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第二节　导数在研究函数中的应用
·最新考纲·
1．了解函数的单调性和导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．
3．了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件．
4．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
5．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
·考向预测·
考情分析：本节一直是高考的重点和难点，一般以基本函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值及最值，求解中多利用分类讨论思想，题型主要以解答题为主，属中高档题．
学科素养：通过利用导数研究函数的性质考查数学抽象、数学运算的核心素养．
　积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导：
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内________．
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内________．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内________．
[提醒]　注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”或“和”字隔开．
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值________，而且在x＝a附近的左侧________，右侧________，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值__________，左侧________；右侧________，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
[提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
3．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________________________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[提醒]　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．
二、必明4个常用结论
1．f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件．
2．f′(x)≤0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件．
3．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．
4．若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)
(5)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)
(6)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－2·P26练习T2改编]函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－12；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是(　　)
3．[选修2－2·P30例5改编]已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x，则f(x)在闭区间[－1，5]上的最小值为________，最大值为________．
(三)易错易混
4．(极值点存在的条件不清致误)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)
A.1　　　B．2 C．3　　　D．4
5．(极值点存在的条件不清致误)设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
(四)走进高考
6．[全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
第二节　导数在研究函数中的应用
积累必备知识
一、
1．(1)单调递增　(2)单调递减
(3)不具备单调性
2．(1)都小　　f′(x)＜0　f′(x)＞0
(2)都大　f′(x)＞0　f′(x)＜0
3．(1)连续不断　(2)极值
三、
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√
2．解析：根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数．
答案：C
3．解析：f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，
当－10，
所以f(x)在(－1，1)，(3，5)上为增函数，
当1答案：－16　20
4．解析：如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，
且在x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点．
答案：A
5．解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数 y＝ex＋ax有大于零的极值点，且函数y′＝ex＋a在R上单调递增．
∴只需方程ex＋a＝0有大于零的解．
∵当x>0时，－ex<－1.
∴a＝－ex<－1.
答案：(－∞，－1)
6．解析：∵f(x)＝2sin x＋sin 2x，
∴f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cos x＝时，f(x)有最小值，此时sin x＝±.
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝时，f(x)＝2×＝；
当sin x＝－时，f(x)＝2×(－)×＝－.
∴f(x)min＝－.
答案：－

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