资源简介

　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　三角函数公式的基本应用　[基础性]
1．[2021·全国甲卷]若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
2．[2022·郑州模拟]已知sin α＝(角α为第二象限角)，则cos ＝(　　)
A． B．
C． D．
3．[2022·安徽合肥检测]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点M(－，－)，则cos 2α＋sin 的值为(　　)
A．－ B．
C．1 D．
4．[2022·六校联盟第二次联考]若tan ＝－2，则tan 2α＝________．
反思感悟　三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系，诱导公式的综合应用．
考点二　三角函数公式的活用　[综合性]
[例1]　(1)在△ABC中，若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)[2022·陕西汉中模拟]化简：＝(　　)
A． B．
C．1 D．
听课笔记：
反思感悟　三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用(如本例(1)).
【对点训练】
1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．已知cos－sin α＝，则sin ＝________.
3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________．
考点三　角的变换与名的变换　[综合性]
角度1　三角公式中角的变换
[例2]　(1)已知α，β均为锐角，cos α＝，tan (α－β)＝－，则tan β＝________．
(2)已知α，β都是锐角，cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则cos 2α＝________．
听课笔记：
反思感悟　
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝，α＝＝等.
角度2　三角公式中函数名的变换
[例3]　(1)已知cos α＋2cos ＝0，则tan ＝(　　)
A．－ B．
C．3 D．－3
(2)[2022·深圳市统一测试]已知tan α＝－3，则sin 2＝(　　)
A． B．－
C． D．－
听课笔记：
反思感悟　三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系，诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.
【对点训练】
1．[2022·百校联盟联考]已知α、β都是锐角，cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则sin α＝(　　)
A．　B．　C．　D．
2．[2022·长春模拟]若α是锐角，且cos ＝，则cos ＝________．
3．[2022·沈阳市教学质量监测]若cos ＝，则sin ＝________．
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
提升关键能力
考点一
1．解析：因为α∈(0，)，所以tan 2α＝ ＝ ＝
2cos2α－1＝4sinα－2sin2α 2sin2α＋2cos2α－1＝4sinα sin α＝ tan α＝ .
答案：A
2．解析：因为角α为第二象限角，且sin α＝ ，所以cos α＝－ .
所以cos (α - )＝cos αcos ＋sin αsin ＝－× +×＝.
答案：D
3．解析：由题意知sin α＝－ ，cos α＝－ ，所以cos 2α＋sin (α- )＝2cos2α－1＋sinα－cos α＝2× －1＋ ×(－) －×(－)＝－.
答案：A
4．解析：由tan ( - α)＝－2可得 ＝－2，
即 ＝－2，化简得tan α＝－3，
∴tan 2α＝ ＝ ＝ .
答案：
考点二
例1　解析：(1)由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan (A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，所以cos C＝.
(2)＝
＝
＝＝.
答案：(1)B　(2)A
对点训练
1．解析：cos2＝＝sin 2α＝＝.
答案：D
2．解析：由cos (α＋)－sin α＝cos α－sin α－sin α＝cos α－sin α＝cos α－sin α)＝cos ＝sin (－α)＝，得sin ＝.sin (α＋)＝－sin ＝－sin (－α)＝－.
答案：－
3．解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
考点三
例2　解析：(1)由于α为锐角，且cos α＝，故sin α＝＝，tanα＝＝.
由tan (α－β)＝＝－，解得tan β＝.
(2)∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，－<α－β<.
又∵cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，
∴sin (α＋β)＝，cos (α－β)＝，
则cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝＝－.
答案：(1)　(2)－
例3　解析：(1)由cos α＋2cos ＝0，
得cos α＋2(cos α－sin α)＝0，
所以2cos α－sin α＝0，则tan α＝.
所以tan ＝＝＝3.
解析：(2)因为tan α＝－3，所以＝－3，则sin α＝－3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1得9cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，所以sin2＝sin ＝cos 2α＝2cos2α－1＝－1＝－.
答案：(1)C　(2)D
对点训练
1．解析：∵α、β都是锐角，∴0<α＋β<π，－<α－β<.又∵cos(α＋β)＝，sin (α－β)＝，∴sin (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝＝－.∵cos 2α＝1－2sin2α＝－，
∴sin2α＝，∵sinα>0，∴sin α＝.
答案：A
2．解析：因为0<α<，所以<α＋<，
又cos ＝，
所以sin ＝，
则cos ＝sin α＝sin
＝sin cos －cos sin ＝＝.
答案：
3．解析：方法一　sin
＝sin
＝cos 2＝2cos2－1＝－.
方法二　由cos＝cos x＋sin x＝，得(cos x＋sin x)2＝cos2x＋sin2x＋sinx cos x＝cos2x＋sinx cos x＋＝sin 2x＋
＝
＝ sin ＝，所以sin ＝－.
答案：－

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