资源简介 第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点一 函数最值的定义1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2.对于函数f(x),给定区间I,若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值;若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.思考 如图所示,观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象,找出函数f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值.若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?答案 函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a),最小值是f(x3).若区间改为(a,b),则f(x)有最小值f(x3),无最大值.知识点二 求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值;(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( √ )2.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( × )3.有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.( × )4.函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极值.( √ )一、不含参函数的最值问题例1 求下列函数的最值:(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3];(2)f(x)=x+sin x,x∈[0,2π].解 (1)因为f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3],所以f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-),令f′(x)=0,解得x=- 或x=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示.x -2 (-2,-) - (-,) (,3) 3f′(x) + 0 - 0 +f(x) 8 ↗ 8 ↘ -8 ↗ 18因为f(-2)=8,f(3)=18,f()=-8,f(-)=8,所以当x=时,f(x)取得最小值-8;当x=3时,f(x)取得最大值18.(2)f′(x)=+cos x,令f′(x)=0,又x∈[0,2π],解得x=或x=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示.x 0 (,2π) 2πf′(x) + 0 - 0 +f(x) 0 ↗ + ↘ - ↗ π因为f(0)=0,f(2π)=π,f =+,f =-.所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.反思感悟 求函数最值的步骤(1)求函数的定义域.(2)求f′(x),解方程f′(x)=0.(3)列出关于x,f(x),f′(x)的变化表.(4)求极值、端点处的函数值,确定最值.注意:不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.跟踪训练1 求下列函数的最值:(1)f(x)=;(2)f(x)=x2-x-ln x,x∈[1,3].解 (1)函数f(x)=的定义域为R.f′(x)==,当f′(x)=0时,x=2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示.x (-∞,2) 2 (2,+∞)f′(x) + 0 -f(x) ↗ ↘∴f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,∴f(x)无最小值,且当x=2时,f(x)max=f(2)=.(2)f′(x)=2x-1-==,∵x∈[1,3],∴f′(x)≥0在[1,3]上恒成立.∴f(x)在[1,3]上单调递增,∴当x=1时,f(x)min=f(1)=0,当x=3时,f(x)max=f(3)=6-ln 3.二、含参函数的最值问题例2 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.解 f′(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),令f′(x)=0,得x1=-,x2=a.①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-a3.②当a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.③当a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以f(x)min=f =a3.综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;当a=0时,f(x)的最小值为0;当a<0时,f(x)的最小值为a3.延伸探究当a>0时,求函数f(x)=x3-ax2-a2x在[-a,2a]上的最值.解 f′(x)=(3x+a)(x-a)(a>0),令f′(x)=0,得x1=-所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在[a,2a]上单调递增.因为f(-a)=-a3,f =a3,f(a)=-a3,f(2a)=2a3.所以f(x)max=f(2a)=2a3.f(x)min=f(-a)=f(a)=-a3.反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数,从而化为不含参数的函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.跟踪训练2 已知a∈R,函数f(x)=x2,求f(x)在区间[0,2]上的最大值.解 f′(x)=x2-2ax.令f′(x)=0,解得x1=0,x2=2a.令g(a)=f(x)max,①当2a ≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而g(a)=f(x)max=f(2)=-4a.②当2a≥2,即a≥1时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而g(a)=f(x)max=f(0)=0.③当0<2a<2,即0f(x)在 [0,2a]上单调递减,在[2a,2]上单调递增,从而g(a)=综上所述,g(a)=三、由函数的最值求参数问题例3 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.解 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常数函数,与题设矛盾.求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).①当a>0,且当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2f′(x) + 0 -f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.跟踪训练3 已知函数h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.解 ∵h(x)=x3+3x2-9x+1,∴h′(x)=3x2+6x-9.令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1,当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)h′(x) + 0 - 0 +h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗∴当x=-3时,h(x)取极大值28;当x=1时,h(x)取极小值-4.而h(2)=3∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3.所以k的取值范围为(-∞,-3].