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第四节　三角函数的图象与性质
·最新考纲·
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)．
3．理解正切函数在区间(- ，)内的单调性．
·考向预测·
考情分析：三角函数的值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性都将是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过三角函数图象考查直观想象的核心素养；通过三角函数性质考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)y＝sin x的五个关键点是(0，0)，(，1)，(π，0)，________，(2π，0)．
(2)y＝cos x的五个关键点是(0，1)，(，0)，________，(，0)，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图 象
定义 域 x∈R x∈R {x|x∈R且x≠ ＋kπ，k∈Z}
值域 ____________ ____________ __________
单调 性 ______________上递增，k∈Z； ______________上递减，k∈Z ______________上递增，k∈Z； ______________上递减，k∈Z ____________上递增，k∈Z
最 值 x＝__________时，ymax＝1(k∈Z)； x＝__________时，ymin＝－1(k∈Z) x＝________时， ymax＝1(k∈Z)； x＝________时，ymin＝－1(k∈Z) 无最值
奇偶性 ________ ________ ________
对称性 对称中心： 对称中心： ____________ 对称中心： __________
对称轴l： __________________ 对称轴l： ____________ 无
周期性 ____________ ____________ ____________
二、必明3个常用结论
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)．
(3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z).
3．求周期的三种方法
(1)利用周期函数的定义：f(x＋T)＝f(x)．
(2)利用公式：y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)利用图象：图象重复的x轴上一段的长度．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　　)
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)
(4)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(5)y＝sin |x|是偶函数．(　　)
(6)若sin x> ，则x>.(　　)
(二)教材改编
2．[必修4·P40练习T4改编]下列关于函数y＝4cos x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在及上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在及上是增函数，在上是减函数
3．[必修4·P38例3改编]函数y＝3－2cos (x+ )的最大值为________，此时x＝________．
(三)易错易混
4．(忽视区间的限制)函数y＝3sin (2x - )(x∈)的值域是________．
5．(忽视函数的定义域)函数y＝的值域是________．
(四)走进高考
6．[2021·新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f(x)＝7sin (x- )单调递增的区间是(　　)
A．(0，) B．(，π)
C．(π， ) D．(，2π)
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　三角函数的定义域　[基础性]
1．[2022·陕西西安市调研]函数y＝tan ( - x)的定义域为(　　)
A．{x|x≠kπ-，k∈Z}
B．{x|x≠2kπ-，k∈Z}
C．{x|x≠kπ+，k∈Z}
D．{x|x≠2kπ+，k∈Z}
2．[2022·湖北荆州市检测]函数y＝ (- ≤x≤)的定义域是(　　)
A. [ - , 0 ] B．[- ]
C．[- , 0 ) D [- )
考点二　三角函数的单调性　[综合性]
角度1　三角函数的单调性(单调区间)
[例1]　(1)函数y＝sin ( - 2x)的单调递减区间为________；
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
听课笔记：
反思感悟　求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[注意]　要注意求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.
角度2　利用三角函数的单调性求值域(或最值)
[例2]　(1)y＝2sin ( - )(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________．
听课笔记：
反思感悟　求三角函数的值域(最值)的方法
(1)直接法：形如y＝a sin x＋k或y＝a cos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出．
(2)化一法：形如y＝a sin x＋b cos x＋k的三角函数，化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．
(3)换元法：形如y＝a sin2x＋b sinx＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．换元后要注意标出t的取值范围．
角度3　已知三角函数的单调性求参数
[例3]　(1)[2022·商丘市中学测试]已知函数f(x)＝sin (ωx+)(ω>0)在(0，)上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A．(0，2] B．(0，2)
C．(0，3] D．(0，3)
(2)[2022·云南昆明模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx-)(ω>0)，x∈的值域是，则ω的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[]
C．[3,] D．[ ]
听课笔记：
反思感悟　已知函数单调性求参数
(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集；
(2)抓住两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝2sin ( x+ )，则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为(　　)
A．[-] B．[-1, ]
C．[－1，1] D．[- , ]
2．[2022·任丘市第一中学测试]函数f(x)＝2cos2x－3cosx，其中x∈的值域为(　　)
A．[- , + ) B [- , - 1 ]
C．[1- , -1 ] D．[- , 1- ]
3．[2022·千阳县中学测试]函数f(x)＝2cos (ωx+)(ω>0)在( ，)上单调递减，则ω的最大值是(　　)
A．1 B．
C． D．4
考点三　三角函数的性质　[综合性、应用性]
角度1　三角函数的周期性
[例4]　(1)[2022·哈尔滨市检测]函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为________．
(2)[2022·张家口市宣化模拟]函数f(x)＝|sinx＋cos x|＋|sin x－cos x|的最小正周期T＝________．
(3)在函数①y＝cos |2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos (2x+)；④y＝tan (2x - )中，最小正周期为π的所有函数为______________．
听课笔记：
反思感悟　正弦型或余弦型函数图象中与最小正周期T有关的一些结论
(1)任意相邻的两个最高点(最低点)的横坐标相差T.
