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第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
·最新考纲·
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
·考向预测·
考情分析：同角三角函数基本关系式的应用和诱导公式的应用仍将是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：________________．
(2)商数关系：________________．
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α ______ ______ ______ ______ ______
余弦 cos α ______ ______ ______ ______ ______
正切 tan α ______ ______ ______
3.特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180°
角α的 弧度数 0 π
sin α ____ ____ ____ 1 ____ ____ 0
cos α ____ ____ ____ 0 ____ ____ －1
tan α ____ ____ 1 ____ ____ ____ 0
二、必明2个常用结论
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
2．sin α＋cos α，sin α－cos α与sin αcos α的关系
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4 sin αcos α.
对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两式的值．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)
(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(二)教材改编
2．[必修4·P29B组T2改编]已知α为锐角，且sin α＝，则cos (π＋α)＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
3．[必修4·P21练习T4改编]化简：＝________．
(三)易错易混
4．(不会运用消元思想)已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)
A． B． C． D．
5．(未注意角的范围出错)若sinα＝－，则tan α＝________．
(四)走进高考
6．[2019·全国卷Ⅰ]tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　诱导公式的应用　[基础性]
1．sin (－1 200°)cos 1 290°＝________．
2．若f(x)＝sin ＋1，且f(2 020)＝2，则f(2 022)＝________．
3．已知f(α)＝，则f的值为________．
4．已知cos ＝a，则cos ＋sin ＝________．
反思感悟　
1．诱导公式应用的步骤
(1)负化正：将负角的三角函数化为正角的三角函数；
(2)大化小：将大于360°的角的三角函数化为0°～360°角的三角函数；
(3)小化锐：将大于90°的角的三角函数化为0°～90°角的三角函数；
(4)锐求值：得到0°～90°角的三角函数后直接求值．也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．
2．常见的互余和互补的角
互余的角 －α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等
互补的角 ＋θ与－θ，＋θ与－θ等
考点二　同角三角函数基本关系式的应用　[基础性、综合性]
角度1　公式的直接应用
[例1]　(1)已知α是第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝(　　)
A．－　　B．　　C．　　D．－
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
听课笔记：
反思感悟　同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.
角度2　sin α，cos α的齐次式问题
[例2]　已知＝－1，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α＋sinαcos α＋2.
听课笔记：
反思感悟　三角函数式中“弦化切”常见形式及解决办法
角度3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系
[例3]　(1)[2022·成都七中实验学校高三模拟]已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．　　B．　　C．－　　D．－
(2)[2022·辽宁高三模拟]已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝(　　)
A．± B． C．－ D．
(3)[2022·河北张家口市模拟]若α∈，2sin α＋cos α＝，则tan α＝(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
听课笔记：
反思感悟　对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二．
若令sin α＋cos α＝t(t∈[－])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用.
【对点训练】
1．[2022·上海格致中学高三模拟]已知α是第二象限角，且sin α＝，tan α＝________．
2．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
3．已知sinα－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)
A．－1 B．－ C． D．1
考点三　同角关系与诱导公式的综合应用　[综合性]
[例4]　已知α，β为锐角，sin α＝，sin (α－β)＝－.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan (α＋β)的值．
听课笔记：
反思感悟　利用诱导公式与同角关系
求解综合问题的思路和要求
思路 (1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式
要求 (1)化简过程是恒等变换； (2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
【对点训练】
1．[2022·郸城县第一中学高三一模]若cos (2θ＋π)＝，则cos θ＝________．
2．[2022·辽宁沈阳市一模]已知2sin (π－α)＝3sin ，则sin2α－sin2α－cos2α＝(　　)
A．　　　B．－　　　C．－　　　D．
微专题15 三角函数式的化简与求值　数学运算
数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．
[例]　[2021·湖北宜昌期末]已知α是第三象限角，且cosα＝－.
(1)求tan α的值；
(2)化简并求的值．
解析：(1)因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，所以tanα＝＝3.
(2)由(1)知tan α＝3，所以原式＝＝＝＝＝.
名师点评　三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成实际函数运算.
