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双曲线
一、学习要求
1．了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程．
2．了解双曲线的简单几何性质，重点关注与渐近线相关问题的研究．
二、课前预习
1．双曲线的渐近线的方程是_y＝±_，离心率是_eq \F(,2)_；双曲线的渐近线的方程是_ y＝±2x_ ，离心率是_eq \F(,2)_；双曲线的渐近线的方程是_ y＝±2x _，离心率是__；等轴双曲线的渐近线方程是_y＝±x_，离心率是__．
2．平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，|MF1－MF2|是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的_必要不充分_条件．
3．双曲线两准线间的距离是，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是_或_．
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，它的离心率为_eq \F(,2)或_．
5．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程为_－＝1（x≥）_．
【知识与方法】
双曲线是平面上与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点集，即| |PF1|－|PF2| |＝±2a，2a＜2c．其中满足|PF1|－|PF2|＝2a的点仅表示双曲线的一支，这是与椭圆定义有区别的地方，当2a＝2c时，满足|PF1|－|PF2|＝2a的点P的轨迹是一条射线．
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
图 形
顶 点 A(a，0)，A’(－a，0) A(0，a)，A’(0，－a)
两 轴 实轴|AA’|＝2a，虚轴|BB’|＝2b
焦 点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦 距 |F1F2|＝2c且c2＝a2＋b2
离心率 e＝(e＞1)
准线方程 x＝和x＝－ y＝和y＝－
焦点半径 设P点的坐标为(x 1，y1)，则|PF1|＝ex1＋a， |PF2|＝ex1－a 设P点的坐标为(x1，y2)，则|PF1|＝ey1＋a， |PF2|＝ey1－a
※几点说明:
1°双曲线的标准方程中,与双曲线有关的待定系数也有四个:a、b、c、e,它们的关系与椭圆不同之处:c2＝a2＋b2,c最大.
2°双曲线的离心率e＞1(而椭圆0＜e＜1).它可以反映双曲线张口大小,e值越大(c、b接近)张口越大,e值接近于1,它的张口越扁狭.
3°双曲线与椭圆不同之处还有重要的一点,即双曲线有两条渐近线,而椭圆没有渐近线.
关于双曲线的渐近线还应掌握以下内容:
如何求双曲线的渐近线？
因为双曲线－＝1的两条渐近线方程可合为(＋)(－)＝0,即－＝0,故要写双曲线的渐近线方程,可以先把方程化成标准形式,然后令右边的常数项为0.同样,双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0.
三、典型例题
例1 求满足下列条件的双曲线方程：（1）离心率是，与椭圆＋＝1有公共焦点；（2）与椭圆＋＝1共焦点，且过点（3，）；（3）与双曲线－＝1有公共渐近线，且过点（－3，2）．
解：（1）因为＋＝1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，所以设双曲线方程为－＝1，则由c＝5，＝，所以a＝3，b＝4，双曲线方程为－＝1；
（2）椭圆＋＝1的焦点为(2，0)，(－2，0)，可以设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝20．又∵过点（3，），∴－＝1．
综上得，a2＝20－2，b2＝2，所以eq \F(x2, 20－2)－eq \F(y2, 2)＝1．
（3）由题意设双曲线方程为－＝λ，由于双曲线经过点（－3，2），所以λ＝－＝，所以双曲线方程为－＝1．
【小结】
例2 双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右准线l2与一条渐近线的交于点P，F是与l2相应的焦点．（1）求证：PF与这条渐近线垂直；（2）求PF；（3）延长FP交左准线l1 和左支分别为Q，R，若Q为R，P的中点，求双曲线的离心率e．
解：（1）联立y＝x与x＝，于是得P(，)．
kPF＝－，kOP＝，所以kPF kOP＝－1，所以PF⊥OP．
（2）因为tan∠POF＝，所以sin∠POF＝eq \F(b,)＝，
所以PF＝OFsin∠POF＝c·＝b．
（3）易得Q(－，)，因为Q为R，P的中点，所以R点的坐标(－,)
由于R在双曲线上，所以有－()2＝1，即－()2＝1，
令＝t，有9t(t－1)2－t(3t＋1)2＝(t－1)2，展开整理得25t2－10t＋1＝0，所以t＝，即e＝．
【小结】
例3 双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a，0)，若C上存在一点P，使·＝0，求此双曲线离心率的取值范围．
解：设P点坐标(x, y)，则由·＝0，得AP⊥PQ，
∴P点在以AQ为直径的圆上，即(x－)2＋y2＝()2……①
又P点在双曲线上，得－＝1……②
由①、②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0．
当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去；
当x＝时，满足题意的P点存在，需x＝＞a，化简得a2＞2b2，
即3a2＞2c2，＜eq \F(,2)，∴离心率e＝∈(1, eq \F(,2))．