(2)任意相邻的一个最高点和一个最低点的横坐标相差 .
(3)任意相邻的两个对称中心的距离为.
(4)任意一个最高点(最低点)与相邻的对称中心的横坐标相差.
角度2　三角函数的对称性、奇偶性
[例5]　(1)当x＝ 时，函数f(x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f(- x)是(　　)
A．奇函数且图象关于直线x＝ 对称
B．偶函数且图象关于直线x＝对称
C．奇函数且图象关于点(，0)对称
D．偶函数且图象关于点(，0)对称
(2)已知函数f(x)＝sin x＋，则(　　)
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线x＝π对称
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
听课笔记：
反思感悟　求三角函数对称轴方程与对称中心坐标的方法
(1)求f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝ ＋kπ(k∈Z)整理；求对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；
(2)求f(x)＝A cos (ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，求对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；
(3)求f(x)＝A tan (ωx＋φ)图象的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ (k∈Z)，求x即可.
【对点训练】
1．[2022·河南洛阳市检测]已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)
A．关于点( ，0)对称　B．关于直线x＝ 对称
C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝ 对称
2．已知函数f(x)＝sin x cos x，则(　　)
A．f(x)的最小正周期是2π，最大值是1
B．f(x)的最小正周期是π，最大值是
C．f(x)的最小正周期是2π，最大值是
D．f(x)的最小正周期是π，最大值是1
微专题17 巧取特值　有效求参　思想方法
[例]　已知ω> ，函数f(x)＝sin (2ωx+ )在区间( ， )内没有最值，则ω的取值范围是(　　)
A．[ , ] B．[ , ]
C．[ , ] D．[ , 1 ]
解析：方法一　当f(x)取得最值时，2ωx＋ ＝＋kπ，k∈Z，解得x＝ + ，k∈Z.
依题意得x＝ + (，)，k∈Z.
令 + ≤，k∈Z，解得ω≥＋k，k∈Z，当k＝0时，ω≥.
令 + ≥，k∈Z，解得ω≤+，k∈Z，又ω>，所以当k＝1时，ω≤.
所以ω的取值范围是.故选C.
方法二　根据选项知，当ω＝时，
f(x)＝sin ( x+).
因为x∈(，)，所以x+∈(，)，
当x+＝时f(x)取得最值，不符合题意，排除A.
当ω＝ 时，f(x)＝sin (x+)，因为x∈( ，)，所以x+∈(，π)，函数没有最值，符合题意，B，D均未包含ω＝，不符合题意，排除B，D.故选C.
答案：C
名师点评　常见的求参数范围的选择题，常常可以通过由题目选项中的范围取特殊值验证题目条件，或者由题目中的任意性取值检验选项的方式排除错误选项求解．
[变式训练]　[2022·湖北武汉调研]已知函数f(x)＝2sin (ωx+ )在区间(0， )上单调递增，则ω的最大值为(　　)
A． B．1
C．2 D．4
第四节　三角函数的图象与性质
积累必备知识
一、
1．(1)　(2)(π，－1)
2．　{y|－1≤y≤1}　{y|－1≤y≤1}　R　[－＋2kπ，＋2kπ]　[＋2kπ，＋2kπ]　[(2k－1)π，2kπ]　[2kπ，(2k＋1)π]　(－＋kπ，＋kπ)　＋2kπ　－＋2kπ　2kπ　π＋2kπ　奇函数　偶函数　奇函数　(kπ，0)，k∈Z　，k∈Z　，k∈Z　x＝kπ＋，k∈Z　x＝kπ，k∈Z　2π　2π　π
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×
2．解析：y＝4cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
答案：A
3．解析：函数y＝3－2cos 的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
答案：5　＋2kπ(k∈Z)
4．解析：当x∈时，2x－∈.故sin ∈，故3sin ∈，即y＝3sin 的值域为.
答案：
5．解析：因为函数y＝＝cos x的定义域为{x|x≠kπ＋且x≠kπ，k∈Z}．所以该函数的值域为(－1，0)
答案：(－1，0)
6．解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为，
对于函数f＝7sin ，由2kπ－解得2kπ－取k＝0，可得函数f的一个单调递增区间为，
则 ，(，π) ，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f的一个单调递增区间为，
?(π，) 且 (π，) ，(，2π) ，CD选项均不满足条件．
答案：A
提升关键能力
考点一
1．解析：由－x≠mπ＋(m∈Z) x≠－mπ－(m∈Z)，因为m∈Z，所以－m∈Z，即x≠kπ－，k∈Z.
