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时间：5月20日 今日心情：
核心考点解读——三角函数的图象与性质
高考预测 三角函数的图象与性质命题趋势仍是突出以三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意识.形如的函数性质为命题热点，几乎每年必考.在选择题中直接考查周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移伸缩、由图像确定解析式;解答题常与平面向量、解三角形相结合一起考查.
应试技巧 1.三角函数的图象与性质在上的图像定义域值域（有界性）最小正周期（周期性）奇偶性（对称性）奇函数偶函数单调增区间单调减区间对称轴方程对称中心坐标最大值及对应自变量值时时最小值及对应自变量值时时函数正切函数图像定义域值域周期性奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在上是单调增函数对称轴无对称中心2.与的图像与性质（1）最小正周期：.（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值假设.①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心.假设.①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.（5）单调性.假设.①对于，②对于，（6）平移与伸缩（，）的图象，可以用下面的方法得到：①画出函数的图象；②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象；③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象.
1．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【解析】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
4．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）
A．向上平移个单位 B．向左平移个单位
C．向下平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】
根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到.
故选：B
5．（2021·江苏·高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题，得，所以，
令，得，
所以的对称轴为，
当时，，
所以函数的一条对称轴为.
故选：A
6．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
7．（2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】
因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
8．（2020·全国·高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
（多选题）9．（2020·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
10．（2021·全国·高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【解析】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
11．（2021·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【解析】
由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
12．（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】（均可）
【解析】
因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
13．（2020·全国·高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
14．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】
【解析】
当时
故答案为：
15．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【解析】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
16．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【解析】
（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，
又因为，所以.
（2）由（1）可知.
因为，所以，
因此，当时，即时，，
当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.
1．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广州·二模）如果函数的图像关于点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南湖南·二模）设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022·湖南常德·一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若，则函数f(x)的值域为
B．点是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．函数f（x）的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
6．（2022·湖南娄底·高三期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（多选题）7．（2022·江苏省阜宁中学高三期中）已知函数，直线为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间上的最大值为2
D．若为偶函数，则
（多选题）8．（2022·广东茂名·二模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．关于点对称
B．在区间内单调递增
C．若，则
D．的对称轴是
（多选题）9．（2022·湖北·一模）已知函数，则( )
A．的图象关于对称 B．的最小正周期为
C．的最小值为1 D．的最大值为
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________．
1．已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（ ）
A． B． C． D．
2．己知P是半径为的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系，若，则点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（多选题）4．已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f（x）的最小正周期为2
C．将f（x）的图像向右平移1个单位长度，得到函数的图像
D．若f（x）在区间[2，t]上的值域为[－1，]，则t的取值范围为[，]
（多选题）5．已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的图象关于轴对称，若的相邻两条对称轴的距离是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．在上的单调增区间是，
D．的图象关于点中心对称
6．若在区间上单调递增，则实数的最大值为__________.
7．已知函数（）在上单调递增，则的一个取值为________．
8．若为奇函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
9．已知函数，其中，若在区间(，)上恰有2个零点，则的取值范围是____________.
10．已知函数，①函数的图象关于直线对称，②当时，函数的取值范围是，则同时满足条件①②的函数的一个解析式为________.
名校预测
1．【答案】C
【解析】
.
由，得，此时.
所以的对称中心为.
当时，的一个对称中心为.
故选：C.
2．【答案】B
【解析】
根据题意，，即，
解得；当时，取得最小值.
故选：B.
3．【答案】A
【解析】
由，，得，，
取，可得.若在上单词递增，则，
解得.若，则.
设，则，因为
所以函数在上的零点最多有2个.
所以在上的零点最多有2个.
故选：A
4．【答案】C
【解析】
函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；
当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.
故选：C
5．【答案】A
【解析】
由题图及五点作图法得，，，
则，，故.
由，得，
故，函数f(x)在区间上不是增函数，故A正确，C错误；
∵当时，，
所以点不是函数f(x)图象的一个对称中心，故B错误；
由，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D错误.
故选：A．
6．【答案】B
【解析】
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象.
因为，所以，
因为在上单调递减，所以，，所以的最大值为.
故选：B.
7．【答案】AD
【解析】
因为在区间上单调递增，故，则，又因为直线为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，所以或，解得：或.当时，，此时，得，，显然不符合，故.
对于A，，故A正确；
对于B，当，则，因为为图象的一个对称中心，所以得，，因为，则时，符合题意，此时，故B不正确.
对于C，当，，当时，，故C不正确.
对于D， ，若为偶函数，则，所以，故D正确.
故选：AD.
8．【答案】BC
【解析】
因为，，所以不关于点对称，故A错误；
当时，
，即，
当时，
，即，
作出的图象如图所示，
由图象可知在区间内单调递增，故B正确；
因为，所以，，，，，，所以，故C项正确；
由图象可知的图象不关于对称，故D项错误．
故选：BC．
9．【答案】ACD
【解析】
，故选项A正确；
∵，
故为的一个周期.
当时，，
此时，
令，得，故.
∵当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，故的最小正周期为，选项B错误；
由上可知在上的最小值为，最大值为，由的周期性可知，选项CD均正确.
故选：ACD.
10．【答案】
【解析】
至少存在两个不相等的实数，使得，
当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；
当，即时，，
，；
当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
专家押题
1．【答案】A
【解析】
，
的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，
得到函数，
故，
所以，
由于，所以.
故选：A
2．【答案】D
【解析】
设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，
由题意可得，，
时，射线可视角的终边，则.
故选：D.
3．【答案】D
【解析】
解：函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，
故函数的周期为，故，
若对恒成立，即当时， 恒成立，
所以，解得
因为，所以.
故选：D．
4．【答案】BD
【解析】
由图像可得，因为，所以
又因为属于的单调递减区间，，所以，故A错误，
因为，所以，
所以可得，即，
所以，故B正确，
将f（x）的图像向右平移1个单位长度，得到函数的图像，故C错误，
当时，，
若值域为，则，解得，故D正确，
故选：BD
5．【答案】AD
【解析】
的相邻两条对称轴距离为，最小正周期，解得：；
，，
图象关于轴对称，，解得：，
又，，；
对于A，，A正确；
对于B，的最小正周期，B错误；
对于C，令，解得：，
的单调递增区间为，
则在上的单调增区间是，，C错误.
对于D，，图象关于点中心对称，D正确.
故选：AD.
6．【答案】
【解析】
x∈，则，
由题可知，，
则，
则a的最大值为.
故答案为：.
7．【答案】，答案不唯一
【解析】
，
当时，，
，所以在上单调递增，符合题意.
故答案为：，答案不唯一
8．【答案】（答案不唯一，符合题意均可）
【解析】
解：，
因为为奇函数，且为奇函数，为偶函数，
所以，即，
所以或，，
所以的值可以是，
故答案为：（答案不唯一，符合题意均可）
9．【答案】或.
【解析】
令，则，故，
故，
因为在区间(，)上恰有2个零点，
所以存在整数，使得：
，
若为偶数，则，
整理得到：①，因为，故，
当时，，故①无解，
当时，有即.
若为奇数，则，
整理得到：②，因为，故，
当时，，故②无解，
当时，有，无解.
当时，有，故.
综上，或.
故答案为：或.
10．【答案】（答案不唯一）
【解析】
由题意，设，由的最小值为-2，得A=2，
若为半个周期长度，则，
则，
由①，不妨令，解得，
所以，经检验，符合①②条件，
故答案为：（答案不唯一）

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