公式判断C；根据椭圆的定义及|PF1|判断D．
【解答】解：根据题意可得c＝，|AB|的最小值为1，所以|ABmin|＝＝1，又c2＝a2﹣b2，
所以a＝2，c＝，b＝1，故椭圆方程为+y2＝1，
当点P为该椭圆的上顶点时，tan∠OPF2＝，所以∠OPF2＝60°，此时∠F1PF2＝120°，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，故A正确；
当点P为该椭圆的上，下顶点时，满足△F1PF2为等腰三角形，又因为2﹣≤|PF2|≤2+，|F1F2|＝2，
所以满足|PF2|＝|F1F2|的点P有2个，同理满足|PF1|＝|F1F2|的点P有两个，故B不正确；
若∠F1PF2＝60°，|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1| |PF2|cos∠F1PF2，
即|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1| |PF2|＝12，又|PF1|2+|PF2|2+2|PF1| |PF2|＝16，|PF1| |PF2|＝，
所以S＝×|PF1| |PF2|×sin∠F1PF2＝，故C正确；
|PF1|﹣|PF2|＝|PF1|﹣（2a﹣|PF1|）＝2|PF1|﹣4，分析可得|PF1|∈[2﹣，2+]，
∴|PF1|﹣|PF2|∈[2﹣，2+]，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的椭圆的几何性质，考查运算能力，是中档题
（多选）12．（5分）（2022 张家口一模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段BD1上（不含端点）的任意一点，点E是线段A1B的中点，点F是平面ABCD内一点，则下面结论中正确的有（　　）
A．CD∥平面PBC1
B．以A1为球心、为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线长是
C．|EP|+|PF|的最小值是
D．|EP|+|PF|的最小值是
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】利用线线平行可得线面平行可判断A，求出球面与面DCC1D1的交线长可判断B，求出|EP|+|PF|的最小值可判断C，D．
【解答】解：平面PBC1即为平面BC1D1，∵CD∥C1D1，C1D1 平面BC1D1，CD 平面BC1D1，∴CD∥平面PBC1，故A正确；
A1D1⊥平面DCC1D1，以A1为球心、为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线即为以D1为圆心，
1为半径的圆在面DCC1D1内的部分，故其交线长为×2π×1＝，故B正确；
点F是平面ABCD内一点，
|PF|的最小值即为P到面ABCD的距离，即过点P向BD作垂线，垂足即为F，
把平面BA1D1绕BD1旋转平与BDD1在同一平面内，如图所示，
由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的可知∠DBA1＝2∠DBD1，
又cos∠DBA1＝cos2∠DBD1＝2cos2∠DBD1﹣1＝2×（）2＝，∴sin∠DBA1＝
又BE＝，|EP|+|PF|的最小值即为E到BD的距离，∴|EP|+|PF|的最小值为×＝．故C错误，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查线面平行的证明，点运动和轨迹问题，距离和的最小值的求法，属中档题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 邯郸一模）已知A，B，C，D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若AD是球O的直径，且，∠BAC＝120°，则该三棱锥A﹣BCD体积的最大值为 　　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】作出图像，数形结合求解，设△ABC的外接圆半径为r，圆心为O1，根据正弦定理可求r，根据几何关系可求D到平面ABC的距离为定值2OO1，故当△ABC面积最大时，三棱锥A﹣BCD体积最大，在△ABC内，由余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求△ABC面积的最大值，如此即可求出最后答案．
【解答】解：设求O的半径为R，
∵球O的表面积为100π，
∴4πR2＝100π，∴R＝5，
∵，
设△ABC的外接圆半径为r，圆心为O1，
∴根据正弦定理知，，∴r＝3，
∴，
∵AD是直径，O是AD中点，
∴D到平面ABC的距离为2|OO1|＝8，
在△ABC中，根据余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB AC cos∠BAC，
即27＝AB2+AC2+AB AC≥2AB AC+AB AC，
∴AB AC≤9，当且仅当AB＝AC时，等号成立，
∴△ABC面积的最大值为，
∴三棱锥A﹣BCD体积的最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理和三棱锥体积的求法，考查了转化思想，属于中档题．
14．（5分）（2021 河北二模）已知函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x﹣a，若方程f（x）＝g（x）有4个不同的实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则a（x1+x4﹣x3）的取值范围是 　（0，1）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】根据f（x）和g（x）的图像，构想四个交点的情况，以及函数图像的对称性求解．
【解答】解：f（x）＝＝ 是分段函数，
当x＜0时，有f（2﹣x）＝，即①与④关于x＝1对称，
同理②与③也是关于x＝1对称，
g（x）也是关于x＝1对称的二次函数，函数图像如下图：
由f （x），g（x）的图象都关于直线x＝1对称可得x1+x4＝2，
1＜x3＜2，由f（x3）＝g（x3），得＝x32﹣2x3﹣a，a＝x32﹣2x3﹣，
所以a（x1+x4﹣x3）a（2﹣x3）＝﹣x33+4x32﹣4x3+1．
设h（x）＝﹣x3+4x2﹣4x+1（1＜x＜2），
则h'（x）＝﹣3x2+8x﹣4＝﹣（x﹣2）（3x﹣2）＞0，
所以h（x）在（1，2）上单调递增，a（x1+x4﹣x3）的取值范围是（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了分段函数的对称性、数形结合思想及利用导数确定函数的单调性，难点在于作出图像，属于中档题．
15．（5分）（2022 唐山一模）设函数f（x）＝，若f（a）＝0，则a＝　1　．
【考点】函数的值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由f（a）＝0，选取相应函数解析式，进行计算即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
当a≤0时，则a2+1＝0，方程无解，
故a＞0，则f（a）＝lga＝0，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数求值问题，属于基础题．
