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第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
基础过关练
题组一　椭圆的定义及其应用
1.已知椭圆方程为+=1,P为椭圆上任意一点, A、B为椭圆的焦点,则(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.|PA|+|PB|=16 B.|PA|+|PB|=8
C.|PA|-|PB|=16 D.|PA|-|PB|=8
2.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.1
3.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点F在BC上,则△ABC的周长是(　　)
A.2 B.6
C.4 D.12
4.下列说法正确的是(　　)
A.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
5.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.不存在
6.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中)椭圆+=1的一个焦点坐标为(　　)
A.(5,0) B.(0,5)
C.(,0) D.(0,)
7.(2020北京西城高二上期末)设P是椭圆+=1上的点,且P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为　　　　.
题组二　椭圆的标准方程
8.(2019山东济南一中高二上期中)已知椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0)、F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20,则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
9.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+x2=1
10.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是(　　)
A.+x2=1 B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1 D.以上都不对
11.设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,求椭圆的标准方程.
12.已知点M(4,0),N(1,0),若动点P满足·=6||,求动点P的轨迹C的方程.
题组三　椭圆标准方程的应用
13.(2019黑龙江齐齐哈尔四校联盟高二上期中)已知m>0,则“m=3”是“椭圆+=1的焦距为4”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=　　　　.
15.已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
16.已知椭圆C:+y2=1的两焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<+<1,求|PF1|+|PF2|的取值范围.
17.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=2,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且·≤,求点P的横坐标的取值范围.
能力提升练
题组一　椭圆的定义及其应用
1.(2020重庆一中高二上期中,)椭圆+=1上一点M到左焦点F1的距离是2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则|ON|=(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.8 B.4 C.3 D.2
2.(2019北京海淀高二上学期期末,)已知点M是平面α内的动点,F1,F2是平面α内的两个定点,则“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2018海南文昌中学高二期末,)在平面直角坐标系Oxy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=(　　)
A. B.
C.5 D.无法确定
4.(2020辽宁凌源联合校高二上期中,)已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为(　易错　)
A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0)
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
5.()已知F是椭圆C:+=1的左焦点,P为C上一点,A,则|PA|+|PF|的最小值为(　　)
A. B. C.4 D.
题组二　椭圆的标准方程及其应用
6.(2020山东师大附中高二上期中,)已知椭圆kx2+2y2=2的一个焦点是(1,0),那么k=(　　)
A.- B.-1 C.1 D.
7.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)“方程+=1表示椭圆”的一个必要不充分条件是(　　)
A.m=7 B.7C.58.(多选)()已知F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下面四个结论正确的是(　　)
A.|MF2|的最大值大于3
B.|MF1|·|MF2|的最大值为4
C.∠F1MF2的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A、B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为+=1或+=1
9.(2020山东淄博一中高二上期中,)一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是　　　　　　.
10.(2020福建厦门二中高二上期中,)若从圆x2+y2=1上任意一点P向y轴作垂线段,则线段中点M的轨迹方程为 　　　　　.
11.()已知椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标是　　　　　.
12.()动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由椭圆的方程+=1知,a2=16,即a=4,所以由椭圆的定义可知,|PA|+|PB|=2a=8,故选B.
2.B　由椭圆方程,得a=3,b=2,c=.
∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为·|PF1|·|PF2|=×4×2=4.
3.C　由椭圆方程,知a=.
由椭圆的定义,得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=2,
所以|BC|+|BA|+|CA|=(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=4,即△ABC的周长为4.
4.C　A中,|F1F2|=8,故到点F1,F2的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2;B中,到点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹不存在;C中,根据椭圆的定义,知该轨迹是椭圆;D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
5.A　设y=m+(m>2),易知y=m+在(2,+∞)上为增函数,所以y=m+>4,即|PF1|+|PF2|>4,又|F1F2|=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.
6.D　易知椭圆+=1的焦点在y轴上.
由椭圆的定义知a=4,b=3,所以c=,
所以椭圆+=1的焦点坐标是(0,±).故选D.
7.答案　8
解析　由椭圆的定义知a=5,因为点P到左焦点的距离为2,所以点P到右焦点的距离为2×5-2=8.
8.B　由椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),可知椭圆的焦点在x轴上,且c=8.
由椭圆的定义可得2a=20,即a=10,
∴b==6,∴椭圆的标准方程是+=1,故选B.
9.A　由椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0)可知,椭圆的焦点在x轴上,且c=1.
又点P(2,0)在椭圆上,∴a=2.
由a2=b2+c2可得,b===,
∴椭圆的标准方程为+=1.
10.A　设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得
∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
11.解析　∵a=2b,b2+c2=a2,∴c2=3b2.
又PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,
∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,
∴b2=1,a2=4.
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
12.解析　设P(x,y),则=(-3,0),=(x-4,y),=(x-1,y).
由题意可得-3(x-4)=6,
化简得3x2+4y2=12,
即+=1,∴动点P的轨迹C的方程为+=1.
