资源简介 时间:5月18日 今日心情:核心考点解读——利用导数研究函数的性质高考预测 1.考查内容(1)结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)借助函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数与函数单调性、极值、最大(小)值的关系.2.题型难度以解答题的形式为主,辅以选择题和填空题的形式出现,试题的难度和广度也在不断加大.4.命题热点近几年高考试题加大了对导数内容的考查力度,不仅题型变化灵活,而且问题的深度和广度也在不断加大,尤其是含参函数的单调性问题和函数极值、最值问题的综合,几乎是每年必考的内容.应试技巧 1.函数单调性与导函数符号的关系一般地,函数的单调性与其导数正负有以下关系:在某个区间内,如果,那么函数在该区间内单调递增;如果,那么函数在该区间内单调递减.2.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数的定义域;(2)求,令,解此方程,求出它在定义域内的一切实数;(3)把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间;(4)确定在各小区间内的符号,根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.注①使的离散点不影响函数的单调性,即当在某个区间内离散点处为零,在其余点处均为正(或负)时,在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如,在上,,当时,;当时,,而显然在上是单调递增函数.②若函数在区间上单调递增,则(不恒为0),反之不成立.因为,即或,当时,函数在区间上单调递增.当时,在这个区间为常值函数;同理,若函数在区间上单调递减,则(不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零,是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论:单调递增;单调递增;单调递减;单调递减.3.函数极值的概念设函数在点处连续且,若在点附近的左侧,右侧,则为函数的极大值点;若在附近的左侧,右侧,则为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言,在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值,且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.4.求可导函数极值的一般步骤(1)先确定函数的定义域;(2)求导数;(3)求方程的根; (4)检验在方程的根的左右两侧的符号,如果在根的左侧附近为正,在右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在右侧附近为正,那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是:是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件,如,,但不是极值点. 为可导函数的极值点;但为的极值点.5.函数的最大值、最小值若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线,则该函数在上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6.求函数的最大值、最小值的一般步骤设是定义在区间上的函数,在可导,求函数在上的最大值与最小值,可分两步进行:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况,是局部函数值的比较,故极值不一定是最值;函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点处的函数值;②函数的极值点必是开区间的点,不能是区间的端点;③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1.(2021·全国·高考真题(理))设,,.则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,,由于所以当0所以在上单调递增,所以,即,即;令,则,,由于,在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减,所以,即,即b综上,,故选:B.2.(2021·全国·高考真题(理))设,若为函数的极大值点,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.当时,由,,画出的图象如下图所示:由图可知,,故.当时,由时,,画出的图象如下图所示:由图可知,,故.综上所述,成立.故选:D3.(2021·全国·高考真题)若过点可以作曲线的两条切线,则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】在曲线上任取一点,对函数求导得,所以,曲线在点处的切线方程为,即,由题意可知,点在直线上,可得,令,则.当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以,,由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示:由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选:D.