16．（5分）（2021 沈阳四模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶．它是由一块正方形、一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形．如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为　　．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】由图得到，，，，，，，利用相互独立事件概率乘法公式能求出两次投中分值之和为2的概率．
【解答】解：由图可知：
，，，
，，，，
所以两次投中分值之和为2的概率为：
P＝．
故答案为：．
【点评】本题考查事件的概率，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 张家口一模）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2C+sinBsinC＝sin2A．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC周长的最大值．
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求得cosA的值，从而求得A的值；
（2）由正弦定理求出b、c的表达式，再利用三角函数求a+b+c的最大值．
【解答】解：（1）△ABC中，因为sin2B+sin2C+sinBsinC＝sin2A，
由正弦定理得b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理得cosA＝＝＝﹣，
又A∈（0，π），
所以A＝；
（2）由a＝，sinA＝sin＝，
根据正弦定理得＝＝2，
所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（﹣B）＝cosB﹣sinB，
所以a+b+c＝+2sinB+（cosB﹣sinB）＝+cosB+sinB＝+2sin（B+），
又0＜B＜，
所以当B＝时，△ABC周长取得最大值为2+．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
18．（12分）（2022 保定一模）直线l：y＝kx+t交抛物线x2＝4y于A，B两点，过A，B作抛物线的两条切线，相交于点C，点C在直线y＝﹣3上．
（1）求证：直线l恒过定点T，并求出点T坐标；
（2）以T为圆心的圆交抛物线于PQMN四点，求四边形PQMN面积的取值范围．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，﹣3），利用点斜式写出直线AC，BC的方程，由C在两直线上，即可知直线AB的方程，进而确定定点．
（2）联立抛物线x2＝4y和圆T：x2+（y﹣3）2＝r2，由题设及一元二次方程根的个数求参数r的范围，由结合韦达定理得到SPQMN关于r的表达式，构造函数并利用导数研究区间单调性，进而求范围．
【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，﹣3），则，，
直线AC为：，同理直线BC为：，
把C（m，﹣3）代入直线AC，BC得：，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）都满足直线方程，则为直线AB的方程，故直线l恒过定点T（0，3）．
（2）解：如图，设圆T的半径为r，M（x1，y1），N（x2，y2），Q（﹣x1，y1），P（﹣x2，y2），
把x2＝4y代入圆T：x2+（y﹣3）2＝r2，整理得y2﹣2y+9﹣r2＝0，
由题意知：关于y的一元二次方程有两个不等实根，则，可得．
＝，
令，由得：0＜t＜1，则，
令f（t）＝（1+t）（1﹣t2）且0＜t＜1，则f'（t）＝﹣（3t﹣1）（t+1），
故在上f'（t）＞0，f（t）递增；在上f'（t）＜0，f（t）递减；
所以，又f（0）＝1，f（1）＝0，故f（t）的取值范围是，
综上，SPQMN的取值范围是．
【点评】本题主要考查直线恒过定点问题，圆锥曲线中的最值与范围问题，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
19．（12分）（2022 辛集市模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB，点E为PC的中点，且BE⊥平面PCD．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）若二面角P﹣BD﹣C的余弦值为，求直线PC与AB所成角的正切值．
【考点】直线与平面垂直；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）取PD的中点F，连接AF，EF，推得四边形ABEF为平行四边形，由线面垂直的性质和判定，可得结论；
（2）取AD的中点O，连接PO，推得PO⊥平面ABCD，过O作AB的平行线，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求得平面PBD和平面BCD的法向量，由夹角公式可得CD的长，再由异面直线所成角的定义可得所求角的正切值．
【解答】解：（1）证明：取PD的中点F，连接AF，EF，
则EF∥CD，．又AB∥CD，，所以EF∥AB，EF＝AB，则四边形ABEF为平行四边形，所以AF∥BE．
又BE⊥平面PCD，CD 平面PCD，所以BE⊥CD，所以AF⊥CD．
又CD⊥AD，AF∩AD＝A，AF，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD．
（2）由题意，得BE⊥PD，又AF∥BE，则AF⊥PD，结合F为PD的中点，得AP＝AD．
又AP＝PD，所以△PAD为等边三角形．
设PD＝1，AB＝t＞0，则CD＝2t．取AD的中点O，连接PO，
则PO⊥AD，由CD⊥平面PAD，可得CD⊥PO，
所以PO⊥平面ABCD，过O作AB的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
则，，，
所以，．
设为平面PBD的法向量，则，
取x＝3，则为平面PBD的一个法向量．
又平面BCD的一个法向量，
设二面角P﹣BD﹣C的平面角为θ，易知θ为钝角，
所以，
所以t2＝1，则t＝1，CD＝2t＝2．
由AB∥CD，CD⊥PD，可得∠PCD为直线PC与AB所成的角．
在Rt△PCD中，．
故PC与AB所成角的正切值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定和二倍角、线面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．（12分）（2022 辛集市模拟）我国政府加大了对全民阅读的重视程度，推行全民阅读工作，全民阅读活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对本校高三800名学生（其中男生480名）按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，了解他们每天的阅读情况．
每天阅读时间低于1h 每天阅读时间不低于1h 总计
男生 60
女生 20
总计 200
（1）根据所给数据，完成2×2列联表；
（2）根据（1）中的列联表，判断能否有99.9%的把握认为该高中高三学生“每天阅读时间低于1h”与“性别”有关？
（3）若从抽出的200名学生中按“每天阅读时间是否低于1h”采用分层抽样抽取10名学生准备进行读写测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天阅读时间不低于1h的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据分层抽样的抽样比求得抽取的男生和女生人数，即可结合已知数据进行填写；