13.A　由题意知2c=4,∴c=2.
若焦点在x轴上,则c2=m2-5=4,
又m>0,∴m=3;
若焦点在y轴上,则c2=5-m2=4,
又m>0,∴m=1.
因此“m=3”是“椭圆+=1的焦距为4”的充分不必要条件,故选A.
14.答案　120°
解析　由椭圆的定义知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=,∴|F1F2|=2.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴cos∠F1PF2===-,又0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
15.解析　(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0).
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0),
则化简并整理得5b4+11b2-16=0,
解得b2=1或b2=-(舍去),所以a2=5,故椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,所以y0=±.
又+=1,所以=,解得x0=±,
所以满足条件的点P有4个,它们的坐标分别为,,,-,.
16.解析　由题意知,a2=2,b2=1,所以a=,c2=a2-b2=1,所以c=1.因为0<+<1,所以点P(x0,y0)在椭圆+y2=1的内部,且不与原点重合.由椭圆的定义和几何性质,知|PF1|+|PF2|<2a=2,且|PF1|+|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2(除原点外)上,此时|PF1|+|PF2|=2c=2.故|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2).
17.解析　(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=2,
∴解得
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),∵c=,
∴令F1(-,0),F2(,0),
则=(--x,-y),=(-x,-y),
∴·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3,
又+y2=1,即y2=1-,
∴·=x2+y2-3=x2+1--3
=(3x2-8)≤,
解得-≤x≤,
∵x>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,].
能力提升练
1.B　设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,NO,如图所示.
由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=10,
∵|MF1|=2,∴|MF2|=8,
又O是F1F2的中点,N是MF1的中点,
∴|ON|=|MF2|=4,故选B.
2.C　若点M到点F1,F2的距离之和恰好为F1,F2两点之间的距离,则点M的轨迹不是椭圆,所以前者不能推出后者.由椭圆的定义知,椭圆上一点到两焦点的距离之和为常数2a,所以后者能推出前者.故“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的必要不充分条件,故选C.
3.A　由题意,知A、C为椭圆的左、右焦点,且|AC|=8,|AB|+|BC|=10,
所以===.
4.A　依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,设其标准方程为+=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.
又A、B、C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为+=1(y≠0).故选A.
易错警示　本题隐含条件A、B、C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉x轴上的两点,防止漏掉y≠0导致错误.
5.D　由椭圆的方程可知,a=3,c==2.如图所示,设F2是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知,|PF|+|PF2|=2a=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF2|=6-(|PF2|-|PA|),所以求|PA|+|PF|的最小值,也就是求|PF2|-|PA|的最大值.由图易知,当P,A,F2三点共线时,|PF2|-|PA|取得最大值,此时(|PF2|-|PA|)max=|AF2|=,所以|PA|+|PF|的最小值为6-=.
6.C　由题意知,椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程可化为+y2=1,∴a2=,b2=1,又c=1,∴-1=1,解得k=1,故选C.
7.C　方程+=1表示椭圆的充要条件为解得5由(5,7)∪(7,9) (5,9)知,“58.BCD　由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,因此F1(-1,0),F2(1,0).
选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误;
选项B中,|MF1|·|MF2|≤=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,B正确;
选项C中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,),则tan =,∴=30°,
∴∠F1MF2的最大值为60°,C正确;
选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y).
∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,
∴|x2-|=2,即x2=+2或x2=-2.
又由题意知+=1,
∴+=1或+=1,
化简得+=1或+=1,D正确.
故选BCD.
9.答案　+=1
解析　圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,易知其半径为6.
如图,设动圆圆心M的坐标为(x,y),与定圆B的切点为C.
由图知,定圆的半径与动圆的半径之差等于两圆心的距离,即|BC|-|MC|=|BM|,又|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6,因为|MA|=|MC|,所以|BM|+|MA|=6,所以由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点,线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则a=3,c=2,b==,所以所求圆心M的轨迹方程是+=1.
10.答案　4x2+y2=1
解析　设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则x=,y=y0.因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以+=1.将x0=2x,y0=y代入方程+=1,得4x2+y2=1.所以点M的轨迹方程是4x2+y2=1.
11.答案　 ±
解析　由题意得a2=9,b2=4,所以c2=a2-b2=5,所以c=.设P(x,y),令F1的坐标为(-,0),F2的坐标为(,0),
因为∠F1PF2=90°,所以在△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,
即+y2++y2=20,化简得x2+y2=5.又+=1,所以y2=4,
所以x2+4=5,解得x=±.
所以点P的横坐标为±.
12.解析　(1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R,①
|CC2|=2+R,②
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为+=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则=,=.
由=5可得,
=5,
所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,③
由P,Q是轨迹E上的两点,得
由④⑤得y2=3,
将y2=3代入③,得y1=-3,
将y2=3代入④,得x2=0,所以x1=0,
所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.

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