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6.4.2 正弦定理
第六章 平面向量及其应用
如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，求A，B两点间的距离．
创设情境
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在 ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.
为方便，不妨假设 ABC为直角三角形. 如图：
探究新知
对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究.
思考：向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？
cos(90°－α)=sinα
探究新知
锐角三角形情形
因为 ,
所以
得
即
也即
所以
过点C作 与垂直的单位向量m，可得
如图，在锐角 ABC中，过点A作 与垂直的单位向量 ，则
与 的夹角为 ， 与 的夹角为 .
探究新知
因此， .
钝角三角形情形
如图，在钝角 ABC中，过点A作 与垂直的单位向量 ，则
与 的夹角为 ， 与 的夹角为 .
仿照上述方法，同样可得
综上所述，可以得到如下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即
你能用其他方法证明正弦定理吗？
探究新知
在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c，
边角互化
三角形的面积公式
解：因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.
由 得
因为sin 75°=sin(30°+45°)
=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°= ,
所以
所以a=10 ,b=5 +5 , B=105°.
1.在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形.
练习
题型一：已知两角及一边解三角形
回到情境中的问题：
如图，在△ABC中，BC=24，∠B=45°，∠C=60°，求AB．
应用知识
解：
由正弦定理，得
由三角形内角和定理得A=75°.
练习
题型一：已知两角及一边解三角形
2.在中，，则等于（ ）.
A. B. C. D.
答案：C.
解(1)：因为，所以
因为根据正弦定理，
得故选C.
练习
题型一：已知两角及一边解三角形
3.在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．
解：因为sin B＝，所以B＝30°或150°，
当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；
当B＝150°时，不合题意，舍去．
所以由正弦定理，
得 ，
练习
方法技巧：
已知两角及一边解三角形的策略
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
[注]若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如)，再根据上述思路求解.
练习
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
4.
练习
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
(2)在中，已知求.
解：∵ ，∴，解得.
又∵，，∴.∴，
，
∴.
练习
A
C
b
A
C
b
A
C
b
B
或 有一个解
时无解
时有两个解
问题：为什么角C 有两个值？
探究问题
由三角函数的性质可知，在区间(0,π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦函数求角，只有一解；正弦函数在区间(0, )内单调递增，在区间( ,π)内单调递减，所以利用正弦函数求角，可能有两解.
练习
5.
技巧
方法技巧：
已知两边及一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断出另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论.
练习
6.
技巧
练习
题型三：三角形形状的判断
7.已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若bcos B＝acos A，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形　　　 B．等边三角形
C．直角三角形　　 D．等腰三角形或直角三角形
解：由bcos B＝acos A及正弦定理得sin Bcos B＝sin Acos A sin2A＝sin2B，
由于A，B是三角形的内角，故有2A=2B，或2A+2B=，
即△ABC为等腰三角形或者直角三角形．
若把本例条件变为“bsin B＝csin C”，试判断△ABC的形状．
解：由bsin B＝csin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C.故△ABC为等腰三角形．
练习
练习
方法技巧：
判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；②
(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；②
课堂小结
1.正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
符号语言
2.正弦定理的常见变形
(1)(为外接圆的半径).
(2)(为外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即
(4).
(5),
(6)

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