四、导数在解决实际问题中的应用例4 请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E,F在边AB上,是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解 ∵V(x)=(x)2×(60-2x)×=x2×(60-2x)=-2x3+60x2(0∴V′(x)=-6x2+120x=-6x(x-20).令V′(x)=0,得x=0(舍去)或x=20.∵当00;当20∴V(x)在x=20时取极大值也是唯一的极值,故为最大值.∴底面边长为x=20(cm),高为(30-x)=10(cm),即高与底面边长的比值为.反思感悟 解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量,找出函数关系式,确定定义域.(2)在实际应用问题中,若函数f(x)在定义域内只有一个极值点,则它就是最值点.跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.解 (1)由题设可知,隔热层厚度为x cm,每年能源消耗费用为C(x)=,再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.而建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x (0≤x≤10).(2)f′(x)=6-,令f′(x)=0,即=6.解得x1=5,x2=-(舍去).当00,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+=70.即当隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,且最小值为70万元.1.下列结论正确的是( )A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是在x=a和x=b处取得D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值答案 D解析 函数f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而在[a,b]上一定存在最大值和最小值.2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是( )A.π-1 B.-1 C.π D.π+1答案 C解析 y′=1-cos x,当x∈时,y′>0,则函数在区间上单调递增,所以y的最大值为ymax=π-sin π=π.3.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )A.有最值,但无极值B.有最值,也有极值C.既无最值,也无极值D.无最值,但有极值答案 C解析 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,无最大值和最小值,也无极值.4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为( )A. cm B. cm C. cm D. cm答案 B解析 设圆锥的高为h cm,0∴V圆锥=π(202-h2)×h=π(400-h2)h∴V′=π(400-3h2),令V′=0得h=,当h∈时,V′>0,当h∈时,V′<0,故当h=时,体积最大.5.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,则a的值为______, f(x)在[-2,2]上的最大值为________.答案 3 3解析 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).由f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2f′(x) + 0 - 0f(x) -40+a ↗ 极大值a ?↘ -8+a所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,所以a=3.所以当x=0时,f(x)取得最大值3.1.知识清单:(1)函数最值的定义.(2)求函数最值的步骤.(3)函数最值的应用.2.方法归纳:方程思想、分类讨论.3.常见误区:忽视函数的最值与极值的区别与联系.1.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f′(x)( )A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定答案 A解析 因为M=m,所以f(x)为常数函数,故f′(x)=0,故选A.2.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)答案 A解析 令F(x)=f(x)-g(x),∵f′(x)∴F′(x)=f′(x)-g′(x)<0,∴F(x)在[a,b]上单调递减,∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a).3.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是( )A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19答案 C解析 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1 [-3,0].所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销量为Q,销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元答案 D解析 设毛利润为L(P).则L(P)=PQ-20Q=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,所以L′(P)=-3P2-300P+11 700.令L′(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).此时,L(30)=23 000.根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.5.(多选)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的值可以为( )A.0 B. C. D.1答案 BC解析 ∵f′(x)=3x2-3a,且f′(x)=0有解,∴a=x2.又∵x∈(0,1),∴06.若函数f(x)=x3-3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m=________,n=________.答案 18 -2解析 f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).又因为x∈[0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,3]时,f′(x)>0,所以当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=-2.又f(0)=0,f(3)=18,所以m=18,n=-2.7.设0答案 解析 y′==.因为0所以当0;当0所以当x=时,ymin=.8.已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b为实数,且a>1)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-2,则a-b=________,f(x)的解析式为________________.答案 f(x)=x3-2x2+1解析 f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a),令f′(x)=0得x1=0,x2=a,当x∈[-1,0]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,当x∈(0,1]时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(0)=b=1,因为f(-1)=-a,f(1)=2-a,所以f(x)min=f(-1)=-a,所以-a=-2,即a=,所以a-b=-1=,所以f(x)=x3-2x2+1.9.求下列函数的最值:(1)f(x)=sin x+cos x,x∈;(2)f(x)=ln(1+x)-x2,x∈[0,2].解 (1)f′(x)=cos x-sin x.令f′(x)=0,即tan x=1,且x∈,所以x=.