【小结】
双曲线练习
1．过两点、的双曲线的标准方程为 x2－y2＝1 ．
2．设F1和F2是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上且满足· ＝0， 则△F1MF2的面积是_1_．
3．过双曲线x2－y2＝8的右焦点F2有一条弦PQ，PQ＝7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为_14＋8_．
4．曲线＋＝1(m＜6)的离心率是_eq \F(2,10－m)_；曲线＋＝1(5＜m＜9) 的离心率是_eq \F(2,9－m)_．
5．通过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别__和__．
6．设双曲线以椭圆＋＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为_±_．
7．双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是__．
解析：由题意知k＞0，因为双曲线的渐近线y＝±x中有一条与直线2x＋y＋1＝0垂直，所以·(－2)＝－1，即k＝，因此双曲线中a＝2，c＝，所以离心率e＝＝．
8．双曲线－＝1的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△AOF的面积为，则两条渐近线的夹角为_90°_．
解析：据题意，令eq \b\lc\{(\a\al(y＝x,x＝))，得yA＝，故S△AOF＝×c×＝a＝b，故双曲线渐近线的方程为：y＝±x，因此其夹角为直角．
9．过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_2_．
10．设F1和F2为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为_2_．
解析：＝tan60°，＝4b2＝3c24(c2－a2)＝3c2
c2＝4a2＝4e＝2．
11．求适合下列条件的双曲线的方程：
（1）中心在原点，焦点在坐标轴上，虚轴长是实轴长的2倍，且经过点M(4，3)；
（2）与椭圆x2＋4y2＝64有共同焦点，且一条渐近线方程为x＋y＝0．
解：（1）若焦点在x轴上时，双曲线方程设为－＝1，所以2b＝2(2a)，即b＝2a，所以双曲线方程为－＝1，又双曲线经过点M(4，3)，所以－＝1，解得a2＝，所以双曲线方程为eq \F(x2,)－＝1．
若焦点在x轴上时，双曲线方程设为－＝1，所以2b＝2(2a)，即b＝2a，所以双曲线方程为－＝1，又双曲线经过点M(4，3)，所以－＝1，解得a2＝5，所以双曲线方程为－＝1．
所求双曲线方程为eq \F(x2,)－＝1或－＝1．
（2）椭圆x2＋4y2＝64即＋＝1，其焦点坐标为(4，0)，(－4，0) ．
又由于一条渐近线方程为x＋y＝0，所以设双曲线方程为－y2＝λ，由a2＝3λ，b2＝λ，所以c2＝4λ，所以4λ＝48，所以λ＝12．所求双曲线方程为－＝1．
12．已知双曲线（a＞0，b＞0），直线l过点A(a，0)、B(0，b)，左焦点F1到直线l的距离等于该双曲线虚轴长的．(1)求双曲线的离心率；（2）若F1到左准线的距离与它到渐进线的距离的和是＋4，求双曲线方程．
解：（1）直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．设F1(c，0)，
由题意eq \F(|－bc－ab|,)＝×2b，所以c＝3a，所以离心率e＝3．
（2）左准线l1：x＝－＝－a，渐近线：bx＋ay＝0．F1到渐近线的距离为eq \F(|b×(－c)|,)＝b＝＝＝2a，F1到左准线的距离为：－a－(－c)＝a，所以a＋2a＝＋4，a＝2，b＝4，所以双曲线方程为：－＝1．
13．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长为2．一条斜率为1的直线l过右焦点F与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆与右准线交于M，N两点．
（1）若双曲线的离心率为2，求圆的半径；
（2）设AB的中点为H，若·＝－，求双曲线的方程．
解：（1）由题意，a＝1，c＝2，
则双曲线的方程：x2－＝1，直线l的方程：y＝x－2，联立得2x2＋4x－7＝0．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，有x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
∴|x1－x2|＝＝3，
∴AB＝|x1－x2|＝×3＝6，故圆的半径为3．
（2）由a＝1，F(c, 0)，得双曲线的方程：x2－＝1，直线l的方程：y＝x－c，
联立得(c2－2)x2＋2cx＋1－2c2＝0，c2≠2．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，有x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴H的横坐标为＝－，|x1－x2|＝＝，
如图，·＝r2cos∠MHN＝2d2－r2＝2(＋)2－＝－，
整理得c4－2c2－3＝0，有c2＝3，或c2＝－1（舍），
故双曲线的方程为x2－＝1．
y＝－
y＝
x＝－
x＝
H
M
N
K
r
d
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双曲线
一、学习要求
1．了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程．
2．了解双曲线的简单几何性质，重点关注与渐近线相关问题的研究．
二、课前预习
1．双曲线的渐近线的方程是_ _，离心率是__；双曲线的渐近线的方程是__ ，离心率是__；双曲线的渐近线的方程是_ _，离心率是__；等轴双曲线的渐近线方程是_ _，离心率是_ _．
