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第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
·最新考纲·
1．了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin (ωx＋φ)的图象．
2．了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
3．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
·考向预测·
考情分析：y＝A sin (ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过运用函数图象变换及应用考查直观想象的核心素养；通过三角函数模型应用，考查数学建模的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤
　　　
2．用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．
x －
ωx＋φ ____ ____ ____ ____ ____
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.简谐振动y＝A sin (ωx＋φ)中的有关物理量
y＝A sin (ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)， x∈[0，＋∞)表 示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝____ f＝______ ＝______ ωx＋φ φ
二、必明2个常用结论
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(2)函数y＝sin 的图象是由y＝sin 的图象向右平移个单位得到的．(　　)
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)
(4)函数y＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(　　)
(5)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(二)教材改编
2．[选修4·P55练习T2改编]为了得到函数y＝2sin 的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
3．[选修4·P56练习T3改编]已知函数f(x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，则该函数的振幅为________，周期T为________，频率为________，初相φ为________．
(三)易错易混
4．(搞错平移的量与ω有关)为了得到函数y＝2sin 的图象，可以将函数y＝2sin 5x的图象向________平移________个单位长度．
5．(搞不清不同名函数的平移)要得到函数y＝cos 2x的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　五点法作图及图象变换　[基础型、综合型]
[例1]　已知函数f(x)＝2sin .
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
听课笔记：
一题多变
1．(变条件，变结论)将例1中函数f(x)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件，变结论)将例1中函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
反思感悟　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变 换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[提醒]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
【对点训练】
1．[2022·江西抚州市测试]将函数y＝2sin 的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2cos 　　B．y＝－2cos
C．y＝－2sin D．y＝2sin
2．[2022·江苏连云港市测试]要得到函数f(x)＝sin 的图象，则(　　)
A．可将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位得到
B．可将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到
C．可将函数y＝cos 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数y＝sin 的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
考点二　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式　[基础性、综合性]
[例2]　(1)
[2022·安徽省泗县测试]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．若方程f(x)＝2m在上有两个不相等的实数根，则实数m∈(－1，－]
D．将函数f(x)的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
(2)
函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．
听课笔记：
反思感悟　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
【对点训练】
1．[2022·郑州测试]
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝sin (x∈R)
B．f(x)＝sin (x∈R)
C．f(x)＝sin (x∈R)
D．f(x)＝sin (x∈R)
2．[2022·江西省名校高三教学质量检测]
已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
考点三　三角函数图象的综合应用　[综合性、应用性]
角度1　三角函数模型的应用
[例3]　如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有(　　)
A．ω＝，A＝3　　　　B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
听课笔记：
反思感悟　三角函数模型的实际应用类型及解题关键
(1)已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系．
(2)函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
角度2　函数零点(方程根)问题
[例4]　[2022·哈尔滨六中模拟]设函数f(x)＝sin (2x＋)，x∈，若方程f(x)＝a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1A． B．
C． D．
听课笔记：
反思感悟　三角函数的根(零点)个数问题可转化为两个函数图象的交点问题.
角度3　三角函数图象性质的综合
[例5]　设函数f(x)＝sin (ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
反思感悟　先将y＝f(x)化为y＝A sin (ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝A sin (ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
【对点训练】
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　　　B．6 C．8　　　D．10
2．[2022·湖北联考]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)cos (ωx＋φ)＋cos2(ωx＋φ)－(ω>0，0≤φ≤)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，则f(x)的一个单调递增区间为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin 2x－cos 2x的图象经过怎样的平移变换得到；
(3)若方程f(x)＝m在x∈上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
微专题18 三角函数应用问题　数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学知识与方法构建数学模型解决问题的素养．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解结论、验证结果并改进模型，最终解决实际问题．
[例]　为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的坐标为P(x，y)．若针尖的初始坐标为P0()，当秒针从过点P0的位置(此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t(单位：秒)的函数关系为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：方法一　t时刻，秒针针尖经过的圆弧对应的角度为×2π＝，以x轴正半轴为始边，P(x，y)所在射线为终边，得P0对应的角度为，则P(x，y)对应的角度为，由P0()可知P(x，y)在单位圆上，所以t时刻P(x，y)的纵坐标y＝sin ，故选C.
方法二　t＝0时，纵坐标y＝，排除B，D；t＝10时，观察图形，此时纵坐标y≠1，排除A.选C.
答案：C
名师点评　求解三角函数中的数学建模问题需读懂题意，并能根据示意图，将要求解的问题进行转化，从而成功构建桥梁，如本题，根据秒针针尖经过的圆弧对应的角度与起始位置对应的角度，借助单位圆，构建三角函数模型，即可顺利破解；若能利用选项的特征，选取特殊时刻进行排除，可快速求解．
[变式训练]　某市对中心公园进行二期扩建，拟建该市最大的摩天轮建筑．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为(　　)
A．75米　　B．85米　　C．100米　　D．110米
第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
积累必备知识
一、
1．|φ|　　　 　A　A
2．0　　π　　2π
3．　　
三、
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．解析：因为y＝2sin 2x＝2sin[2(x + ) - ] ，所以将y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可得y＝2sin (2x- )的图象．
答案：A
3．解析：振幅A＝2，T＝ ＝6，f＝，
因为图象过点(0，1)，所以1＝2sin φ，
所以sin φ＝ ，又|φ|< ，所以φ＝ .