又因为f =,f =-1,f =1,所以当x∈时,函数的最大值为f =,最小值为f =-1.(2)f′(x)=-x,令-x=0,化简为x2+x-2=0,解得x1=-2(舍去),x2=1.当0≤x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当1所以f(1)=ln 2-为函数f(x)的极大值.又f(0)=0,f(2)=ln 3-1>0,f(1)>f(2).所以f(0)=0为函数f(x)=ln(1+x)-x2在[0,2]上的最小值,f(1)=ln 2-为函数在[0,2]上的最大值.10.已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.解 f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0,则f′(x)≤0,函数f(x)单调递减,所以当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0.若a>0,则令f′(x)=0,解得x=±.因为x∈[0,1],所以只考虑x=的情况.(1)若0<<1,即0x 0 (0,) (,1) 1f′(x) + 0 -f(x) 0 ↗ 2a ↘ 3a-1(2)若≥1,即a≥1,则当0≤x≤1时,f′(x)≥0,函数f(x)在[0,1]上单调递增,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1.综上可知,当a≤0,x=0时,f(x)有最大值0,当0当a≥1,x=1时,f(x)有最大值3a-1.11.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]答案 A解析 f′(x)=ex-1,令f′(x)>0,解得x>0,令f′(x)<0,解得x<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a.若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.12.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是( )①f(x)>0的解集是{x|0②f(-)是极小值,f()是极大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值.A.①③ B.①②③ C.② D.①②答案 D解析 由f(x)>0得0f′(x)=(2-x2)ex,令f′(x)=0,得x=±,当x<-或x>时,f′(x)<0,当-0,∴当x=-时,f(x)取得极小值,当x=时,f(x)取得极大值,故②正确.当x→-∞时,f(x)<0,当x→+∞时,f(x)<0,且f()>0,结合函数的单调性可知,函数f(x)有最大值无最小值,故③不正确.13.函数f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是________,最小值是________.答案 2 -2解析 f′(x)===,令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1.又f(-2)=-,f(-1)=-2,f(1)=2,f(2)=,∴f(x)max=2,f(x)min=-2.14.一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________ m时,帐篷的体积最大.答案 2解析 设OO1=x m,则1由题设可得正六棱锥底面边长为=.于是底面正六边形的面积为6··()2=(8+2x-x2).帐篷的体积为V(x)=(8+2x-x2)=(16+12x-x3).则V′(x)=(12-3x2).令V′(x)=0,解得x=-2(不合题意,舍去)或x=2.当10,V(x)单调递增;当2综上,当x=2时,V(x)最大.15.设函数f(x)=ax3-3x+1(a>1),若对于任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为_________.答案 4解析 由题意得,f′(x)=3ax2-3,当a>1时,令f′(x)=3ax2-3=0,解得x=±,±∈[-1,1].①当-10,f(x)单调递增;②当-③当0,f(x)单调递增.所以只需f ≥0,且f(-1)≥0即可,由f ≥0,得a·3-3·+1≥0,解得a≥4,由f(-1)≥0,可得a≤4,综上可得a=4.16.已知函数f(x)=ln x+.(1)当a<0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值.解 函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+∞),f′(x)=-=,(1)∵a<0,∴f′(x)>0,故函数在其定义域(0,+∞)上单调递增.∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.(2)当x∈[1,e]时,分如下情况讨论:①当a<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a<1,这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾;②当a=1时,函数f(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为f(1)=1,同样与最小值是相矛盾;③当10,f(x)单调递增,∴函数f(x)的最小值为f(a)=ln a+1,由ln a+1=,得a=.④当a=e时,函数f(x)在[1,e]上有f′(x)≤0,f(x)单调递减,其最小值为f(e)=2,这与最小值是相矛盾;⑤当a>e时,显然函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为f(e)=1+>2,仍与最小值是相矛盾.综上所述,a的值为.5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一 函数极值的定义1.极小值点与极小值若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2.极大值点与极大值若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.3.极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值.知识点二 函数极值的求法与步骤1.求函数y=f(x)的极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.2.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域,求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根;(3)列表;(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.1.导数为0的点一定是极值点.( × )2.函数的极大值一定大于极小值.( × )3.函数y=f(x)一定有极大值和极小值.( × )4.函数的极值点是自变量的值,极值是函数值.( √ )一、求函数的极值例1 求下列函数的极值:(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=x-aln x(a∈R).解 (1)f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0,即3x2-6x-9=0,解得x1=-1,x2=3.当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴当x=-1时,函数y=f(x)有极大值,且f(-1)=10;当x=3时,函数y=f(x)有极小值,且f(3)=-22.(2) f(x)=x-aln x的定义域为(0,+∞),由f′(x)=1-=,x>0,知①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.跟踪训练1 (1)求函数f(x)=-2的极值.解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)==-.令f′(x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)f′(x) - 0 + 0 -f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘由上表可以看出,当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1.