解法二:画出函数曲线的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选:D.4.(2020·全国·高考真题(理))若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为( )A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为,则,函数的导数为,则直线的斜率,设直线的方程为,即,由于直线与圆相切,则,两边平方并整理得,解得,(舍),则直线的方程为,即.故选:D.5.(2020·全国·高考真题(理))函数的图像在点处的切线方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】,,,,因此,所求切线的方程为,即.故选:B.6.(2021·全国·高考真题)已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是_______.【答案】【解析】由题意,,则,所以点和点,,所以,所以,所以,同理,所以.故答案为:7.(2021·全国·高考真题)函数的最小值为______.【答案】1【解析】由题设知:定义域为,∴当时,,此时单调递减;当时,,有,此时单调递减;当时,,有,此时单调递增;又在各分段的界点处连续,∴综上有:时,单调递减,时,单调递增;∴故答案为:1.8.(2021·全国·高考真题(理))曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】由题,当时,,故点在曲线上.求导得:,所以.故切线方程为.故答案为:.9.(2021·北京·高考真题)已知函数,给出下列四个结论:①若,恰 有2个零点;②存在负数,使得恰有个1零点;③存在负数,使得恰有个3零点;④存在正数,使得恰有个3零点.其中所有正确结论的序号是_______.【答案】①②④【解析】对于①,当时,由,可得或,①正确;对于②,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,所以,存在,使得只有一个零点,②正确;对于③,当直线过点时,,解得,所以,当时,直线与曲线有两个交点,若函数有三个零点,则直线与曲线有两个交点,直线与曲线有一个交点,所以,,此不等式无解,因此,不存在,使得函数有三个零点,③错误;对于④,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,所以,当时,函数有三个零点,④正确.故答案为:①②④.10.(2021·江苏·高考真题)已知函数,若其图像上存在互异的三个点,,,使得,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】解:画出函数的图象如下图,由题意得函数图象上存在互异的三个点,且,则可看做函数与函数的图象有三个不同的交点,由图知,当或时,有且仅有两个交点,要使两个图象有三个不同的交点,则的取值范围为.故答案为:.11.(2021·北京·高考真题)已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若在处取得极值,求的单调区间,以及其最大值与最小值.【解析】(1)当时,,则,,,此时,曲线在点处的切线方程为,即;(2)因为,则,由题意可得,解得,故,,列表如下:增 极大值 减 极小值 增所以,函数的增区间为、,单调递减区间为.当时,;当时,.所以,,.12.(2021·全国·高考真题(文))已知函数.(1)讨论的单调性;(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.【解析】(1)由函数的解析式可得:,导函数的判别式,当时,在R上单调递增,当时,的解为:,当时,单调递增;当时,单调递减;当时,单调递增;综上可得:当时,在R上单调递增,当时,在,上单调递增,在上单调递减.(2)由题意可得:,,则切线方程为:,切线过坐标原点,则:,整理可得:,即:,解得:,则,切线方程为:,与联立得,化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根,是的一个因式,∴该方程可以分解因式为解得,,综上,曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.13.(2020·北京·高考真题)已知函数.(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程;(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值.【解析】(Ⅰ)因为,所以,设切点为,则,即,所以切点为,由点斜式可得切线方程为:,即.(Ⅱ)[方法一]:导数法显然,因为在点处的切线方程为:,令,得,令,得,所以,不妨设时,结果一样,则,所以,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,所以时,取得极小值,也是最小值为.[方法二]【最优解】:换元加导数法 .因为为偶函数,不妨设,,令,则.令,则面积为,只需求出的最小值..因为,所以令,得.随着a的变化,的变化情况如下表:a0减 极小值 增所以.所以当,即时,.因为为偶函数,当时,.综上,当时,的最小值为32.[方法三]:多元均值不等式法同方法二,只需求出的最小值.