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时间：5月17日 今日心情：
核心考点解读——函数的概念、性质、图象(基本初等函数）
高考预测 1．从近五年的高考情况来看，函数的概念、性质是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．有关函数性质的考查，热点是单调性和奇偶性，单调性是非常重要的性质，对于选择题和填空题，重点考查基本初等函数的单调性，利用解析式判断函数单调性及利用单调性求最值、解不等式、求参数的范围问题．函数的奇偶性常与单调性相结合解决求值和参数的问题．2．基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是用来研究其他图像问题的基础，也是研究函数性质的重要工具．高考中总以几类基本初等函数(如一次函数、一次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等)的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，或者已知方程解的个数求参数的范围，研究零点所在的区间，利用函数图像解不等式等，属于每年心右内容之一．
应试技巧 1．函数奇偶性的性质函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.2．函数单调性的性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.若为增函数，且或），则为减函数.若为减函数，且或），则为增函数.复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.3．函数周期性的性质若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.有关函数周期性的重要结论（如表所示）函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.4.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；(2)对称变换①函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于轴对称；函数与函数的图像关于坐标原点对称；②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数与的图像关于对称.(3)伸缩变换①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.5.记住几个重要结论(1)函数与的图象关于直线对称．(2)函数与的图象关于点中心对称．(3)若函数对定义域内任意自变量x满足：，则函数的图象关于直线对称．(4)图象的左右平移仅仅是相对于而言，如果的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换．(5)图象的上下平移仅仅是相对于而言的，利用“上减下加”进行．
1．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
3．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
5．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数的对称轴为，开口向上，
所以函数的单调递减区间是，
故选：C.
6．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
7．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
8．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
9．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
10．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
11．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
12．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
13．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
14．（2020·全国·高考真题（理））设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
15．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【解析】
取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
16．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】
因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
17．（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________
【答案】.
【解析】
因为，，
所以， ，
因为为奇函数，
所以，由，得，
因为，所以.
故答案为：6.
1．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2022·广东·一模）已知函数，，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
3．（2022·广东珠海·高三期末）已知是定义域在上的奇函数，且满足．当时，，则（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2022·湖南岳阳·二模）已知函数且，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南常德·一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·湖南·一模）已如函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·山东青岛·一模）设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（多选题）8．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
（多选题）9．（2022·湖北·一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在（0，+∞）上单调递减
C．是周期函数 D．≥-1恒成立
10．（2022·山东青岛·一模）已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．
1．将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
（多选题）4．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递增
C．函数的最大值为 D．函数图象关于直线对称
（多选题）5．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以4为周期的周期函数
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
（多选题）6．设为函数的导函数，已知为偶函数，则（ ）
A．的最小值为2 B．为奇函数
C．在内为增函数 D．在内为增函数
7．已知函数，对任意非零实数x，均满足.则的值为___________；函数的最小值为___________.
8．若为奇函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
9．己知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为______．
10．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______．
名校预测
1．【答案】D
【解析】
由为奇函数，
所以，
所以，可得，
解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，
故选：D
2．【答案】D
【解析】
由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；
当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；
为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.
故选：D.
3．【答案】A
【解析】
由得，所以是周期为2的周期函数，且是定义域在上的奇函数，所以，
所以，
故选：A．
4．【答案】B
【解析】
由解析式知：函数定义域为，令，
由，即为奇函数，
所以等价于，而，
由、在上递增，故在上递增，
所以，可得.
故选：B
5．【答案】C
【解析】
函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；
当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.
故选：C
6．【答案】D
【解析】
由题，所以是奇函数，所以，故A，B错误，
又因为，且，即，解得，
根据单调性的结论可知为上的单调递增函数，所有当，，当，；
所以，C错误，
，D正确.
故选：D
7．【答案】D
【解析】
依题意是定义域为R的偶函数，
，
，
，
，
，
，
，
由于在上单调递增，所以.
故选：D
8．【答案】ABD
【解析】
对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
9．【答案】AD
【解析】
的定义域为R
，
则为偶函数.故选项A判断正确；
时，
恒成立，则为上增函数.
故选项B判断错误；选项C判断错误；
又为偶函数，则为上减函数
又，则的最小值为.故选项D判断正确；
故选：AD
10．【答案】 44
【解析】
因为，
所以
，
所以的图象的对称中心为，即为，
因为等差数列中，，
所以，得，
因为的图象的对称中心为，
所以， ，，，，
因为，
所以 ，
故答案为：，44
专家押题
1．【答案】B
【解析】
将化为，
则将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，
得到曲线，即，
要使曲线上的点到直线的距离最短，
只需曲线上在该点处的切线和直线平行，
设曲线上该点为，
因为，且的斜率为，
所以，解得或（舍），
即该点坐标为.
故选：B.
2．【答案】C
【解析】
图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.
故选：C.
3．【答案】A
【解析】
由函数图象知函数关于原点对称，为奇函数，可以排除选项B；
其余选项都为奇函数.对于选项D，当时，，选项D错误；
选项C中的图象 ，故选项C错误.；
当时，，当时，. 故选项A最有可能正确.
故选：A.
4．【答案】ABD
【解析】
由知，A正确；
由在上单调递增及复合函数的单调性知，在上单调递增，由在上单调递减，可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B正确；
当时，，故函数的最大值取不是，故C错误；
关于直线对称，故D正确.
故答案为：ABD
5．【答案】ACD
【解析】
依题意，为偶函数，且关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，A正确.
因为的周期为4，则，，
所以，B错误；
作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；
当时，，则，D正确.
故选：ACD
6．【答案】BCD
【解析】
，由可得，从而，
于是.
，取等号时，因为，所以.所以A错误，
由，得，
因为，所以为奇函数，所以B正确，
因为，所以在为增函数，所以C正确，
，当时，，当时，，则，综上，当时，，所以在内为增函数，所以D正确，
故选：BCD
7．【答案】0
【解析】
函数，因对任意非零实数x，均满足，
则，有，
即，由等式两边展开式最高次项系数得：，即，
当时，，解得，经检验得，，，对任意非零实数x成立，
因此，
，
，当即时，，
所以的值为0，函数的最小值为.
故答案为：0；
8．【答案】（答案不唯一，符合题意均可）
【解析】
解：，
因为为奇函数，且为奇函数，为偶函数，
所以，即，
所以或，，
所以的值可以是，
故答案为：（答案不唯一，符合题意均可）
9．【答案】
【解析】
由题设，，故，即的周期为2，
所以，且，
所以.
故答案为：.
10．【答案】
【解析】
，；
由得：，
为上的减函数，为上的增函数，，
当时，，令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即实数的取值范围为.
故答案为：.

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