[变式训练]　
[2022·天津一中月考]已知sin α－cos α＝(0<α<π)，则cos4α＋sin4α的值为________．
第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
积累必备知识
一、
1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)tanα＝
2．－sin α　－sin α　sin α　cos α　cos α　－cos α　cos α　－cos α　sin α　－sin α　tan α　－tan α　－tan α
3．0　　1　　－　－　0　　－　－
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：因为α为锐角，所以cos α＝＝，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－.
答案：A
3．解析：＝＝sin 2θ.
答案：sin 2θ
4．解析：＋sin2θ＝＝，将tanθ＝2代入，得原式＝.
答案：C
5．解析：∵sin α＝－<0，∴α为第三象限或第四象限角．当α为第三象限角时，cos α＝－＝－，
∴tanα＝＝.当α为第四象限角时，cos α＝＝，
∴tanα＝＝－.
答案：或－
6．解析：tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝＝2＋.
答案：D
提升关键能力
考点一
1．解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290°＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)＝－sin 120°cos 210°＝－sin (180°－60°)·cos (180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＝＝.
答案：
2．解析：因为f(2 020)＝
sin ＋1＝
sin ＋1＝sin α＋1＝2，所以sin α＝1.所以f(2 022)＝sin ＋1＝sin (1 011π＋α)＋1＝－sin α＋1＝0.
答案：0
3．解析：因为f(α)
＝
＝＝cos α，所以
f＝cos ＝cos ＝.
答案：
4．解析：由题意得cos ＝cos ＝－cos ＝－a，sin ＝sin []＝cos ＝a，所以cos ＋sin ＝－a＋a＝0.
答案：0
考点二
例1　解析：(1)因为tan α＝＝－，
所以cos α＝－sin α　①，
sin2α＋cos2α＝1　②.
由①②得sin2α＝，又α是第四象限角，
所以sinα<0，则sin α＝－.
(2)由tan α＝－，
得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cosα<0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
答案：(1)A　(2)－
例2　解析：由＝－1解得tan α＝.
(1)＝＝＝－.
(2)sin2α＋sinαcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
例3　解析：(1)由题设知： (sin α - cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，
∴sin 2α＝.
(2)由sin α＋cos α＝得(sin α＋cos α)2＝，化简得2sin αcos α＝－<0，
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，
所以sin α－cos α＝＝＝＝.
(3)(2sin α＋cos α)2＝4sin2α＋cos2α＋4sinαcos α＝
＝＝，所以11tan2α＋20tanα－4＝0，解得tan α＝－2或tan α＝，又α∈，所以tan α＝－2.
答案：(1)B　(2)B　(3)A
对点训练
1．解析：由α是第二象限角，知cos α＝－＝－＝－，
则tanα＝＝－.
答案：－
2．解析：sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ＝＝
＝＝.
答案：D
3．解析：方法一　由
得2cos2α＋2cosα＋1＝0，
即(cos α＋1)2＝0，
所以cos α＝－.又α∈(0，π)，所以α＝，
所以tan α＝tan ＝－1.
方法二　因为sin α－cos α＝，
所以sin ＝，
所以sin ＝1.
因为α∈(0，π)，所以α＝，所以tan α＝－1.
答案：A
考点三
例4　解析：(1)∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝＝＝，
∴sin2α＝2sin αcos α＝2×＝.
(2)∵α，β为锐角，∴0<α<，0<β<，∴－<－β<0，∴－<α－β<，
∵sin (α－β)＝－<0，∴－<α－β<0，∴cos (α－β)＝＝＝，
∴sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝＝，
∴cos β＝＝＝，∴tanα＝＝＝2，tan β＝＝＝7，
∴tan (α＋β)＝＝＝－.
对点训练
1．解析：∵cos (2θ＋π)＝－cos 2θ＝，∴cos 2θ＝－，∴2cos2θ－1＝－，解得cosθ＝±.
答案：±
2．解析：由2sin (π－α)＝3sin ，得2sin α＝3cos α，
所以tan α＝，从而sin2α－sin2α－cos2α＝＝＝－.
答案：B
微专题15　三角函数式的化简与求值
变式训练
解析：将等式sinα－cos α＝的两边平方，可得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝，所以cos4α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×＝.
答案：

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