令,当且仅当,即时取等号.所以当,即时,.因为为偶函数,当时,.综上,当时,的最小值为32.[方法四]:两次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.14.(2020·全国·高考真题(文))已知函数f(x)=2lnx+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0时,讨论函数g(x)=的单调性.【解析】(1)[方法一]【最优解】:等价于.设,则.当时,,所以在区间内单调递增;当时,,所以在区间内单调递减.故,所以,即,所以c的取值范围是.[方法二]:切线放缩若,即,即当时恒成立,而在点处的切线为,从而有,当时恒成立,即,则.所以c的取值范围为.[方法三]:利用最值求取值范围函数的定义域为:,设,则有 ,当时,单调递减,当时,单调递增,所以当时,函数有最大值,即,要想不等式在上恒成立,只需;所以c的取值范围为.(2)且因此,设 ,则有,当时,,所以, 单调递减,因此有,即,所以单调递减;当时,,所以, 单调递增,因此有,即 ,所以单调递减,所以函数在区间和 上单调递减,没有递增区间.1.(2022·山东聊城·一模)已知正数满足,则的最小值为( )A. B. C. D.2.(2022·河北·模拟预测)已知实数,满足,,则( )A. B. C. D.(多选题)3.(2022·湖北·模拟预测)已知为常数,函数有两个极值点,则( )A. B. C. D.(多选题)4.(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)下列不等关系中正确的是( )A. B.C. D.(多选题)5.(2022·河北·石家庄二中模拟预测)若存在正实数x,y,使得等式成立,其中e为自然对数的底数,则a的取值可能是( )A. B. C. D.26.(2022·湖北武汉·高三期末)函数的最小值为______.7.(2022·福建·模拟预测)已知函数,若且,则的最小值为_________.8.(2022·河北保定·一模)若函数在处的切线过点,则实数______.9.(2022·山东泰安·一模)已知函数其中,a为非零实数.(1)当时,求的极值;(2)讨论的单调性;(3)若有两个极值点,,且,求证:.10.(2022·福建·模拟预测)已知函数,其中.(1)若定义在上的函数满足,求的单调区间;(2)证明:有唯一极值点,且.1.设,若函数的最小值为,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.2.已知函数,直线是曲线的一条切线,则的取值范围是( )A. B.C. D.3.已知函数,,若函数在上的最小值为,则实数的值是( )A. B. C. D.4.已知是定义在上的奇函数,是的导函数,当时,,且,则不等式的解集是( )A. B. C. D.(多选题)5.若过点最多可作出条直线与函数的图象相切,则( )A.B.当时,的值不唯一C.可能等于D.当时,的取值范围是6.已知直线l是曲线与的公共切线,则l的方程为___________.7.已知函数,其中.(1)当时,求的单调区间:(2)当时,是否存在实数a使得函数的最小值为.若存在,求出a的值.若不存在,请说明理由.8.已知函数.(1)当时,若在上存在最大值,求m的取值范围;(2)讨论极值点的个数.9.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若直线l与函数,的图象都相切,求直线l的条数.10.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个极值点、,且(为自然对数底数,且),求的取值范围.名校预测1.【答案】B【解析】因为,即,所以,所以.令,则,所以在上单调递增,所以,即,所以令.则.令,解得:;令,解得:;所以在上单调递减,在上单调递增,所以.即的最小值为.故选:B2.【答案】C【解析】由条件得,,令,,则,由条件,则,令,,则,显然当时,,在上单调递增.故由,可得,.故选:C.3.【答案】AC【解析】,令, 由题意可得有两个实数解;所以函数有且只有两个零点;.① 当时,单调递增, 因此至多有一个零点, 不符合题意, 应舍去;②当时, 令, 解得,因为当 时, , 函数单调递增;当时, , 函数单调递减,所以是函数的极大值点, 则>0 ,即>0 ,解得,故选项A正确;因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,故选项C正确;又,所以,==,令,则,当,,单调递增,而,所以,故选项D错误;当时(符合,此时仍有两个极值点),此时,解得,所以,故正负不确定,因此选项B错误;综上所述,AC为正确答案;故选:AC.4.【答案】BC【解析】令,则,令得,f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以,即,即,故A错误,B正确;令,,则,令,则在上恒成立,所以在上单调递减,,所以在上恒成立,所以g(x)在上单调递减,所以,即,即,故C正确,D错误,故选:BC.5.【答案】ACD【解析】解:由题意,不等于,由,得,令,则,设,则,因为函数在上单词递增,且,所以当时,,当时,,则在上单调递减,在上单调递增,从而,即,解得或.故.故选:ACD.6.【答案】1【解析】当时,,此时,,令得:,令得:,故此时在处取得最小值,;当时,,此时,此时在单调递减,且;综上:函数的最小值为1.故答案为:17.【答案】【解析】解:由,可得函数图象如下所示:因为且,所以,且,所以,令,,则,所以当时,当时,即在上单调递增,在上单调递减,所以;故答案为:8.