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第十九章 一次函数
【学习目标】
1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.21·cn·jy·com
2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.www.21-cn-jy.com
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.21·世纪*教育网
4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.
【考点总结】
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.21*cnjy*com
要点二、一次函数的相关概念
　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
( http: / / www.21cnjy.com / )
要点诠释：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 2·1·c·n·j·y
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.
要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　
方程（组）、不等式问题 函 数 问 题
从“数”的角度看 从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
【例题讲解】
类型一、函数的概念
例1、下列图象中，表示y不是x的函数的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】依据函数的定义即可判断．
解：选项B中，当x＞0时对每个x值都有两个y值与之对应，不满足函数定义中的“唯一性”，而选项A、C、D对每个x值都有唯一y值与之对应．21世纪教育网版权所有
故选B．
【点拨】本题考查了函数的定义．判定依据是看是否满足定义中的“任意性”、“唯一性”．
【训练】下列函数中，一次函数为(　　)
A．y＝x3 B．y＝2x2＋1 C．y＝ D．y＝－3x
【答案】D
【分析】根据一次函数的定义逐一进行判断即可.
选D.
【点拨】本题考查一次函数的意义，注意基本形 ( http: / / www.21cnjy.com )式和基本概念的掌握. 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k，b是常数），那么y叫做x的一次函数．当b=0时，y=kx+b即y=kx，即正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.2-1-c-n-j-y
【训练】下列函数①y＝2x﹣1，②y＝πx，③y＝，④y＝x2中，一次函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
解：①②是一次函数；③是反比例函数；④最高次数是2次，是二次函数．
则一次函数的个数是2．
故选：B．【出处：21教育名师】
【点拨】本题考查一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
类型二、函数的概念
例2、函数 的自变量x的取值范围是___________．
【答案】x≥﹣1
解：根据二次根式有意义的条件可得：
解得：
故答案为：
点拨：二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零.
【训练】函数y＝的自变量x的取值范围是________．
【答案】x≠1
解：由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【训练】已知2x－y＝0，且x－5＞y，则x的取值范围是________．
【答案】x＜－5
解：由2x－y＝0，可以得到y=2x，代入可已转化为
可以解得
故答案为
类型三、一次函数的解析式
例3、某商店进了一批货，每件3元，出售 ( http: / / www.21cnjy.com )时每件加价0.5元，如售出x件应收入货款y元，那么y(元)与x(件)的函数表达式是_________________．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】y=3.5x
解：根据总价=单价×数量，单价为（3+0.5 ( http: / / www.21cnjy.com )）元，可得：y=（3+0.5）x=3.5x．故y与x的函数关系式是：y=3.5x．
故答案为：y=3.5x．
点拨：本题主要考查了列函数关系式．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
【训练】如果是方程组的解，则一次函数y＝mx＋n的解析式为_________
【答案】y=x+2
【分析】把方程组的解代入方程组得到关于m、n的方程组，然后求出m、n的值，再代入函数解析式即可得解．
解：根据题意，将代入方程组,
得
即
①×2得，6m-2n=2…③，
②-③得，3m=3，
∴m=1，
把m=1代入①，得，3-n=1，
∴n=2，
∴一次函数解析式为y=x+2．
∴故答案为y=x+2．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据方程组的解的定义得到关于m、n的方程组并求出m、n的值是解题的关键．
类型四、一次函数的图象和性质
例4、对于一次函数，下列结论错误的是( )
A．函数的图象与轴的交点坐标是
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数的图象不经过第三象限
D．函数的图象向下平移个单位长度得到的图象
【答案】A
【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】
A、令y=0，则x=2，因此函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故A选项错误；
B、因为一次函数y=-2x+4中k=-2＜0，因此函数值随x的增大而减小，故C选项正确；
C、因为一次函数y=-2x+4中k=-2＜0，b=4＞0，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C选项正确；
D、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象，故D选项正确．
故选A．
【点拨】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．
【训练】正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函 ( http: / / www.21cnjy.com )数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选A．
【点拨】本题考查了一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
【训练】函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
【答案】C
解：根据图象可知y=kx+b与x轴交于（2,0），图像在交点的左侧部分满足不等式kx+b＞0 ，故解集为x<2，故选C.
【训练】一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，它的图象是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
解：根据题意，有k＞0，b＜0，
则其图象过一、三、四象限；
故选C．
【训练】对于直线y＝4x+3，下列说法错误的是( )
A．图象与x轴的交点为(﹣，0)
B．图象经过第一、二、三象限
C．直线在y轴上的截距为(0，3)
D．y随x的减少而减少
【答案】C
根据一次函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、当y=0时，4x+ ( http: / / www.21cnjy.com )3=0，解得x=-，图象与x轴的交点为（-，0），故本选项正确；
B、k=4＞0，函数图象经过第一三象限，b=3＞0，函数图象与y轴正半轴相交，所以函数图象经过第一二三象限，故本选项正确；
C、x=0时，y=3，直线在y轴上的截距为3，故本选项错误；
D、k=4＞0，y随x的减少而减少，故本选项正确．
故选：C．
【点拨】本题考查一次函数的性质，需要明确，截距是一个数值，而不是点的坐标．
类型五、一次函数与方程（组）、不等式
例5、如图，函数和的图象相交于A(m，3),则不等式的解集为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，解得m=．
∴点A的坐标是（，3）．
∵当时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，
∴不等式2x＜ax+4的解集为．
故选C．
【训练】如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）.
