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　立体几何的动态问题
立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题，解答此类问题应该动静结合、化动为静，找到相应的几何关系，具体可以有以下几种解决方法：
1 函数法：某些点、线、面的运动，必然导致某些位置关系或一些变量的变化.变量变化时会引发其他变量的变化，从而建立函数关系，将立体几何问题转化为函数问题来解.
2 解析法：我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题，即实现几何问题代数化.因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后，借助向量进行运算和分析，是解决这类问题的常用方法.
3 等价转换法：动和静是相对的，在运动变化过程中，要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素，将一些变化的点、线、面进行合理转换，实现变量与不变量的结合.
类型1　以静制动(旋转问题、投影问题)
【例1】　正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α(如图)，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________．
　[去掉与问题无关的面，将四面体看成是以AB为棱的二面角C AB D(二面角大小一定)，用纸折出这个二面角，不妨将AB置于平面α内，将二面角绕AB转动一周，观察点C，D在平面α上的射影，可以发现点C，D在平面α上的射影始终在AB的射影的中垂线上．
图1　　　　　图2　　　　　　　图3
当CD∥平面α时，四边形ABCD面积最大，为(如图1)当CD⊥平面α时(此时点C(D)到AB的距离即为异面直线AB与CD的距离)，四边形ABC(D)面积最小为(如图2)，转动过程中C，D在平面α上的射影从C，D变化到C′D′(如图3)，故图形面积的取值范围是.]
在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键.
1.如图，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1的中点P的距离的最大值为________．
＋2　[从题图分化出4个点O，A，B1，P，其中△AOB1为直角三角形，固定A，B1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，
从而OP≤OQ＋QP＝AB1＋2＝＋2，
当且仅当OQ⊥AB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面α成45°角．]
类型2　动点轨迹问题
【例2】　如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．
　[如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，
可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，同理可得C1H∥CF，
因为C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.
由M是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，
所以M点的轨迹长度GH＝＝.]
空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面 圆锥，圆柱侧面，球面 交线得圆、圆锥曲线.很少有题目会脱离这三个方向. 注意：阿波罗尼斯圆，圆锥曲线第二定义)
2.在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是(　　)
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．抛物线的一部分
D．双曲线的一部分
B　[把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B．]
类型3　翻折问题
【例3】　如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________cm3.
4　[如图，连接OD，交BC于点G，
由题意，知OD⊥BC，OG＝BC．
设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，
三棱锥的高h＝
＝＝，
S△ABC＝×2x×3x＝3x2，则三棱锥的体积
V＝S△ABC·h＝x2·＝·.令f(x)＝25x4－10x5，x∈，则f ′(x)＝100x3－50x4.
令f ′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤×＝4.
∴三棱锥体积的最大值为4 cm3.]
在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型 规律 的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形.
3.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P ABCEF的体积的取值范围为________．
　[因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF与点F，所以PF⊥平面ABCEF.
设DF＝x(0＜x＜1)，则EF＝x，AF＝2－x，
S五边形ABCEF＝S四边形ABCD－S△DEF＝(1＋2)×1－x2＝(3－x2)．
所以五棱锥P ABCEF的体积为V(x)＝×(3－x2)·x＝(3x－x3)．
令V′(x)＝(1－x2)＝0，得x＝1或x＝－1(舍)．
当0＜x＜1时，V′(x)＞0，V(x)递增，
故V(0)＜V(x)＜V(1)，V(0)＝0，V(1)＝.
所以V(x)的取值范围是.]
类型4　动态最值问题
【例4】　在正四面体A BCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是________．
　[本例可用极端位置法来加以分析．
先寻找垂直：记O为△ACD的中心，G为OC的中点，则BO⊥平面ACD，EG⊥平面ACD．如图1，过点A，E，G的平面交直线BD于点F.此时，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值为1.
由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角最小(如图2)，其正弦值为.
图1 图2
综上可知，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为 ]
在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案.
4．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝2，P为该长方体侧面CC1D1D内(含边界)的动点，且满足tan∠PAD＋tan∠PBC＝2.则四棱锥P ABCD体积的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
B　[如图所示，在Rt△PAD中，tan∠PAD＝＝PD，
在Rt△PBC中，tan∠PBC＝＝PC，
因为tan∠PAD＋tan∠PBC＝2，
所以PD＋PC＝2.
因为PD＋PC＝2＞CD＝2，
所以点P的轨迹是以C，D为焦点，2a＝2的椭圆．
如图所示：
a＝，c＝1，b＝＝1，
椭圆的标准方程为：＋y2＝1.又P1(0,1)，
联立，解得y＝±.所以P2，P3.
当点P运动到P1位置时，此时四棱锥P ABCD的高最大，所以(VP ABCD)max＝×SABCD×P1O＝×2×1＝.当点P运动到P2或P3位置时，此时四棱锥P ABCD的高最短，
所以(VP ABCD)min＝×S四边形ABCD×P2D＝×2×＝.
综上所述：≤VP ABCD≤.]
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