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第 四 章 三角函数、解三角形
第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
·最新考纲·
1．了解任意角的概念和弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
·考向预测·
考情分析：任意角三角函数的定义及应用是高考考查的热点，题型以选择题或填空题为主．
学科素养：通过弧度制及三角函数定义的应用考查数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
[提醒]　终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad　1 rad＝________
弧长公式 弧长l＝________
扇形面积公式 S＝________＝________
[提醒]　利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
3．任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
________叫做α的正弦，记作sin α ________叫做α的余弦，记作cos α ________叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ________ ________ ________
Ⅱ ________ ________ ________
Ⅲ ________ ________ ________
Ⅳ ________ ________ ________
口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函 数线 有向线段________为正弦线 有向线段________为余弦线 有向线段______为正切线
二、必明3个常用结论
1．三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
3．象限角与轴线角
(1)象限角
(2)轴线角
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)小于90°的角是锐角．(　　)
(2)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．(　　)
(3)若sin α＝sin ，则α＝.(　　)
(4)－300°角与60°角的终边相同．(　　)
(5)若A＝{α|α＝2kπ，k∈Z}，B＝{α|α＝4kπ，k∈Z}，则A＝B.(　　)
(二)教材改编
2．[必修4·P5练习T3改编]角－870°的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．[必修4·P20习题A组T2改编]已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
(三)易错易混
4．(不同象限三角函数值的符号不同)当α为第三象限角时，的值是________．
5．(公式中角的单位不是度而是弧度)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇形的面积为________．
(四)走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　象限角及终边相同的角　[基础性]
1．与角－终边相同的角是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
3．[2022·赤峰二中检测]若角α的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是(　　)
A．第二或第四象限
B．第二或第三象限
C．第一或第四象限
D．第三或第四象限
4．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A．
B．
C．
D．
反思感悟　
1．表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．
(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
2．象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
　(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
3．求或nθ(n∈N*)所在象限的方法
(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．
(2)两边同除以n或乘以n.
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．
[提醒]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．
考点二　弧长公式与扇形面积公式　[综合性]
[例1]　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
听课笔记：
一题多变
(变条件)若例1(3)中将“若扇形周长为20 cm”，改为“若扇形的周长是一定值C(C>0)”，其它不变，求解？
反思感悟　弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．
[提醒]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．
【对点训练】
1．[2022·扬州市测试]如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为(　　)
A.R　　　B．R　　　C．R　　　D．2R
2．已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝________，圆心角θ＝________．
3.
[2022·湖南永州市高三模拟]如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为30米，则该月牙潭的面积为________平方米．
考点三　任意角三角函数的定义及应用　[应用性]
角度1　三角函数的定义
[例2]　(1)[2022·宁夏高三模拟]已知角α终边经过点P(－1，2)，则cos α＝(　　)
A．　　B．－　　C．　　D．－
(2)[2022·广东广州市高三模拟]已知第二象限角θ的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且cos θ＋3sin θ＝0，则3a－b＝(　　)
A．－7 B．－5 C．5 D．7
听课笔记：
反思感悟　三角函数定义应用策略
(1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解．
(2)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．
(4)已知角α的某三角函数值(含参数)或角α终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值．
(5)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
角度2　三角函数值符号的判断
[例3]　(1)[2022·昆明市盘龙月考]若，则θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知α为第二象限角，则的值是(　　)
A．3 B．－3 C．1 D．－12
听课笔记：
反思感悟　三角函数值符号的判断方法
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解.
角度3　三角函数线的应用
[例4]　函数y＝lg (2sin x－1)＋的定义域为____________．
听课笔记：
反思感悟　应用三角函数线解决问题的思路
三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负.
【对点训练】
1．已知角α的终边在直线y＝－x上，如果cos α<0，则tan α＝________．
2．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则sin α＝________，tan α＝________．
3．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为________．
第四章　三角函数、解三角形
第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
积累必备知识
一、
1．(1)端点　(2)正角　负角　零角　象限角　
2．(1)半径长　°　|α|r　lr　|α|r2
3．y　x　　正　正　正　正　负　负　负　负　正　负　正　负　MP　OM　AT
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2．解析：－870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的终边相同，所以－870°的终边在第三象限．
答案：C
3．解析：由已知得m<0且＝－，解得m＝－.
答案：A
4．解析：因为α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，所以＝－1－(－1)＋1＝1.
答案：1
5．解析：单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×＝，由弧度数的定义得＝，所以l＝，S扇形＝lr＝×1＝.
答案：
6．解析：方法一　∵α是第四象限角，∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可零．
方法二　∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin α cos α<0.
答案：D
提升关键能力
考点一
1．解析：因为与角－终边相同的角是－＋2kπ(k∈Z)，当k＝1时－＋2kπ＝.
答案：B
2．解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围相同．
答案：C
3．解析：由题意α＝k·360°＋240°，所以＝k·180°＋120°，k∈Z，
当k为偶数时，在第二象限，当k为奇数时，在第四象限．
答案：A
4．解析：由图知，角α的取值集合为：
∪
＝∪
＝.
答案：D
考点二
例1　解析：(1)α＝60°＝ rad
所以l＝α·R＝×10＝(cm)．
(2)由题意得
解得(舍去)或
故扇形的圆心角为.
(3)由已知，得l＋2R＝20，
所以扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10，α＝2.
一题多变
解析：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝，所以S扇＝α·R2＝α·＝·＝·.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
对点训练
1．解析：设所对的圆心角为α，则由题意，得αR＝R，所以α＝，所以AB＝2R sin ＝2R sin ＝2R×＝R.
答案：C
2．解析：因为扇形的弧长为，所以面积＝×r，解得r＝2.由扇形的弧长为＝rθ＝2θ，解得θ＝.
答案：2　
3.
解析：如图是内堤岸圆弧所在圆，由题意OA＝OB＝30，AB＝30，所以OA⊥OB，
弦AB上方弓形面积为S2＝π×302－×30×30＝225π－450，
所以所求面积为S＝π×(15)2－S2＝225π－(225π－450)＝450.
答案：450
考点三
例2　解析：(1)由三角函数定义cos α＝＝－.
(2)由cos θ＋3sin θ＝0得：tan θ＝＝－，
由三角函数定义知：tan θ＝－a＝＝－，解得：a＝，b＝－6，∴3a－b＝1＋6＝7.
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：(1)因为sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ<0，所以sin θ>0，所以θ是第二象限角．
(2)由题意，＝，
因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以＝＝2－1＝1.
答案：(1)B　(2)C
例4　解析：要使原函数有意义，必须有即，
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，
解集为
，
取交集可得原函数的定义域为
，(k∈Z)
答案：，(k∈Z)
对点训练
1．解析：
如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.
答案：－1
2．解析：由θ∈得cos θ<0，
所以r＝＝＝－5cosθ，
所以sin α＝＝－，tan α＝＝－.
答案：－　－
3．解析：
如图所示，找出在(0，2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin ＝cos ＝，sin ＝cos ＝－.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈.
答案：

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