2．平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，|MF1－MF2|是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的_ _条件．
3．双曲线两准线间的距离是，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是__．
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程为x－2y＝0，它的离心率为_ _．
5．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程为_．
【知识与方法】
双曲线是平面上与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点集，即| |PF1|－|PF2| |＝±2a，2a＜2c．其中满足|PF1|－|PF2|＝2a的点仅表示双曲线的一支，这是与椭圆定义有区别的地方，当2a＝2c时，满足|PF1|－|PF2|＝2a的点P的轨迹是一条射线．
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0）
图 形
顶 点 A(a，0)，A’(－a，0) A(0，a)，A’(0，－a)
两 轴 实轴|AA’|＝2a，虚轴|BB’|＝2b
焦 点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦 距 |F1F2|＝2c且c2＝a2＋b2
离心率 e＝(e＞1)
准线方程 x＝和x＝－ y＝和y＝－
焦点半径 设P点的坐标为(x 1，y1)，则|PF1|＝ex1＋a， |PF2|＝ex1－a 设P点的坐标为(x1，y2)，则|PF1|＝ey1＋a， |PF2|＝ey1－a
※几点说明:
1°双曲线的标准方程中,与双曲线有关的待定系数也有四个:a、b、c、e,它们的关系与椭圆不同之处:c2＝a2＋b2,c最大.
2°双曲线的离心率e＞1(而椭圆0＜e＜1).它可以反映双曲线张口大小,e值越大(c、b接近)张口越大,e值接近于1,它的张口越扁狭.
3°双曲线与椭圆不同之处还有重要的一点,即双曲线有两条渐近线,而椭圆没有渐近线.
关于双曲线的渐近线还应掌握以下内容:
如何求双曲线的渐近线？
因为双曲线－＝1的两条渐近线方程可合为(＋)(－)＝0,即－＝0,故要写双曲线的渐近线方程,可以先把方程化成标准形式,然后令右边的常数项为0.同样,双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0
三、典型例题
例1 求满足下列条件的双曲线方程：（1）离心率是，与椭圆＋＝1有公共焦点；（2）与椭圆＋＝1共焦点，且过点（3，）；（3）与双曲线－＝1有公共渐近线，且过点（－3，2）．
例2 双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右准线l2与一条渐近线的交于点P，F是与l2相应的焦点．（1）求证：PF与这条渐近线垂直；（2）求PF；（3）延长FP交左准线l1 和左支分别为Q，R，若Q为R，P的中点，求双曲线的离心率e．
例3 双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a，0)，若C上存在一点P，使·＝0，求此双曲线离心率的取值范围．
双曲线习题课
1．过两点、的双曲线的标准方程为
2．设F1和F2是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上且满足· ＝0， 则△F1MF2的面积是__．
3．过双曲线x2－y2＝8的右焦点F2有一条弦PQ，PQ＝7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为_．
4．曲线＋＝1(m＜6)的离心率是__；曲线＋＝1(5＜m＜9) 的离心率是__．
5．通过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别__和 _．
6．设双曲线以椭圆＋＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为__．
7．双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是__．
8．双曲线－＝1的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△AOF的面积为，则两条渐近线的夹角为__．
9．过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__．
10．设F1和F2为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为__．
11．求适合下列条件的双曲线的方程：
（1）中心在原点，焦点在坐标轴上，虚轴长是实轴长的2倍，且经过点M(4，3)；
（2）与椭圆x2＋4y2＝64有共同焦点，且一条渐近线方程为x＋y＝0．
12．已知双曲线（a＞0，b＞0），直线l过点A(a，0)、B(0，b)，左焦点F1到直线l的距离等于该双曲线虚轴长的．(1)求双曲线的离心率；（2）若F1到左准线的距离与它到渐进线的距离的和是＋4，求双曲线方程．
13．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长为2．一条斜率为1的直线l过右焦点F与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆与右准线交于M，N两点．
（1）若双曲线的离心率为2，求圆的半径；
（2）设AB的中点为H，若·＝－，求双曲线的方程．
y＝－
y＝
x＝－
x＝
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