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第六节　正弦定理和余弦定理
·最新考纲·
1．借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．
2．掌握余弦定理、正弦定理．
·考向预测·
考情分析：利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题．
学科素养：通过利用正、余弦定理解三角形考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．正弦定理
______________________________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝____________________；
(2)a＝2R sin A，b＝2R sin B，________________；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝________等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理
a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________________.余弦定理可以变形为：cos A＝______________，cos B＝________________，cos C＝________________．
3．三角形面积公式
S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
二、必明3个常用结论
1．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A>sin B cos A2．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；
(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；
b＝a cos C＋c cos A；
c＝b cos A＋a cos B．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．(　　)
(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．(　　)
(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B＝45°或∠B＝135°.(　　)
(4)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，则实数a的取值范围是(，2)．(　　)
(5)在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．(　　)
(6)在△ABC中，若tan A＝a2，tan B＝b2，则△ABC是等腰三角形．(　　)
(二)教材改编
2．[必修5·P10T4改编]在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A． B． C． D．
3．[必修5·P10B组T2改编]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c(三)易错易混
4．(判断三角形解的个数失误)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A.有一解 B．有两解
C．无解 D.有解但解的个数不确定
5．(忽视cos C＝0，出现丢根)在△ABC中，角A，B，C满足sin A cos C－sin B cos C＝0，则三角形的形状为________．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　利用正、余弦定理解三角形　[基础性]
1．[2022·四川攀枝花市模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，b＝3，a＝，则c＝(　　)
A． B．2
C．3－ D．3
2．[2022·四川成都市测试]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3b，sin A＝，则sin B的值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．[2022·安徽安庆市测评]在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．若a，b，c成等比数列，且a2＋bc＝c2＋ac，则∠A的大小是(　　)
A． B． C． D．
4．[2022·甘肃高三模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶9，则cos C＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
反思感悟　用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
考点二　判断三角形的形状　[基础性、综合性]
[例1]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
听课笔记：
一题多变
1．(变条件)若将例1中“若b cos C＋c cos B＝a sin A”变为“＝＝”，则△ABC的形状为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件)若将例1中“若b cos C＋c cos B＝a sin A”变为“若＝”，则△ABC的形状为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　判定三角形形状的常用技巧
[提醒]　注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
【对点训练】
1．[2022·四川省内江市第六中学测试]若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝7∶11∶13，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
2．[2022·安徽高三月考]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A－2cos A＋＝0且满足a＝(b－c)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．[2022·甘谷县第四中学测试]在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
考点三　与三角形面积、周长、边长有关的问题　[综合性]
角度1　与三角形面积有关的问题
[例2]　[2022·江西五校联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝.
(1)求A；
(2)若a＝3，求△ABC的面积．
听课笔记：
反思感悟　求三角形面积的方法
角度2　与最值(范围)有关的问题
[例3]　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab.
(1)求角C的值；
(2)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a＋b的取值范围．
听课笔记：
反思感悟　求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题
在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.
【对点训练】
1．[2022·陕西宝鸡市测试]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝60°，则△ABC的面积为(　　)
A．　　　B．2　　　C．2　　　D．3
2．[2022·兰州市第二十七中学测试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则的值等于(　　)
A．　　B．
C． D．2
3．[2022·北京人大附中检测]在△ABC中，a＝，A＝，则△ABC的最大周长是(　　)
A．2　　B．3　　C．3＋　　D．4＋
4．[2022·浙江高三模拟]在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，AC sin A＝2sin ∠ABD，则BD＝________，△ABC面积的最大值为________．
微专题19 计算三角形中的未知量　数学运算
数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．
[例]　[2020·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
解析：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°.
解得c1＝－2(舍去)，c2＝2，从而a＝2.
△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，所以sin A＋sin C＝sin (30°－C)＋sin C＝sin (30°＋C)．
故sin (30°＋C)＝.
而0°名师点评　(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
[变式训练]　[2022·江西省名校高三教学质量检测]在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3a sin B.
(1)求角C的大小；
(2)若b cos C＋c cos B＝4，B＝，求△ABC的面积．
第六节　正弦定理和余弦定理
积累必备知识
一、
1． ＝ ＝ ＝2R　sin A∶sin B∶sin C　c＝2R sin C　
2．b2＋c2－2bc cos A　a2＋c2－2ac cos B　a2＋b2－2ab cos C　　　
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√(5)√　(6)×
2．解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos ∠BAC＝　＝ ＝－ ，
由A∈(0，π)，得A＝ ，即∠BAC＝.
答案：C
3．解析：依题意得sin C所以sin (A＋B)即sin B cos A＋cos B sin A－sin B cos A<0，
所以cos B sin A<0.又sin A>0，
于是有cos B<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．
答案：钝角
4．解析：由 ＝ ，得sin B＝＝ ＝ >1.所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在，故选C.
答案：C
5．解析：∵sin A cos C－sin B cos C＝0
∴cos C(sin A－sin B)＝0
即cos C＝0或sin A＝sin B.
若cos C＝0，则C＝90°，即为直角三角形；若sin A＝sin B，则A＝B.即为等腰三角形．
答案：直角三角形或等腰三角形
6．解析：由S△ABC＝ ac sin B＝ac＝ 得ac＝4.