（2）根据（1）中所求列联表，求得K2，结合参考数据，即可判断；
（3）根据分层抽样的抽样比求得抽取的10人中每天阅读时间不低于h的人数，结合X的取值，分别计算对应取值下的概率，即可求得分布列和数学期望．
【解答】解：（1）1200名学生中，男生人数为，女生人数为200﹣120＝80，补全列联表如下：
每天阅读时间低于1h 每天阅读时间不低于1h 总计
男生 60 60 120
女生 20 60 80
总计 80 120 200
（2）根据列联表可得：，所以有99.9%的把握认为该高中高三学生“每天阅读时间低于1h”与“性别”有关；
（3）200名学生中“每天阅读时间不低于1h”的人数为120人，因此抽取10名学生“每天阅读时间不低于1h”的人数为6人，而X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
．
【点评】本题考查了独立性检验和离散型随机变量的期望计算，属于中档题．
21．（12分）（2022 辛集市模拟）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2（a∈R）．
（1）若，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，证明：f（x）不存在两个零点．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，求解函数的极值即可．
（2）求出导函数f'（x）＝（x﹣1）（ex+2a）．通过讨论a＜0，求出极值点，判断函数的单调性求解函数的极值，然后求解函数的零点个数即可．
【解答】（1）解：若，得f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣1）．……（1分）
方程f'（x）＝0的两个根是0和1．……（2分）
当x＜0或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，
故f（x）在x＝0时取极大值，在x＝1时取极小值f（1）＝﹣e．……（5分）
（2）证明：f'（x）＝（x﹣1）（ex+2a）．
当a＜0，关于x的方程f'（x）＝0的根是1和ln（﹣2a）．……（6分）
（i）若ln（﹣2a）＝1，此时f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣e），f'（x）≥0恒成立，
此时仅有一个x＝1，使得f'（x）＝0，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，故f（x）不存在两个零点；……（8分）
（ii）若ln（﹣2a）＞1，即，
当x＜1或x＞ln（﹣2a）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当1＜x＜ln（﹣2a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
又f（1）＝﹣e＜0，结合上述单调性可知，f（x）不存在两个零点；……（10分）
（iii）若ln（﹣2a）＜1，即，当x＞1或x＜ln（﹣2a）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当ln（﹣2a）＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
f（x）的极大值为f（ln（﹣2a））＝[ln（﹣2a）﹣2] （﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2＝a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0，
结合上述单调性可知，f（x）不存在两个零点．
所以当a＜0时，f（x）不存在两个零点．……（12分）
【点评】本题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，函数单调性的判断，函数的零点个数的判断，是中档题．
22．（12分）（2022 保定模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝2，a3＝3，当n≥2时，Sn+2+Sn＝2Sn+1+1，数列{bn}是正项等比数列，且b4＝16，b3＝b1b2．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）把{an}和{bn}中的所有项从小到大排列，组成新数列{cn}，例如{cn}的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列{cn}的前1000项和T1000．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）当n≥2时，Sn+2+Sn＝2Sn+1+1，n≥3时，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+1，相减可得：an+2+an＝2an+1，可得数列{an}从第二项开始为等差数列，an＝a2+（n﹣2）×1＝n．
利用等差数列的通项公式即可得出an．设正项等比数列{bn}的公比为q＞0，由b4＝16，b3＝b1b2．可得b1q3＝16，q＝b1，解得q，b1，即可得出bn．
（2）数列{an}的前1000项为：2，2，3，4，5，…，1000，数列{bn}为：21，22，…，2n，210＝1024，因此新数列{cn}中包括数列{an}的前991项为：2，2，3，4，5，…，991，包括数列{bn}的前9项：21，22，…，29．利用求和公式即可得出结论》
【解答】解：（1）当n≥2时，Sn+2+Sn＝2Sn+1+1，n≥3时，Sn+1+Sn﹣1＝2Sn+1，相减可得：an+2+an＝2an+1，
由Sn+2+Sn＝2Sn+1+1，n＝2时，a1+a2+a3+a4+a1+a2＝2（a1+a2+a3）+1，解得a4＝4，
∴a4+a2＝2a3，而a3+a1≠2a2，
∴数列{an}从第二项开始为等差数列，an＝a2+（n﹣2）×1＝n．
∴an＝．
设正项等比数列{bn}的公比为q＞0，∵b4＝16，b3＝b1b2．
∴b1q3＝16，q＝b1，解得q＝b1＝2，
∴bn＝2n．
（2）数列{an}的前1000项为：2，2，3，4，5，…，1000，
数列{bn}为：21，22，…，2n，210＝1024，
因此新数列{cn}中包括数列{an}的前991项为：2，2，3，4，5，…，991，
包括数列{bn}的前9项：21，22，…，29．
∴数列{cn}的前1000项和T1000＝2+2+3+4+…+991+（21+22+…+29）
＝1++
＝492559．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．指、对数不等式的解法
【概述】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
【例题解析】
例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．
例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），
∴当a＞1时，有，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．
这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．
【考点点评】