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
【详解】
当时，对于，则．故的解集为．与的交点的横坐标为，观察图象可知的解集为．的解集为．为整数，．
【点拨】此题考查一次函数与一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键
类型六、一次函数的应用
例6、一个有进水管与出水 ( http: / / www.21cnjy.com )管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；
(2)直接写出每分进水，出水各多少升．
【答案】（1）y＝x＋15(4≤x≤12)（2）进水5L，出水3.75L
【解析】
试题分析：（1）用待定系数法求对应的函数关系式；
（2）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解．
试题解析：（1）设当4≤x≤12时的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．∵图象过（4，20）、（12，30），∴，解得：，∴（4≤x≤12）；
（2）根据图象，每分钟进水20÷4=5升，设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m=30﹣20，解得：m=．
故每分钟进水、出水各是5升、升．
考点：1．一次函数的应用；2．分段函数．
【训练】文美书店决定用不多于20000元购 ( http: / / www.21cnjy.com )进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者， ( http: / / www.21cnjy.com )决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）www-2-1-cnjy-com
【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.21*cnjy*com
【分析】
（1）乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本”列出方程求解即可；
（2）设甲种图书进货本，总利润元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．
【详解】
（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
（2）设甲种图书进货本，总利润元，则
．
又∵，
解得：．
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
∴当本时最大，
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
【训练】为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年均载客量如表：
A型 B型
价格（万元/辆） a b
年均载客量（万人/年/辆） 60 100
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元
（1）求购买每辆A型公交车和每辆B型公交车分别多少万元？
（2）如果该公司购买A型和B型公交车的 ( http: / / www.21cnjy.com )总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车年均载客总和不少于680万人次，有哪几种购车方案？请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
【答案】（1）购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元；（2）购买A型公交车8辆时，购车的总费用最小，为1100万元．
【分析】
（1）根据“购买A型公交车 ( http: / / www.21cnjy.com )1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车（10-x）辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不少于680万人次”求得x的范围，设购车的总费用为W，列出W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质求解可得．
【详解】
(1)根据题意,得：
解得：
答：购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元；
(2)设购买A型公交车x辆,则购买B型公交车(10 x)辆，
根据题意得：
解得：
设购车的总费用为W，
则W=100x+150(10 x)= 50x+1500，
∵W随x的增大而减小，
∴当x=8时，W取得最小值，最小值为1100万元．
【点拨】考查二元一次方程组，一元一次不等式组以及一次函数的应用，读懂题意，找到题目中的等量关系或者不等关系是解题的关键.
【训练】某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和 ( http: / / www.21cnjy.com )签字笔共50支作为补充奖品，再次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
【答案】（1）17；（2）100.
【分析】
根据题意设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，则可列方程，解得x的值即可解答.
据题意设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，则可列不等式，解得．即最多可以购买100支.
解：（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，
依题意得：．
解得．
答：小明原计划购买文具袋17个．
（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，
依题意得：．
解得．
即．
答：明最多可购买钢笔100支．
【点拨】本题考查一次函数及不等式，熟练掌握计算法则是解题关键.
类型七、一次函数综合
例7、如图，在直角坐标系中，过点分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点B，C，取AC的中点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D，直线PD与AB交于点Q，则线段PQ的长为______，直线PQ的函数表达式为______．
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【答案】5
【分析】连接OQ，根据已知条件得到，根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理列方程得到，，求得，设直线PQ的函数表达式为，解方程组即可得到结论．
解：连接OQ，
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点，
轴，轴，
，
点P是AC的中点，
，
点C关于直线OP的对称点D，
，，，
在与中，，
≌，
，
设，
，，
，
，
，
，，
，
设直线PQ的函数表达式为，
把，代入得，，
解得：，
直线PQ的函数表达式为，
故答案为：5，．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．21教育网
【训练】如图，已知 A、B 两 ( http: / / www.21cnjy.com )点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为 1，E 是⊙C 上的一动点，则△ABE 面积的最大值为（ ）21cnjy.com
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A． B．3+ C．3+ D．4+
【答案】A
【分析】过点C作CD⊥AB ( http: / / www.21cnjy.com )，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值，点E在过点C垂直于AB的直线和圆C在点C下方的交点，然后求出直线AB解析式，进而得出CD解析式，即可得出点D坐标，再求出CD，进而得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．【版权所有：21教育】
解：如图，过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最大即可），21教育名师原创作品
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设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为 y＝x+1 ①，
∵CD⊥AB，C（0，﹣1），
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣1 ②，
联立①②得，D（﹣，），
∴CD＝＝，
∵⊙C的半径为1，
∴DE＝CD+CE＝+1，
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴AB＝，
∴S△ABE的最大值＝AB DE＝（+1）×＝2+.
故选 A.
【点拨】此题是圆的综合题，主要考查了圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，待定系数法，求两条直线的交点的方法，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点E的位置，是一道中等难度的试题．
【训练】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．
（3）若点D在y轴上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标．
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【答案】（1）k=-1，b=4；（2）x＜1；（3）点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．
【分析】
（1）用待定系数法求解；（2）kx+b＞3x，结合图象求解；（3）先求点B的坐标为（4，0）．设点D的坐标为（0，m），直线DB：y＝-，过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1，），可得CE，S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣，由S△BCD＝2S△BOC可求解.
解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：
解得：；
（2）由kx+b﹣3x＞0，得
kx+b＞3x，
∵点C的横坐标为1，
∴x＜1；
（3）由（1）直线AB：y＝﹣x+4
当y＝0时，有﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
设点D的坐标为（0，m），
∴直线DB：y＝-，
过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1，），
∴CE＝|3﹣ |
∴S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣ |．
∵S△BCD＝2S△BOC，即2|3﹣ |＝×4×3×2，
解得：m＝﹣4或12，
∴点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．
【点拨】考核知识点：一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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