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阅卷案例 思维导图 四字解题
(12分)(2021·新高考卷Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C．(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC． 读 BDsin∠ABC＝asin C AD＝2DC，求cos∠ABC
想 正弦定理 ①余弦定理的推论；②∠ADB与∠BDC互补或＝2.
算 BD＝b 算a，b，c间的数量关系
悟 转化与化归 方程思想
思维拆解 规范答题
第1步：变式利用正弦定理变形，化角为边.第2步：计算借助余弦定理的推论分别计算cos∠BDA及cos∠BDC．第3步：建联由几何关系得出数量关系，从而解方程得a、c的关系.第4步：求值由数量关系，借助余弦定理求得cos∠ABC，注意验证三角函数的有界性. [解]　(1)在△ABC中，由正弦定理可知＝，∴＝，…………………………1分又BDsin∠ABC＝asin C，∴BD＝＝＝＝b. ………………………………………………………4分(2)法一：(借助余弦定理)∵AD＝2DC，∴AD＝b，DC＝b. ………………………………………5分在△ABC中，由余弦定理的推论知，cos∠BDA＝＝eq \f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b))－c2,2b·\f(2,3)b)＝，………6分在△CBD中，由余弦定理的推论知，cos∠BDC＝＝eq \f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b))－a2,2b·\f(1,3)b)＝，……7分∵∠BDA＋∠BDC＝π，∴cos∠BDA＋cos∠BDC＝0，即＋＝0，…………………………8分得11b2＝3c2＋6a2，……………………………………9分∵b2＝ac，∴3c2－11ac＋6a2＝0，∴c＝3a或c＝a. ………………………………………………………10分在△ABC中，由余弦定理的推论知，cos∠ABC＝＝，当c＝3a时，cos∠ABC＝＞1(舍)；当c＝a时，cos∠ABC＝；综上所述，cos∠ABC＝.……………………………12分法二：(借助向量)由AD＝2DC可知＝2，……5分∴＝＋.……………………………………6分两边平方得2＝2＋2＋·，得b2＝a2＋c2＋accos∠ABC，①…………………7分又在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，②………………………………………8分由①＋×②得b2＋b2＝a2＋c2＋a2＋c2，即11b2＝6a2＋3c2. ………………………………………………9分以下同法一.
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