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时间：5月16日 今日心情：
核心考点解读——相等关系与不等关系
高考预测 1．从近几年高考命题来看，不等式的性质是必考内容，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．不等式的性质通常在选择题中考查，难度不大，分值为5分．2．从近几年高考命题来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．（1）对不含参数的不等式解法几乎每年必考，通常是选择题的第一题与集合或函数定义域结合考查，难度不大，分值为5分．（2）对含有参数的不等式解法或恒成立问题通常在解答题中与利用导数判断函数的单调性问题相结合，分值为5分左右．3． 从近几年高考命题来看，基本不等式是必考内容，单独考查的频率不高，时常作为已知条件的一部分或者解题工具出现在其他考点的题目中．利用基本不等式求代数式的最值几乎每年都考，通常在选择题或填空题中考查，难度不大，分值为5分．
应试技巧 1． 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）（1）（传递性，注意找中间量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性，注意条件为正）2． 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）．（2）（对称性）（3）（乘正保号性）（4） （5）（不等量加等量）（6）（乘方保号性，注意条件为正）（7）（开方保号性，注意条件为正）（8）（同号可倒性）；．3． 一元一次不等式（）（1）若，解集为．（2） 若，解集为（3）若，当时，解集为；当时，解集为4． 一元一次不等式组（）（1），解集为．（2），解集为（3），解集为（4），解集为5． 一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）①若，解集为．②若，解集为．③若，解集为．(2) 当时，二次函数图象开口向下．①若，解集为②若，解集为6． 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下．例如，解一元高次不等式（1）将最高次项系数化为正数（2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（）（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）．（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集．7． 分式不等式（1）（2）（3）（4）8． 绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解9． 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则 (当且仅当“”时取“”)．特例：同号）．（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件)．
1．（2021·湖南·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
A．根据不等式的性质可知，A正确；
B．若，，，可知B不正确；
C．若，，，故C不正确；
D． 若，，，故D不正确．
故选：A
2．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】
因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
故选：B
3．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，
，，
，，
．
故选：D．
4．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
，，
．
故选：C．
5．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，即．
故选：C．
6．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
7．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
所以;
下面比较与的大小关系．
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即;
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B．
8．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A．
9．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
【答案】C
【解析】
因为，所以且，设，则的零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有．
综上一定有．
故选：C
（多选题）10．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
11．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为．故答案为：．
12．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________．
【答案】2
【解析】
，故，故答案为：2．
13．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
，，
，当且仅当=4时取等号，
结合，解得，或时，等号成立．
故答案为：
14．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号．
∴的最小值为．故答案为：．
1．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·重庆·二模）已知，若对任意恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）5．（2022·辽宁丹东·一模）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（多选题）6．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知，且．则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．
D．
（多选题）8．（2022·江苏江苏·二模）若a＞b＞0＞c，则( )
A． B． C． D．
9．（2022·辽宁·模拟预测）若，且，则的最小值为______．
10．（2022·广东珠海·高三期末）非负实数x，y满足，则的最小值为______．
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
（多选题）6．下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（其中e为自然对数的底数），则
D．若，则
（多选题）7．已知，，则下列命题成立的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（多选题）8．已知，当时，，则（ ）
A．， B．
C． D．
（多选题）9．已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
名校预测
1．【答案】D
【解析】
对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误；
对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；
对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确．
故选：D．
2．【答案】B
【解析】
，
因为对任意恒成立，且，
所以，对任意恒成立
令，由基本不等式易得，当时，取得最小值，且，
故选：B
3．【答案】D
【解析】
因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；
，；
故ABC均错误；
D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，
设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确
故选：D
4．【答案】A
【解析】
设方程的两个异号的实根分别为，，则，．
又，，，
则（当且仅当，时取“”），
由不等式恒成立，得，解得．
实数的取值范围是．
故选：A．
5．【答案】CD
【解析】
由题设知，对应的，
即，故，
所以数值中，可取到的数为1，2．
故选：．
6．【答案】BD
【解析】
由于两个不相等的正实数a和b，满足，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即，故，A错误；
由题意得：，所以，B正确；
，其中，但不知道a和b的大小关系，故当时，，当时，，C错误；
，其中，，所以，即，D正确．
故选：BD
7．【答案】BD
【解析】
解：由题意得：
对于选项A：因为，
所以
当且仅当时，即，的最小值为，故A错误；
对于选项B：因为，所以
故
当时，的最小值为，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，当时等号成立，但，
故等号不成立，所以，故D正确．
故选：BD
8．【答案】ABD
【解析】
A：，
∵，，
，，故A正确；
B：，
∵，∴，
，故B正确；
C：时，在单调递减，∵，故C错误；
D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确．
故选：ABD．
9．【答案】
【解析】
（当且仅当时取等号），，
设，则，解得：（舍）或，
即，．
故答案为：．
10．【答案】0
【解析】
当时，；当x，时，由得，
所以（当且仅当时，等号成立）．所以的最小值为0．
故答案为：
专家押题
1．【答案】C
【解析】
因为，所以，所以A错误；
又，所以，又，所以，所以B错误；
因为，所以，又，所以，故C正确；
因为，所以，故只要比较和的大小即可，又，所以，故D错误．
故选: C
2．【答案】D
【解析】
解：因为，所以．
取，，得，故A选项不正确；
取，，得，所以，故B选项不正确；取，，得，故C选项不正确；
当时，则，所以，所以，
当时，则，，所以，
当时，，所以，综上得D选项正确，
故选：D．
3．【答案】C
【解析】
因为
，所以；
由且，所以，所以，
令，，
令 ，则，
则，等价于，；
又，
所以当时，，
故，所以．
故选：C．
4．【答案】B
【解析】
．
，即
又
即
故选B．
5．【答案】C
【解析】
，，即，
，，
，，，
故选：C
6．【答案】AD
【解析】
由可得，即， 而是增函数，所以成立，故A正确；
由可得，故，所以不成立，如，故B错误；
当时，满足，，故不成立，故C错误；
由可知，所以，
而在上单调递增，所以，故D正确．
故选：AD．
7．【答案】ABD
【解析】
A．若，则，当且仅当时，等号成立，故正确；
B．若，则当且仅当时，等号成立，故正确；
C．若，则，当且仅当时，等号成立，故错误；
D．若，则，当且仅当时，等号成立，故正确；
故选：ABD
8．【答案】ACD
【解析】
因为，且，可得，从而得到，
因为，所以，
所以，
而，（，等号不成立）
所以．
从而可知选项ACD正确．
故选：ACD
9．【答案】AC
【解析】
构造函数 ， ，
当 时， ， 时， ， 时， ，
在处取最大值， ， ，
函数图像如下：
， ，A正确；B错误；
， ，
，C正确，D错误；
故选：AC．
10．【答案】
【解析】
由题意得：有解
令
有解，即有解，显然无意义
，当且仅当，即时取等，
故答案为：．

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