资源简介

　简单的三角恒等变换
提 升关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　三角函数式的化简　[综合性]
[例1]　化简：
(1)( －)(1+tan α)；
(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos2αcos 2β.
听课笔记：
反思感悟　三角函数式化简的常用方法
(1)变角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少未知角的个数；
(2)变名：统一三角函数名称，利用诱导公式、切化弦、升幂与降幂(常见)公式等实现名称的统一；
(3)变式：观察式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，变形方法：常值代换、逆用变形形式、分解与组合、配方与平方等．
[提醒]　(1)常值代换方法：利用同角三角函数关系或tan 45°＝1；
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本规律，二次根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
【对点训练】
1．[2022·南京、盐城市第一次模拟]化简sin2(-α)－sin2(+α)可得(　　)
A．cos(2α+) B．－sin (2α+)
C．cos (2α-) D．sin (2α-)
2． · 等于(　　)
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
3．当π<α<2π时，化简：
考点二　三角函数求值　[综合性]
角度1　给值求值
[例2]　(1)[2022·河南中原名校指导卷]若cos (α－)＝，且α∈(0，π)，则cos 2α＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
(2)[2022·洛阳模拟]已知tan (α+)＝，且<α< .则tan α＝________，sin 2α＝________．
听课笔记：
反思感悟　给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解.
角度2　给角求值
[例3]　[2022·南京、盐城市模拟]计算所得的结果为(　　)
A．1 B． C． D．2
听课笔记：
反思感悟　给角求值问题的基本思路
观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：
(1)特殊角的三角函数值；
(2)正、负相消的项和特殊角的三角函数值；
(3)可约分的项和特殊角的三角函数值等．
角度3　给值求角
[例4]　(1)已知3π≤θ≤4π，且 +＝，则θ＝(　　)
A．或 B．或
C．或 D．或
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
听课笔记：
反思感悟　
1．已知某些角的三角函数值，求相关角的步骤
(1)求相关角的某一个三角函数值；
(2)由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．
2．选取函数时，应遵照的原则
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，若角的范围是(0，)，选正、余弦函数皆可；
(3)已知正、余弦函数值，若角的范围是(0，π)，选余弦函数；
(4)已知正、余弦函数值，若角的范围是(-，)，选正弦函数．
【对点训练】
1．[2022·山东济南长清月考]若＝sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)
A． B． C．－ D．－
2．[2022·山东烟台三中月考]已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈(－，)，则α＋β＝________．
考点三　三角恒等变换的简单应用　[应用性]
[例5]　
如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
听课笔记：
反思感悟　利用三角恒等变换解决实际问题的思路
(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．
(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题．
[提醒]　注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段．
【对点训练】
如
图，矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为________．
微专题16 渗透德育教育　弘扬数学文化　五育并举
[例]　《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将
芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：
①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan ＝ ；④tan (θ+)＝－.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①③　　B．①③④　　C．①④　　D．②③④
解析：设BC＝x尺，则AC＝(x＋1)尺，在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12.
∴tan θ＝，
∴tan θ＝ ＝，
解得tan＝ (负根舍去)．
∵tan θ＝，∴tan (θ+)＝＝－，故正确结论的编号为①③④.
答案：B
名师点评　本题以数学文化为背景，弘扬古代数学对人类的贡献，培养学生的爱国情怀，并提升学生的数学运算能力．
[变式训练]　
我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin (θ- )－cos (θ+)＝(　　)
A． B．
C． D．
第2课时　简单的三角恒等变换
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)原式＝()·(1＋·)
＝·
＝·＝.
解析：(2)方法一　原式＝··cos 2αcos 2β＝×(1－cos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β)＋×(1＋cos 2β＋cos 2α＋cos 2αcos 2β)－cos 2αcos 2β＝cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝.
方法二　原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝.
方法三　原式＝sin2αsin2β＋cos2cos2β－(cos2α－sin2α)(cos2β－sin2β)＝(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β)＝[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)]＝(sin2α＋cos2α)＝.
对点训练
1．解析：方法一　sin2－sin2＝＝－cos cos ＝－(－cos 2α－sin 2α)＝－(cos 2α＋sin 2α)＝－sin .
方法二　sin2－sin2＝＝－cos cos ＝cos cos ＝cos ＝sin
＝sin ＝－sin .
方法三　sin2－sin2＝cos2－sin2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝－sin .
方法四　sin2－sin2＝(cosα－sin α)2－(cos α＋sin α)2＝－(cos2α－sin2α)－sinαcos α＝－sin 2α－cos 2α＝－sin .
答案：B
2．解析：原式＝＝＝cos α.
答案：D
3．解析：原式＝
＝
＝.
∵π<α<2π，∴<<π.
∴cos <0.
∴原式＝＝cos α.
答案：cos α
考点二
例2　解析：(1)∵cos (α－)＝，
∴cos (2α－)＝－.
∵0<α<π，∴－<α－<，
又cos (α－)＝>0，
∴－<α－<，∴0<α<，∴－<2α－<π，
又cos ＝－<0，
∴2α－∈，sin (2α－)＝，
∴cos 2α＝cos [(2α－)＋]＝－＝－.
(2)因为tan ＝即＝，
解得tan α＝－.
又因为<α<，
所以sin 2α＝＝
＝＝－.
答案：(1)B　(2)－　－
例3　解析：
＝
＝＝＝.
答案：C
例4　解析：(1)因为3π≤θ≤4π，所以≤2π.因为cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2，所以＝＝cos －sin ＝cos ＝.所以cos ＝.因为≤2π，所以，所以＝或＝，所以θ＝或.
解析：(2)由题意可知tan α＝tan ＝＝＝>0，且0<α<π，所以0<α<.又因为tan 2α＝＝＝>0，所以0<2α<，所以tan(2α－β)＝＝＝1.因为tan β＝－<0，所以<β<π，所以－π<2α－β<0，所以2α－β＝－.
答案：(1)D　(2)－
对点训练
1．解析：方法一　∵＝sin 2θ，
∴＝2sin (＋θ)＝sin 2θ，
∴2sin (＋θ)＝－cos (2θ＋)，
∴2sin2(θ＋)－2sin(θ＋)－＝0，
得sin (θ＋)＝－，
∴sin 2θ＝－cos (＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1＝－.
方法二　∵＝sin 2θ，
∴＝sin 2θ，
∴2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
∴3sin22θ－4sin2θ－4＝0，得sin 2θ＝－.
答案：C
2．解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，∴tan (α＋β)＝1.又α，β∈(－)，tan α＋tan β＝－3a<0，tan αtan β＝3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈(－，0)，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.
答案：－
考点三
例5　解析：连接OB，设∠AOB＝θ，
则AB＝OB sin θ＝20sin θ，OA＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
对点训练
解析：连接BP，设∠CBP＝α，其中0≤α<，则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α，周长C＝6－2(sin α＋cos α)，
因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α，
所以要让周长最小，即让(sin α＋cos α)最大，即sin 2α最大，因为sin 2α在α＝时取到最大值1，
所以当α＝时，周长有最小值6－2.
答案：6－2
微专题16　渗透德育教育　弘扬数学文化
变式训练
　解析：方法一　由已知得直角三角形中较小的锐角θ对边的长为10sin θ，所以(2＋10sin θ)2＋(10sin θ)2＝102.因为0方法二　由已知得直角三角形中与较小的锐角θ相邻的直角边的长为10cos θ，所以直角三角形中较小的锐角θ对边的长为10cos θ－2.所以(10cos θ－2)2＋(10cos θ)2＝102.因为0答案：D

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