【答案】6【解析】由题意,函数,可得,可得,且,所以,解得.故答案为:.9.【解析】(1)函数的定义域为,当时,,则,令,解得或(舍去),当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,所以函数的极小值为,无极大值;(2)函数的定义域为,则,当即时,,函数在上单调递增;当即时,令,得、,则当时,,当时,,故在和上单调递增,在上单调递减;当时,,舍去.所以在上单调递减,在上单调递增;(3)因为有两个极值点,由(2)知当时,、,所以且,要证,令,则,所以在上单调递增,且,故,即.10.【解析】(1)时,,时,,时,,的减区间是,增区间是,时,,由得或,设,,时,,递增,所以时,,所以或时,,时,,所以的增区间是和,减区间是;(2)由(1)时,,有唯一零点,且,时,,,设,,因为,所以恒成立,即在上是增函数,而由(1)知,所以,所以,,所以在也即在上有唯一零点,时,,递减,时,,递增,所以有唯一极值,且,,即,,由得,,所以,要证,即证,只要证:(),令,,令,,令,则,设,则,时,,递减,时,,递增,所以,所以在时恒成立,即,所以,所以,从而是增函数,又,,所以存在,使得,即,时,,时,,所以即在上递减,在上递增,,,所以时,,时,,所以在上递减,在上递增,,所以,即()成立.所以成立.专家押题1.【答案】B【解析】若,当时,为增函数,且,不符合题意.若,最小值为.若,当时,的最小值为.当时,,若,则,若,则,在在,在上递增,故的最小值为.由,,,设,它在上是增函数,且,所以的解是.可得综上,常数的取值范围为.故选:B.2.【答案】D【解析】设切点为,,曲线在切点处的切线方程为,整理得,令,,令,,所以.令,则.当时,,单调递减;当时,,单调递增.故,则的取值范围是.故选:D.3.【答案】B【解析】,又,在上单调递增,在上存在最小值,,使得,则当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增,…①,由得:…②,②①得:,,,;①②得:;又,.故选:B.4.【答案】B【解析】令,则,所以函数在上递增,又因,所以当时,,当时,,又因当时,,当时,,所以当时,,当时,,又因为,所以当时,,因为是定义在上的奇函数,所以,当时,,由不等式,得或,解得,所以不等式的解集是.故选:B.5.【答案】ACD【解析】解:不妨设切点为,因为,所以切线方程为,所以,整理得,所以令,则,所以,令得.所以,当或时,,,当时,,因为,当趋近于时,趋近于,,,,当趋近于时,趋近于,所以,函数的图像大致如图,所以,当时,,故B错误,此时成立;当时,,所以,故可能等于,C正确;当当时,,显然,故D正确;综上,,A正确.故选:ACD6.【答案】或【解析】设与曲线相切于点,与曲线相切于点1),则,整理得,解得或,当时,的方程为;当时,的方程为.故答案为:或.7.【解析】(1)的定义域为,当时,,当时,当时,,则的单调递减区间为,单调递增区间.(2),,令,解得或,若,由得,故当时,,在调递减;当时,在单调递增,所以的最小值为,令,设,因为,所以在上单调递增,且,所以当时满足条件.②若,由得,故当时,在单调递减;当时,在单调递增,所以的最小值为.令,设,因为,所以在单调递减,所以当时,,不存在a使得.综上所述,当时满足条件.8.【解析】(1)因为,所以,因为函数的定义域为:,所以当时,单调递减,当时,单调递增,所以当时,函数有最大值,因此要想在上存在最大值,只需,所以m的取值范围为;(2),方程的判别式为.(1)当时,即,此时方程没有实数根,所以,函数单调递减,故函数没有极值点;(2)当时,即,此时,(当时取等号),所以函数单调递减,故函数没有极值点;(3)当时,即,此时方程有两个不相等的实数根,设两个实数根为,设,则,函数的定义域为:,显然当时,此时方程有两个不相等的正实数根,此时当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,因此当时,函数有极小值点,当时,函数有极大值点,所以当时,函数有两个极值点,当时,方程有一个正实数根和一个负根,或是一个正实数和零根,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以当时,函数有极大值点,因此当时,函数有一个极值点,综上所述:当时,函数有一个极值点;当时,函数有两个极值点;当时,函数没有极值点.9.【解析】(1)解:由题设,,定义域为,则当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.(2)解:因为,,所以,,设直线分别与函数,的图象相切于点,则,即由,得即,即由,得,代入上式,得即,则设当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.因为,,则在上仅有一个零点.因为,则在上仅有一个零点.所以在上有两个零点,故与函数,的图象都相切的直线有两条.10.【解析】(1)解:由题知,函数的定义域为,,当时,对任意的,且不恒为零,故在上单调递增;当时,,且不恒为零,故在上单调递增;当时,令,解得,,则,当时,;当时,;当时,.此时,函数的单调递增区间为、,单调递减区间为.综上,当时,的单调递增区间为,无单调递减区间;当时,的单调递增区间为、,单调递减区间为.(2)解:由(1)知,当时,有两极值点、,且,,所以,设,,其中,所以,,又因为,可知,所以在上单调递减.∴,即,所以的取值范围为.试卷第1页,共3页78 展开更多...... 收起↑ 资源预览