资源简介

第 三 章 导数及其应用
第一节　变化率与导数、导数的计算
·最新考纲·
1．了解导数概念的实际背景．
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
·考向预测·
考情分析：本节主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等．
学科素养：通过导数的几何意义考查数学抽象的核心素养，导数的四则运算考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记5个知识点
1．平均变化率及瞬时变化率
(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：＝________________．
(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：＝____________．
[提醒]　f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的______________，记作y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝.
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝____________．
3．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是________________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为________________．
[提醒]　求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
4．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ax f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝logax f′(x)＝________
f(x)＝ln x f′(x)＝________
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝________________；
(2)[f(x)·g(x)]′＝________________；
(3)′＝________________(g(x)≠0)．
二、必明2个常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－2·P18T5改编]已知函数f(x)＝x(19＋ln x)，若f′(x0)＝20，则x0等于(　　)
A．e2 B．1
C.ln 2 D．e
3．[选修2－2·P19T2改编]曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________________．
(三)易错易混
4．(混淆f′(x0)与[f(x0)]′的区别)已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝________．
5．(混淆“在”与“过”的区别)已知函数f(x)＝x3＋x－16，若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，则直线l的方程为________________．
(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷]曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　导数的概念及其运算　[基础性]
1．函数f(x)＝的导函数f′(x)＝(　　)
A．tan x B．－
C．－ D．－
2．[2022·四川省南充市测试]已知函数f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝(　　)
A．－e B．e
C．－1 D．1
3．[2022·华中师范大学第一附中模拟]设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋x2－x，则f′(1)＝________．
4．[2022·山东省实验中学考试]设f(x)＝aex＋b ln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________．
5．求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝x sin cos ；
(3)y＝.
反思感悟　
[提醒]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
考点二　导数的几何意义及其应用　[综合性]
角度1　求切线方程
[例1]　(1)[2022·山西临汾市高三一模]曲线y＝x2＋2ex在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A．x＋2y＋2＝0　　　B．2x＋y＋2＝0
C．x－2y＋2＝0 D．2x－y＋2＝0
(2)设函数f(x)＝x3＋，则曲线y＝f(x)过P(2，4)的切线方程为________．
听课笔记：
反思感悟 　求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
角度2　求切点坐标
[例2]　[2022·广东广州测试]已知点P(x0，y0)是曲线C：y＝x3－x2＋1上的点，曲线C在点P处的切线与直线y＝8x－11平行，则(　　)
A．x0＝2 B．x0＝－
C．x0＝2或x0＝－ D．x0＝－2或x0＝
听课笔记：
　反思感悟 求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标，列出切线方程，将切点代入曲线方程，已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标．
角度3　求参数的值或范围
[例3]　(1)[2021·广东省七校联考]已知函数f(x)＝x ln x＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a＝(　　)
A．1 B．0
C． D．－1
(2)[2022·湖北九师质检]已知函数f(x)＝x2＋x ln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝________．
听课笔记：
　反思感悟 利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
[提醒]　(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【对点训练】
1．[2022·黄冈模拟]已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
2．[2021·湖北省荆州市高三质检]函数y＝ex－1－2x在点(1，f(1))处的切线方程为________．
3．[2021·西安五校联考]已知函数f(x)＝aex＋b(a，b∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________．
4．[2022·辽宁葫芦岛模拟]若一直线与曲线y＝ln x和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．
微专题13,导数与其他知识的交汇　交汇创新
[例]　对正整数n，设曲线y＝(2－x)xn在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和等于________．
解析：因为y＝(2－x)xn的导数为y′＝－xn＋n(2－x)xn－1，则y′|x＝3＝－3n－n·3n－1＝－3n－1(n＋3)，所以切线方程为y＋3n＝－3n－1(n＋3)(x－3)，令x＝0，切线与y轴交点的纵坐标为an＝(n＋2)·3n，所以＝3n，则数列的前n项和Sn＝＝.
答案：
名师点评　破解曲线的切线与数列相交汇问题的关键
(1)会求切线方程，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；
(2)会求数列的通项公式，一般可根据题意寻找其转化桥梁，如本题，求出切线与y轴交点的纵坐标，即可求出数列的通项公式；
(3)活用公式，若可判断出数列为等差(比)数列，则直接利用其前n项和公式得出结论．
[提醒]　导数还可以与不等式、向量、三角函数、解析几何等交汇．
[变式训练]　定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝x，h(x)＝ln x，φ(x)＝cos x的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是(　　)
A．α>β>γ B．β>γ>α
C．γ>α>β D．γ>β>α
第三章　导数及其应用
第一节　变化率与导数、导数的计算
积累必备知识
一、
1．(1)
(2)
2．(1)瞬时变化率
(2)
3．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率　y－y0＝f′(x0)(x－x0)
4．0　nxn－1　cos x　－sin x　ax ln a　ex　
5．(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2．解析：f′(x)＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f′(x0)＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.