(2)已知函数f(x)=x++1,a∈R.求此函数的极值.解 函数的定义域为{x|x≠0},f′(x)=1-=.当a≤0时,显然f′(x)>0,这时函数f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上均单调递增,此时函数无极值.当a>0时,令f′(x)=0,解得x=±.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-) - (-,0) (0,) (,+∞)f′(x) + 0 - - 0 +f(x) ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗由上表可知,当x=-时,函数取得极大值f(-)=-2+1.当x=时,函数取得极小值f()=2+1.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=-处取得极大值-2+1,在x=处取得极小值2+1.二、由极值求参数的值或取值范围例2 (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a=________,b=________.答案 4 -11解析 f′(x)=3x2+2ax+b,依题意得即解得或但由于当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以不符合题意,应舍去.而当a=4,b=-11时,经检验知符合题意,故a,b的值分别为4,-11.(2)已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.解 f′(x)=x2-(m+3)x+m+6.因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,所以f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.所以解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.跟踪训练2 (1)若函数f(x)=ax-ln x在x=处取得极值,则实数a的值为( )A. B. C.2 D.答案 A解析 因为f′(x)=a-,所以f′=0,即a-=0,解得a=.(2)已知函数f(x)=x3-x2+ax-1.①若函数的极大值点是-1,求a的值;②若函数f(x)有一正一负两个极值点,求a的取值范围.解 ①f′(x)=x2-2x+a,由题意得,f′(-1)=1+2+a=0,解得a=-3,则f′(x)=x2-2x-3,经验证可知,f(x)在x=-1处取得极大值,故a=-3.②由题意得,方程x2-2x+a=0有一正一负两个根,设为x1,x2,则x1x2=a<0,故a的取值范围是(-∞,0).三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题例3 已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数y=f(x)的图象与y=f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.解 由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f′(x)=3x2-12x+9, f′(x)+5x+m=(3x2-12x+9)+5x+m=x2+x+3+m.则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点.∵g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),∴令g′(x)=0,得x=或x=4.当x变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下表:x 4 (4,+∞)g′(x) + 0 - 0 +g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗则函数g(x)的极大值为g=-m,极小值为g(4)=-16-m.由g(x)的图象与x轴有三个不同的交点,得解得-16∴实数m的取值范围为.反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.(2)解决这类问题,一个就是注意借助几何图形的直观性,另一个就是正确求导,正确计算极值.跟踪训练3 若函数f(x)=x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点,则实数a的取值范围是________.答案 解析 ∵f(x)=x3-4x+4,∴f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2).令f′(x)=0,得x=2或x=-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴当x=-2时,函数取得极大值f(-2)=;当x=2时,函数取得极小值f(2)=-.且f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.根据函数单调性、极值的情况,它的图象大致如图所示,结合图象知-1.(多选)函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,则下面结论正确的是( )A.在(1,2)上函数f(x)单调递增B.在(3,4)上函数f(x)单调递减C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点答案 ABC解析 由题图可知,当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当2<x<4时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当4<x<5时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,∴x=2是函数f(x)的极大值点,x=4是函数f(x)的极小值点,故A,B,C正确,D错误.2.(多选)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个单调递增区间是( )A.(-∞,2) B.(3,+∞)C.(2,+∞) D.(-∞,3)答案 AB解析 ∵f′(x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值,∴f′(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,∴f′(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),由f′(x)>0得x<2或x>3.3.设函数f(x)=xex,则( )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点答案 D解析 令f′(x)=ex+x·ex=(1+x)ex=0,得x=-1.当x<-1时,f′(x)<0;当x>-1时,f′(x)>0.故x=-1为f(x)的极小值点.4.函数f(x)=x3-3x2+1的极小值点为________.答案 2解析 由f′(x)=3x2-6x=0,解得x=0或x=2.列表如下:x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴当x=2时,f(x)取得极小值.5.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a=___________,b=________.答案 2 -4解析 f′(x)=3x2+2ax+b,由题意知即解得经验证知符合题意.1.知识清单:(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.(3)函数极值的应用.2.方法归纳:方程思想、分类讨论.3.常见误区:导数值等于零不是此点为极值点的充要条件.1.下列函数中存在极值的是( )A.y= B.y=x-exC.y=2 D.y=x3答案 B解析 对于y=x-ex,y′=1-ex,令y′=0,得x=0.在区间(-∞,0)上,y′>0;在区间(0,+∞)上,y′<0.故当x=0时,函数y=x-ex取得极大值.2.