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　立体几何中的截面问题
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体 包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、正方体、长方体等等 ，得到的平面图形叫做截面.2018年全国卷Ⅰ，2020新高考卷Ⅰ都对此点做了考查.在日常学习中，熟知立体几何理论体系，提升空间想象能力是解答此类问题的关键.
【例】　(1)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论，其中正确的是(　　)
①截面形状可能为正三角形；
②截面形状可能为正方形；
③截面形状不可能是正五边形；
④截面面积最大值为3.
A．①② B．②③
C．①③④ D．②③④
(2)(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
(3)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，作过E，F，G三点的截面．
(1)C　(2)　[(1)如图，显然①③正确，②错误，下面说明④成立，
如图，当截面是正六边形时，面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))))＝，
所以S＝2××(2＋)×＝3，
故④正确．故选C．
(2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝.]
(3)[解]　作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M.
②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K.
③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H.
④连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面．
截面形状及相应面积的求法
(1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；
(2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
(3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等；
(4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值．
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥P ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，点E为线段PC的中点，过点E作该三棱锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为(　　)
A．6π B．8π
C．10π D．12π
A　[根据题意，在三棱锥P ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且满足：PA＝3，PB＝4，PC＝5，
设三棱锥体的外接球半径为R，
故4R2＝32＋42＋52，解得R2＝.
在所有过点E的截面里，当截面过球心O时，截面圆的面积最大，此时半径为R，在所有过点E的截面里，当OE与截面垂直时，截面圆的面积最小，此时截面的圆心为E，由于OE＝＝，
所以最小的截面圆的半径为
r＝＝＝，
所以最小的截面圆的面积S＝π·＝π，
故截面圆的面积的范围为.故选A．]
2.如图，四面体A BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF∥BC，FG∥AD，则下列结论错误的是(　　)
A．四边形EFGH的周长为定值
B．四边形EFGH的面积为定值
C．四边形EFGH为矩形
D．四边形EFGH的面积有最大值1
B　[因为EF∥BC，EF 平面BCD，所以EF∥平面BCD，又平面EFGH∩平面BDC＝GH，所以EF∥GH，
同理FG∥EH，所以四边形EFGH为平行四边形，又AD⊥BC，所以四边形EFGH为矩形．
由相似三角形的性质得＝，＝，
所以＋＝＋，BC＝AD＝2，
所以EF＋FG＝2，所以四边形EFGH的周长为定值4，S四边形EFGH＝EF×FG≤＝1，
所以四边形EFGH的面积有最大值1.故选B．]
3.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题错误的是(　　)
A．当0B．当CQ＝时，S为等腰梯形
C．当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝
D．当D　[当Q为中点，即CQ＝时，截面APQD1为等腰梯形，故B正确；
当0当CQ＝时，如图，延长AP交DC的延长线于M，连接MQ，并延长交C1D1于R，交DD1的延长线于N，
∵CQ＝，CM＝1，∴DN＝×2＝，
∴D1N＝，∴＝，
∴＝，∴D1R＝，
∴C1R＝，故C正确；
当4.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和(＋)等于________．
　[如题图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即平面AA1B1B、平面ABCD和平面AA1D1D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即平面BB1C1C、平面CC1D1D和面A1B1C1D1上．
在平面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE＝2，AA1＝，则∠A1AE＝.
同理∠BAF＝，所以∠EAF＝，
故弧EF的长为2×＝，而这样的弧共有三条．
在平面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG＝，所以弧FG的长为：1×＝.
于是，所得的曲线长为GF＋EF＝＋＝.
5．圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为θ，求过此圆锥的母线的截面面积最大值．
[解]　设△VCD是过圆锥母线的异于轴截面的任意截面，其顶角∠CVD＝α，轴截面VAB的面积S＝l2sin θ.截面VCD的面积S′＝l2sin α.在△VAB和△VCD中，CD＜AB，所以α＜θ.
(1)当0＜θ≤时，0＜α＜θ≤，sin α＜sin θ S′＜S，此时过圆锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝l2sin θ.
(2)当＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝l2.
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范围有关，
当0＜θ≤时，轴截面面积最大，最大值为S＝l2sin θ.
当＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝l2.
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