答案：B
3．解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)．即5x＋y＋2＝0.
答案：5x＋y＋2＝0
4．解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，于是f(2)＝－8.
答案：－8
5．解析：设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝
＋x0－16，整理得：＝－8，所以x0＝－2.所以y0＝－26，f′(x0)＝13.所以直线l的方程为y＝13x.
答案：y＝13x
6．解析：y′＝′＝
＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.
答案：y＝5x＋2
提升关键能力
考点一
1．解析：f′(x)＝＝－.
答案：D
2．解析：由题意得f′(x)＝2f′(e)＋，所以f′(e)＝2f′(e)＋，即f′(e)＝－.所以f(e)＝2ef′(e)＋ln e＝－1.
答案：C
3．解析：因为f(x)＝x3＋x2－x，
所以f′(x)＝3x2＋2x－1.
所以f′＝3×＋2[f′]×－1.
解得f′＝－1.
所以f′(x)＝3x2－2x－1，所以f′(1)＝0.
答案：0
4．解析：f′(x)＝aex＋，
∴，
解得∴a＋b＝1.
答案：1
5．解析：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.
(2)∵y＝x sin cos
＝x sin (4x＋π)
＝－x sin 4x.
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2x cos 4x.
(3)y′＝′
＝
＝－.
考点二
例1　解析：(1)y＝x2＋2ex的导数为y′＝2x＋2ex，
可得在(0，f(0))处的切线的斜率为2，
且切点为(0，2)，
则切线的方程为y＝2x＋2，
即2x－y＋2＝0.
(2)设切点为，因为f′(x)＝x2，所以f′(x0)＝，从而得到切点处的切线方程为＝(x－x0)，将(2，4)代入，化简得到＋4＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
当x0＝－1时，切线方程为x－y＋2＝0；当x0＝2时，切线方程为4x－y－4＝0.
答案：(1)D　(2)x－y＋2＝0或4x－y－4＝0
例2　解析：由y＝x3－x2＋1得y′＝3x2－2x，则切线斜率k＝y′|x＝＝－2x0，又切线平行于直线y＝8x－11，所以－2x0＝8，所以x0＝2或－.当x0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y－5＝8(x－2)，即8x－y－11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；当x0＝－时，切点为，切线方程为y＋＝8，即y＝8x＋，与已知直线平行．
答案：B
例3　解析：(1)f′(x)＝ln x＋1，
∴f′(1)＝1，∴切线方程为y＝x－1＋a，故0＝0－1＋a，解得a＝1.
(2)因为f(x)＝x2＋x ln x，所以f′(x)＝2x＋ln x＋1，则函数f(x)＝x2＋x ln x的图象在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝2＋1＝3，又该切线与直线x－ay－1＝0平行，所以＝3，所以a＝.
答案：(1)A　(2)
对点训练
1．解析：设切点P(x0，y0)，
f′(x)＝3x2－1，
又直线x＋2y－1＝0的斜率为－，
∴f′(x0)＝－1＝＝1，
∴x0＝±1，
又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，
∴y0＝－x0＋3，
∴当x0＝1时，y0＝3；
当x0＝－1时，y0＝3.
∴切点P为(1，3)或(－1，3)．
答案：C
2．解析：由题得f(1)＝e1－1－2＝－1，所以切点坐标为(1，－1)．
由题得f′(x)＝ex－1－2，∴k＝f′(1)＝－1，
所以切线方程为y＋1＝－(x－1)，
∴x＋y＝0.
答案：x＋y＝0
3．解析：由题意，得f′(x)＝aex，则f′(0)＝a，又f(0)＝a＋b，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－(a＋b)＝a(x－0)，即y＝ax＋a＋b.又该切线方程为y＝2x＋1，所以解得所以a－b＝3.
答案：3
4．解析：设切点P(x0，y0)，则由y＝ln x，得y′＝，由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e.
答案：2e
微专题　导数与其他知识的交汇
变式训练
　解析：由题意，得g′(α)＝1＝g(α)，∴α＝1.由h(x)＝ln x，得h′(x)＝.令r(x)＝ln x－，可知r(1)<0，r(2)>0，故1<β<2.由φ(x)＝cos x，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，∴cos γ＋sin γ＝0，sin ＝0，γ∈，
∴γ＝.综上可知，γ>β>α.
答案：D

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