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第三节　三角恒等变换
·最新考纲·
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换．
·考向预测·
考情分析：两角和、差及倍角公式的正用、逆用和变形用仍将是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过三角恒等变换化简、求值考查逻辑推理及数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的余弦 cos (α＋β) ＝________________ C(α＋β) α，β∈R
两角差的余弦 cos (α－β) ＝cos αcos β＋sin αsin β C(α－β)
两角和的正弦 sin (α＋β) ＝________________ S(α＋β) α，β∈R
两角差的正弦 sin (α－β) ＝sin αcos β－cos αsin β S(α－β)
两角和的正切 tan (α＋β) ＝________________ T(α＋β) α，β，α＋β≠
两角差的正切 tan (α－β) ＝________________ T(α－β) α，β，α－β≠
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S2α sin 2α＝____________
C2α cos 2α＝____________
T2α tan 2α＝____________
3.与二倍角有关的公式变形
(1)2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos2α，＝tan2α.
(2)1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2.
(3)降幂公式：
cos2α＝________________．
sin2α＝________________．
二、必明5个常用结论
1．公式的常用变式：tanα±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)；tan α·tan β＝1－＝－1.
2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝；1－sin α＝.
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝＝(α＋2β)－(α－β)；
α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(a)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)可以化为f(a)＝sin (α＋φ)或f(a)＝cos (α－φ).
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
(二)教材改编
2．[必修4·P130例4改编]sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．－ B． C．－ D．
3．[必修4·P127练习 T2改编]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin 等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(三)易错易混
4．(未注意角的范围致错)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan (π－2α)＝________．
5．(不会合理配角致错)若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝________．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]cos2－cos2＝(　　)
A． B．
C． D．
第三节　三角恒等变换
积累必备知识
一、
1．cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
2．2sin αcos α　cos2α－sin2α　
3．　
三、
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√
2．解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝ .
答案：D
3．解析：根据题意可得sin α＝－
＝－ ，
则sin(α+ )＝sin α＋cos α
＝ ×(- )＝－ .
答案：C
4．解析：∵sin 2α＝－sin α，α∈(，π)，
∴cos α＝－ ，α＝π.
∴tan (π－2α)＝tan (π- π)＝tan (- )＝－.
答案：－
5．解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝
＝ ＝ .
答案：
6．解析：因为cos ＝sin ( - )＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos(2×)＝cos ＝ .
答案：D

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