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第三节　定积分与微积分基本定理
·最新考纲·
1．了解定积分的实际背景，基本思想，理解定积分的概念．
2．了解微积分基本定理的含义．
·考向预测·
考情分析：本节内容近几年全国卷未作考查，对定积分的求解及定积分应用不应忽视．
学科素养：通过定积分的计算考查数学运算的核心素养；通过微积分基本定理的应用考查微观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做________与________，区间[a，b]叫做积分区间，________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．
2．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝________(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝________；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋________(其中a3．微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿 莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
为了方便，常把F(b)－F(a)记作________，即f(x)dx＝F(x)a＝F(b)－F(a).
1．记住定积分应用的两条常用结论
(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．
2．会用定积分的两个性质
函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.
(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)
(2)若f(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)
(3)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(　　)
(4)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－2·P53例1改编]dx＝(　　)
A．e2－2 B．e－1
C．e2 D．e＋1
3．[选修2－2·P60习题 T6改编]汽车以72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________ m．
(三)易错易混
4．(不会分段出错)定积分|x|dx＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(几何意义不清出错)曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
6．(几何意义不清出错)dx＝________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　定积分的计算　
1．等于(　　)
A．π　　　　B．2
C．π－2 D．π＋2
2．若(x2＋mx)dx＝0，则实数m的值为(　　)
A．－ B．－
C．－1 D．－2
3．若函数y＝为奇函数，则(x2＋x)dx＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
4.|1－x|dx＝________．
反思感悟　计算定积分的一般步骤
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；,（2）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；
（3）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数；
（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．
考点二　定积分的几何意义　
[例1]　(1)
[2022·云南昆明市高三模拟]设直线y＝1与y轴交于点A，与曲线y＝x3交于点B，O为原点，记线段OA，AB及曲线y＝x3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一个点P，已知点P取在△OAB内的概率等于，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2021·江西南昌二中高二期末]曲线y＝x2与直线y＝3x围成图形的面积为(　　)
A． B． C． D．9
听课笔记：
反思感悟　利用定积分求平面图形面积的4步骤
（1）根据题意画出图形．
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．
（4）计算定积分，写出答案．
【对点训练】
曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围成图形的面积是________．
考点三　定积分在物理中的应用　
[例2]　(1)[2022·安徽省舒城中学高三模拟]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
A．1＋25ln 5　　　　B．2＋25ln 2
C．4＋25ln 5 D．8＋50ln 2
(2)变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t＝t1时所在位置为S0，则当t2秒末它所在位置为(　　)
A． B．S0＋
C．－S0 D．S0－
听课笔记：
反思感悟)　定积分在物理中的两个应用
（1）变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v（t）dt.
（2）变力做功：一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝F（x）dx.
【对点训练】
一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m．
第三节　定积分与微积分基本定理
积累必备知识
一、
1．积分下限　积分上限　f(x)　x
f(x)dx
2．(1)k　(2)
(3)
3．F(b)－F(a)　
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析： dx＝(x2＋ln x) ＝e2.
答案：C
3．解析：先求从刹车到停车所用的时间t，
当t＝0时，v0＝72 km/h＝20 m/s，
刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.
令v(t)＝0，可得t＝5 s，
所以汽车从刹车到停车，所走的路程为：
＝(20t－2t2) =50 (m)
即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m．
答案：50
4．解析：
＝＝
2 =
＝1.
答案：A
5．解析：由，得，或
所以曲线y＝x2＋2x与直线y＝x围成的封闭图形如图中阴影部分所示，
所以面积为
＝(
＝.
答案：A
6．解析：dx表示以原点为圆心以2半径的圆的面积的四分之一，
如图所示的阴影部分的面积，
∴dx＝π×4＝π.
答案：π
提升关键能力
考点一
1．解析：因为(x＋sin x)′＝1＋cos x，所以＝＝
＋sin ＝π＋2.
答案：D
2．解析：由题意知＝＝＝0，得m＝－.
答案：B
3．解析：因为y＝为奇函数，所以a－1＝0，即a＝1，所以＝
＝
＝＝.
答案：D
4．解析：＝
＝＋
＝－0＋＝1.
答案：1
考点二
例1　解析：(1)联立，解得.
则曲边梯形OAB的面积为＝
=1－＝，
∵在Ω内随机取一个点P，点P取在△OAB内的概率等于，
∴点P取在阴影部分的概率等于1－＝，∴图中阴影部分的面积为＝.
(2)由直线y＝3x与曲线y＝x2，解得或，
所以直线y＝3x与曲线y＝x2的交点为O(0，0)和A(3，3)，
因此，直线y＝3x与曲线y＝x2所围成的封闭图形的面积是S＝＝
.
答案：(1)B　(2)C
对点训练
解析：由题意和定积分的意义可得所求面积S＝＝cos －cos + cos
=1 - (－1－1)＋＝4－.
答案：4－
考点三
例2　解析：(1)令v(t)＝0得，3t2－4t－32＝0，解得t＝4.汽车的刹车距离是
dt＝[7t - +25 ln(t+1) ]
＝4＋25ln 5.
(2)由题意，可得物体的位移为定积分所以当t2秒末它所在位置为
答案：(1)C　(2)B
对点训练
解析：由速度—时间曲线得v(t)＝
所以汽车在1分钟内行驶的路程为：
+ = +
＝150＋750＝900 m.
答案：900

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