由b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，
结合a2＋c2＝3ac得到b2＝2ac＝8，
∴b＝2 .
答案：2
提升关键能力
考点一
1．解析：在△ABC中，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝3＋c2－ c＝9，
即c2－ c－6＝0，解得：c＝2 或c＝－ (舍)，∴c＝2.
答案：B
2．解析：由正弦定理可知： ＝ ＝ sin B＝ .
答案：A
3．解析：由已知得b2＝ac，因此a2＋bc＝c2＋ac可化为b2＋c2－a2＝bc.
于是cos A＝＝ ，又A∈(0，π)，所以A＝ .
答案：A
4．解析：由正弦定理： ＝ ＝ ＝2R，
得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，
又因为sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶9，所以a∶b∶c＝5∶7∶9，
令a＝5t，b＝7t，c＝9t(t>0)，
所以cos C＝＝ ＝－ .
答案：D
考点二
例1　解析：因为b cos C＋c cos B＝a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，
所以sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.
又sinA>0，所以sin A＝1，所以A＝，故△ABC为直角三角形．故选B.
答案：B
一题多变
1．解析：因为 ＝ ，由正弦定理得 ＝ ，所以sin 2A＝sin 2B.由＝√，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A＋B＝，所以C＝，于是△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
2．解析：由 ＝ ，得 ＝ ，
所以sin A cos A＝cos B sin B，所以sin 2A＝sin 2B.
因为A，B为△ABC的内角，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
对点训练
1．解析：△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶11∶13，
设a＝7x，b＝11x，c＝13x，
cos C＝＝ ＝ >0，
∴最大角A为锐角，∴△ABC为锐角三角形．
答案：A
2．解析：cos 2A－2cos A＋ ＝2cos2A－1－2cosA＋＝0，解得cos A＝ ，A＝ ，则B＝ －C，
∵a＝(b－c)，∴由正弦定理得sin A＝(sin B－sin C)，
＝[sin() - sin C ],
cos C＋sin C－sin C＝，
sin (-C)＝，因为0∴－ < －C<，∴－C＝，
∴C＝，B＝ ，△ABC是直角三角形．
答案：B
3．解析：由已知 ＝ ＝ ，得 ＝ 或 ＝0，即C＝90°或 ＝，由正弦定理得＝ ，即sin C cos C＝sin B cos B，即sin 2C＝sin 2B，∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案：D
考点三
例2　解析：(1)∵＝＝，
∴由正弦定理得＝＝，
即tan A＝tan B＝2tan C，
∴tan B＝3tan A，tan C＝tan A.
∵在△ABC中，tan A＝－tan (B＋C)＝－，
∴tan A＝－，解得tan2A＝3，
即tanA＝－或tan A＝.
当tan A＝－时，tan B＝－3，tan C＝－，则A，B，C均为钝角，与A＋B＋C＝π矛盾，故舍去，
故tan A＝，即A＝.
解析：(2)由(1)知tan B＝3，tan C＝，∴sin B＝，sin C＝，
∵a＝3，∴＝＝，
解得b＝，c＝，
∴S△ABC＝bc sin A＝＝.
例3　解析：(1)由题意知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可知，cos C＝＝，
又C∈(0，π)，∴C＝.
解析：(2)由正弦定理可知，
＝＝＝，即a＝sin A，b＝sin B，
∴a＋b＝(sin A＋sin B)＝
＝2sin A＋2cos A＝4sin ，
又△ABC为锐角三角形，
∴即则综上，a＋b的取值范围为(2，4].
对点训练
1．解析：由余弦定理可知，b2＝a2＋c2－2c·a·cos B，即13＝1＋c2－2c cos 60°，
整理得c2－c－12＝0，解得c＝4或－3(舍去)，
则S△ABC＝a·c·sin B＝×1×4×sin 60°＝.
答案：A
2．解析：∵S＝bc sin A，
∴c＝＝＝4，
∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋16－2×1×4×＝13，
∴a＝，
∴＝＝＝.
答案：A
3．解析：由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即3bc＝(b＋c)2－3，
故3bc＝(b＋c)2－3≤3，当且仅当b＝c时等号成立
解得(b＋c)2≤12，又b＋c>a＝，所以答案：B
4．解析：在△ABD中，AD＝，由正弦定理得，＝＝，
即AC sin A＝2BD sin ∠ABD，又已知AC sin A＝2sin ∠ABD，则BD＝1.
设AC＝b，则AD＝，
由余弦定理得，cos A＝＝，则sin A＝.
∴S△ABC＝b2sin A＝b2
＝.
当b＝时，△ABC的面积取最大值为.
答案：1　
微专题19　计算三角形中的未知量
变式训练
　解析：(1)因为(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3a sin B，
所以由正弦定理得，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
即(a＋b)2－c2＝3ab，整理得a2＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得cos C＝＝.
又0(2)因为B＝，A＋B＋C＝π，所以A＝π－B－C＝.
又b cos C＋c cos B＝4，
所以由余弦定理得b·＋c·＝4，得a＝4.
由正弦定理＝，得b＝＝＝4(－1)，
故△ABC的面积S＝ab sin C＝×4×4(－1)×sin ＝4(3－)．