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　数列不等式放缩的基本类型
放缩法证明数列不等式是数列中的难点之一，是高考命题的延伸点.放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！
【例1】　求证：＋＋＋…＋＜1(n∈N*)．
[证明]　不等式左边可用等比数列前n项和公式求和．
左边＝＝1－＜1.
【变式】　求证：＋＋＋…＋＜1(n∈N*)．
[分析]　左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和．
[证明]　因为＜，
所以，左边＜＋＋＋…＋
＝＝1－＜1.
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项an放缩后再求和.
【例2】　求证：＋＋＋…＋＜(n∈N*)．
[分析]　左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩．
[证明]　∵＝，
∴左边＝＝＜.
【变式1】　求证：1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．
[分析]　左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和．
[证明]　∵＜＝－(n≥2)，
∴左边＜1＋＋＋…＋
＝1＋1－＜2(n≥2)，
当n＝1时，不等式显然也成立．
【变式2】　求证：1＋＋＋…＋＜(n∈N*)．
[分析]　变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正．
[证明]　思路一：将变式1的通项从第三项开始放缩．
＜＝－(n≥3)，
左边＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜(n≥3)，
当n＝1,2时，不等式显然也成立．
思路二：将通项放得比变式1更小一点．
＜＝(n≥2)，
左边＜1＋＝1＋＜1＋＝(n≥2)，
当n＝1时，不等式显然也成立．
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小.
常用放缩：
1
2
3
4 ＝＝
.
1．(2021·青岛二中期中)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1，n∈N*，Sn是数列的前n项和，则下列结论中正确的是(　　)
①S2n－1≤(2n－1)·；
②S2n≥Sn＋；
③S2n≥－＋Sn；
④存在常数M，使得Sn≤M.
A．①② B．②③
C．①③④ D．②③④
B　[易知，a2＝2，由an＋an＋1＝2n＋1，an＋1＋an＋2＝2n＋3，两式相减，得an＋2－an＝2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1＝1，可得数列的奇数项为1,3,5，…，
由a2＝2，可得其偶数项为2,4,6，…，故an＝n.
所以Sn＝1＋＋＋＋…＋.
对于①，当n＝2时，S3＝1＋＋＝，
右式＝3×＝，因此左式＞右式，故①错误；
对于②，S2n－Sn＝＋＋＋…＋≥n×＝，当n＝1时等号成立，故②正确；
对于③，∵S2n－Sn＝1＋＋＋…＋，2n＞2n－1，∴＞，
∴1＋＋＋…＋≥1＋＋＋…＋
＝－，故③正确；
对于④，由②知，S2n≥Sn＋，S4n≥S2n＋≥Sn＋×2…，S2mn≥Sn＋，
∵无上界，∴{Sn}无上界，故④错误．故选B．]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－＝2.
(1)求数列{an}的通项公式和Sn；
(2)记bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜.
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则－＝2，即－＝2，解得d＝2.
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
Sn＝n＋×2＝n2.
(2)证明：当n＝1时，Tn＝1＜.
当n≥2时，bn＝＝＝＜＝，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＜1＋＝1＋＜1＋＝.
综上可知，Tn＜.
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