本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．
9．等比数列的性质
【等比数列】
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am an＝ap aq．
例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝　　．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
【等比数列的性质】
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
12．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R ＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z+＝0且z≠0．
13．分层抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”．
2．三种抽样方法比较
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少
系统抽样 将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多
分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
【解题方法点拨】
分层抽样方法操作步骤：
（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；
（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．
【命题方向】
（1）区分分层抽样方法
例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（　　）
A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．
故选D
点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（2）求抽取样本数
例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（　　）
A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4
分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．
解答：每个个体被抽到的概率等于＝，54×＝9，42×＝7．
故从一班抽出9人，从二班抽出7人，
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（　　）
A.35 B.25 C.15 D.7
分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．
解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，
所以样本容量为＝15．
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．
14．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
15．频率分布折线图、密度曲线
【知识点的认识】
1．频率分布折线图：
如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图，简称频率折线图．
2．总体分布的密度曲线：
如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率分布折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．
16．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
17．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
18．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
19．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
20．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（　　）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（　　）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（　　）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解　（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（　　）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝　　．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有　　辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
21．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝ nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
22．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
23．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝，cosB＝，cosC＝
解决三角形的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
24．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝，cos B＝，cos C＝
解决三角形的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
25．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
26．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2 ＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
27．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
28．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
29．直线与抛物线的综合
v．
30．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
31．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
32．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α

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