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)答案 D解析 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2当1当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e)上的极大值为( )A.-e B.-1C.1-e D.0答案 B解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-1.令f′(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,e)时,f′(x)<0,故f(x)在x=1处取得极大值f(1)=ln 1-1=0-1=-1.4.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于( )A.-4 B.-2 C.4 D.2答案 D解析 ∵f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0,则x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,则f(x)单调递减,∴f(x)的极小值点为a=2.5.(多选)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的值可以是( )A.-4 B.-3 C.6 D.8答案 AD解析 由题意知f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,解得a>6或a<-3.6.f(x)=的极小值为________.答案 -解析 f′(x)==.令f′(x)<0,得x<-2或x>1;令f′(x)>0,得-2所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减,在(-2,1)上单调递增,所以f(x)极小值 =f(-2)=-.7.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=________.答案 -解析 因为f′(x)=+2bx+1,由题意得所以a=-.8.已知关于x的函数f(x)=-x3+bx2+cx+bc,如果函数f(x)在x=1处取得极值-,则b=________,c=________.答案 -1 3解析 f′(x)=-x2+2bx+c,由解得或若b=1,c=-1,则f′(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0,此时f(x)没有极值;若b=-1,c=3,则f′(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),当-30,当x>1时,f′(x)<0,所以当x=1时,f(x)有极大值-.故b=-1,c=3即为所求.9.设函数f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.解 (1)f′(x)=-+(x>0).由题意知,曲线在x=1处的切线斜率为0,即f′(1)=0,从而a-+=0,解得a=-1.(2)由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0),f′(x)=--+==.令f′(x)=0,解得x1=1,x2=-(舍去).当x∈(0,1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上单调递增.故f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=3,无极大值.10.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?解 (1)f′(x)=3x2-2x-1.令f′(x)=0,得x=-或x=1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x - 1 (1,+∞)f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ?↗∴f(x)的极大值是f =+a,极小值是f(1)=a-1.(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0,x取足够小的负数时,有f(x)<0,∴曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.由(1)知f(x)极大值=f =+a,f(x)极小值=f(1)=a-1.∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0,即+a<0或a-1>0,∴a<-或a>1,∴当a∈∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.11.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )答案 C解析 因为f(x)在x=-2处取得极小值,所以当x<-2时,f(x)单调递减,即f′(x)<0;当x>-2时,f(x)单调递增,即f′(x)>0.所以当x<-2时,y=xf′(x)>0;当x=-2时,y=xf′(x)=0;当-2<x<0时,y=xf′(x)<0;当x=0时,y=xf′(x)=0;当x>0时,y=xf′(x)>0.结合选项中的图象知选C.12.函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.答案 y=-解析 由题意知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,代入函数解析式可得极值点的坐标为,又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y=-.13.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为________.答案 [1,5)解析 ∵f′(x)=3x2+2x-a,函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,即f′(x)=0在(-1,1)内恰有一个根.又函数f′(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-.∴应满足∴∴1≤a<5.14.若函数f(x)=x3-3ax+1在区间(0,1)内有极小值,则a的取值范围为________.答案 (0,1)解析 f′(x)=3x2-3a.当a≤0时,在区间 (0,1)上无极值.当a>0时,令f′(x)>0,解得x>或x<-.令f′(x)<0,解得-若f(x)在(0,1)内有极小值,则0<<1.解得015.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示,且f(x)在x=x0与x=2处取得极值,则f(1)+f(-1)的值一定( )A.等于0 B.大于0C.小于0 D.小于或等于0答案 B解析 f′(x)=3ax2+2bx+c.令f′(x)=0,则x0和2是该方程的根.∴x0+2=-<0,即>0.由题图知,f′(x)<0的解集为(x0,2),∴3a>0,则b>0,∵f(1)+f(-1)=2b,∴f(1)+f(-1)>0.16.设函数f(x)=-(a+1)x2+4ax+b,其中a,b∈R.(1)若函数f(x)在x=3处取得极小值,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)若函数f(x)在(-1,1)上只有一个极值点,求实数a的取值范围.解 (1)因为f′(x)=x2-2(a+1)x+4a,所以f′(3)=9-6(a+1)+4a=0,得a=.由f(3)=×27-×9+4××3+b=,解得b=-4.(2)因为f′(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2a)(x-2),令f′(x)=0,得x=2a或x=2.当a>1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2),(2a,+∞);当a=1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2a),(2,+∞).(3)由题意可得即化简得解得-所以实数a的取值范围是. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 选择性必修第二册第五章 5.3.2 第1课时 函数的极值.docx 选择性必修第二册第五章 5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值.docx