答案：2　6　　
4．解析：y＝2sin (5x - )＝2sin 5(x - )，故将函数y＝2sin 5x的图象向右平移个单位长度即可得到y＝2sin (5x -)的图象．
答案：右　
5．解析：要得到函数f(x)＝cos 2x＝sin (2x+ )的图象，只需将函数g(x)＝sin 2x的图象向左平移 个单位长度．
答案：A
6．解析：将函数y＝sin (x-)的图象向左平移个单位长度可得函数y＝sin[ (x+ ) -] ＝sin (x+ )的图象，再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝sin ( + )，故选B.
答案：B
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)因为x∈[0，π]，所以2x＋ ∈[ , ] .
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象如图所示．
解析：(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x+)的图象，再将y＝sin (x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数y＝sin (2x+)图象，再将y＝sin (2x+)上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin (2x+)的图象．
一题多变
1．解析：函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后得y＝2sin[2(x + ) + ] ＝2sin (2x+)的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)得g(x)＝2sin (x+)的图象，即g(x)＝2sin (x+).
答案：2sin (x+)
2．解析：由已知可得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x-m) + ] ＝2sin [2x – (2m - ) ] 是偶函数，
所以2m－＝ ＋kπ，k∈Z，得m＝ + ，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为 .
对点训练
1．解析：由题意知：图象平移＝个单位，
∴f(x)＝2sin ＝2cos .
答案：A
2．解析：y＝cos 2x＝sin 变换后y＝sin ＝sin ≠f(x)，故A错误；y＝sin 2x变换后y＝sin 2＝sin ≠f(x)，故B错误；y＝cos 变换后y＝cos ＝sin ＝f(x)，故C正确；y＝sin 变换后y＝sin ≠f(x)，故D错误．
答案：C
考点二
例2　解析：(1)根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，
可得A＝2，·＝，∴ω＝2.再根据五点法作图，可得2·＋φ＝π，
∴φ＝，f(x)＝2sin .排除A；排除B；
在上，2x＋∈，方程f(x)＝2m在上有两个不相等的实数根，则实数m∈，故C正确；将函数f(x)的图象向左平移个单位，可得y＝2sin 的图象，故所得函数为非奇非偶函数，故D错误．
解析：(2)结合题图知函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π；由T＝π得ω＝2，结合题图知A＝，所以f(x)＝sin (2x＋φ)，因为在f(x)的图象上，所以0＝sin ，所以φ＋＝π＋2kπ(k∈Z)，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin .
答案：(1)C　(2)sin
对点训练
1．解析：依题意，设g(x)＝sin (ωx＋θ)，其中ω>0，|θ|<，则有T＝＝4()＝π，ω＝2，g＝sin＝1，则θ＝，因此g(x)＝sin ，f(x)＝g＝sin ＝sin (2x－)，故选A.
答案：A
2．解析：方法一　由题图知，函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的最小正周期T＝π，所以ω＝2.将点代入f(x)＝cos (2x＋φ)，得1＝cos (2×＋φ)，得＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos .令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
方法二　由题图知，函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的最小正周期T＝π，故排除A，C.又函数f(x)在上单调递减，所以函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的单调递减区间为(k∈Z).
答案：D
考点三
例3　解析：已知水轮每分钟旋转4圈，所以T＝＝15＝，所以ω＝，又因为半径为3 m，水轮中心O距水面2 m，所以最高点距水面5 m，可得A＝3.
答案：A
例4　解析：由题意x∈，则2x＋∈，画出函数的大致图象，如图所示，
由图得，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，由2x＋＝得x＝，由2x＋＝得x＝，由图知，点(x1，0)与点(x2，0)关于直线x＝对称，点(x2，0)与点(x3，0)关于直线x＝对称，∴x1＋x2＝，π≤x3<，则≤x1＋x2＋x3<，即x1＋x2＋x3的取值范围是，故选B.
答案：B
例5　解析：已知f(x)＝sin (ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b]上，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<<<，所以f(x)在单调递增，所以③正确．故选D.
答案：D
对点训练
1．解析：由图象可知，ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8.
答案：C
2．解析：f(x)＝sin (2ωx＋2φ)＋cos (2ωx＋2φ)＝sin ，
∵函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，∴＝，
∴ω＝1，将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，
∴g(x)＝sin ＝sin (2x＋2φ－)，2φ－＝kπ(k∈Z)，∴φ＝(k∈Z)，又0≤φ≤，∴φ＝，∴f(x)＝sin ，
令2x＋∈(k∈Z)，得x∈[kπ－，kπ＋](k∈Z)，
取k＝0，得x∈，故选C.
答案：C
3．解析：(1)由题图可知，A＝2，
最小正周期T＝4＝π，
所以＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)．
因为f＝0，
所以sin ＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin .
解析：(2)y＝sin 2x－cos 2x
＝2sin
＝2sin ，
故将函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象．
(3)当－≤x≤0时，－≤2x＋，故－2≤f(x)≤.若方程f(x)＝m在x∈上有两个不相等的实数根，则曲线y＝f(x)与直线y＝m在x∈上有2个交点，结合图形，易知－2微专题　三角函数应用问题
变式训练
　解析：设该人距地面高度与时间t的关系f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈[0，2π))，由题意可知：A＝50，B＝110－50＝60，T＝＝21，所以ω＝，
即f(t)＝50sin ＋60，
又因为f(0)＝110－100＝10，即sin φ＝－1，故φ＝，
所以f(t)＝50sin ＋60，
所以f(7)＝50sin ＋60＝85.
答案：B

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