答案：A
2．解析：由题意，得
，
则，即，∴x∈.
答案：A
考点二
例1　解析：(1)函数y＝sin ＝－sin 的单调递减区间是函数y＝sin 的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为，k∈Z.
(2)作出函数y＝|tan x|的图象，如图．
观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.
答案：(1)，k∈Z
(2)，k∈Z　，k∈Z
例2　解析：(1)因为0≤x≤9，所以－，所以－≤sin ≤1.所以－≤y≤2，所以ymax＋ymin＝2－.
(2)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cos x，则sin x cos x＝，所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.所以函数的值域为.
答案：(1)A　(2)
例3　解析：(1)当x∈时，ωx＋∈，
因为函数f(x)＝sin 在上单调递增，
所以，解得0<ω≤2，ω的取值范围为(0，2].
(2)方法一　因为x∈，ω>0，所以ωx－∈，又当x∈时，f(x)∈，所以，解得≤ω≤3.
方法二　当ω＝2时，f(x)＝sin .因为x∈，所以2x－∈，所以sin ∈，满足题意，故排除A，C，D项．
答案：(1)A　(2)B
对点训练
1．解析：令2kπ－x＋≤2kπ＋，k∈Z，得x∈，k∈Z，又x∈[－1，1]，所以f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为.
答案：B
2．解析：∵cos x∈令t＝cos x，则原函数为f(t)＝2t2－3t，t∈
该函数对称轴为t＝∈，开口向上，故f(t)min＝f＝2×－3×＝－，
又f()＝2×()2－3×＝1－，f(1)＝2×12－3×1＝－1，
∴f(x)的值域为.
答案：B
3．解析：因为函数f(x)＝2cos (ω>0)在上单调递减，
所以＝T＝，所以0<ω≤4.
所以x∈，ωx＋∈
因为y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，
所以，解得－＋4k≤ω≤1＋k，k∈Z，
由于－＋4k≤1＋k，k∈Z，故k≤，k∈Z.
所以当k＝1时，得ω的最大区间：
≤ω≤，故ω的最大值是.
答案：C
考点三
例4　解析：(1)因为f(x)＝cos 2x，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f＝＋
＝|cos x－sin x|＋|cos x＋sin x|＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|＝f(x)，∴f(x)是以为周期的函数，
∵当x∈时，f(x)＝sin x＋cos x＋cos x－sin x＝2cos x，函数单调递减，
当x∈，f(x)＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝2sin x，函数单调递增，
∴在内不存在小于的周期，∴是f(x)的最小正周期．
(3)①y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；③y＝cos 的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 的最小正周期T＝.
答案：(1)π　(2)　(3)①②③
例5　解析：(1)因为当x＝时，函数f(x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝A sin (A>0)，
所以y＝f＝A sin (－x－)＝－A cos x，所以函数y＝f为偶函数且图象关于点对称．
解析：(2)由题意得sin x∈[－1，0)对于A，当sin x∈(0，1]时，f(x)＝sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝1时取等号；当sin x∈[－1，0)时，f(x)＝sin x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当sin x＝－1时取等号，所以A错误；
对于B，f(－x)＝sin (－x)＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误；
对于C，f(x＋π)＝sin (x＋π)＋＝－，f(π－x)＝sin (π－x)＋＝sin x＋，则f(x＋π)≠f(π－x)，f(x)的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误；
对于D，f＝sin ＝cos x＋，f＝sin ＝cos x＋，所以f＝f，f(x)的图象关于直线x＝对称，所以D正确．
答案：(1)D　(2)D
对点训练
1．解析：∵函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin (ω>0)的最小正周期为＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝sin
令x＝，求得f(x)＝sin ≠0，且f(x)不是最值，故A、D错误；
令x＝，求得f(x)＝，为最大值，故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确，C错误．
答案：B
2．解析：函数f(x)＝sin x cos x＝sin 2x，故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，当2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值.
答案：B
微专题　巧取特值　有效求参
变式训练
　解析：方法一　因为x∈，所以ωx＋∈，因为f(x)在上单调递增，所以＋，所以ω≤2，即ω的最大值为2.
方法二　将选项逐个代入函数f(x)进行验证，D项不满足条件，A，B，C项满足条件f(x)在上单调递增．所以ω的最大值为2.
答案：C

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