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第九节　函数模型及其应用
教学目标：
1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a>0)
2.三种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
1．(人教A版必修第一册P155·T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　 )
A．40万元 B．60万元 C．80万元 D．120万元
解析：选D　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．
2．(苏教版必修第一册P141·T2改编)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　 )
A．ln 2 B．ln 3 C. D．
解析：选C　由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝.
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　 )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：选B　在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x)．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．
解析：令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，满足题意；若1.5x＝160，则x＝ N*，不合题意．故拟录用人数为75.
答案：75
基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　已知函数模型解决实际问题　
[题点全训]
1．(2021·北京顺义区高三二模)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃.那么t min后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是38 ℃，则k的值约为(ln 3≈1.10，ln 7≈1.95)(　 )
A．0.25 B．－0.25 C．0.89 D．－0.89
解析：选A　由题意可知，θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，当θ1＝46，θ0＝10，t＝1时，θ＝38，代入公式得，38＝10＋(46－10)e－k即e－k＝＝，则k＝－ln＝2ln 3－ln 7≈2.20－1.95＝0.25.
2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　 )
A．60 B．65 C．66 D．69
解析：选B　由已知可得＝0.95K，解得e＝，两边取对数有－0.23(t*－52)＝－ln 19≈－3，解得t*≈65.
3．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示人类能听到的声强范围，其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约10－12 W/m2)为标准声强，记作I0，声强I与标准声强I0之比的常用对数称为声强的声强级，记作L，即L＝lg，声强级L的单位名称为贝(尔)，符号为B，取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝(尔)，简称分贝(dB)．《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140 dB.一个士兵大喝一声的响度为90 dB，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度，那么这群士兵的人数为(　 )
A．1万 B．2万 C．5万 D．10万
解析：选D　设张飞大喝一声的声强为I1，一个士兵大喝一声的声强为I2，由题意知，标准声强I0＝10－12 W/m2，因为张飞大喝一声的响度为140 dB，所以140＝10lg，解得I1＝10－12×1014＝100(W/m2)，因为一个士兵大喝一声的响度为90 dB，所以90＝10lg，解得I2＝10－12×109＝10－3(W/m2)，又因为＝＝105，所以如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度，那么这群士兵的人数为10万．
[一“点”就过]
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
基础点(二)　利用函数图象刻画实际问题　
[题点全训]
1．(2021·肇庆高三三模)某工厂从2013年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间t的函数图象可能是(　 )
解析：选B　由题意可得，图象的几何特征应为从左向右看每个点的切线斜率应逐渐减小，然后斜率变为一个固定的值，符合此特征的只有选项B中的图象，故选B.
2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　 )
解析：选D　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当43．(多选)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(单位：s)，他与教练间的距离为y(单位：m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置不可能是图1中的(　 )
A．点M B．点N C．点P D．点Q
解析：选ABC　假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随t的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，故选A、B、C.
[一“点”就过]
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案.
重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　构建指数、对数函数模型解决实际问题
[典例]　某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2020年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　 )
A．2022年 B．2023年
C．2024年 D．2025年
[解析]　若2021年是第1年，则第n(n∈N*)年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，即从2024年起，该校全年投入的科研经费开始超过2 000万元，故选C.
[答案]　C
在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p是增长率，x为时间)的形式．　　
[针对训练]
2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)(　 )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选C　设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln 0.90≈≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.
重难点(二)　构建二次函数、分段函数模型解决实际问题
[典例]　经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：百件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝价格满足g(t)＝200－t(1≤t≤100，t∈N)．
(1)求该种商品的日销售额h(t)与时间t的函数关系；
(2)t为何值时，日销售额最大？最大为多少？
[解]　(1)由题意知，当1≤t≤60，t∈N时，h(t)＝f(t)·g(t)＝(60＋t)·(200－t)＝－t2＋140t＋12 000，当61≤t≤100，t∈N时，h(t)＝f(t)·g(t)＝·(200－t)＝t2－250t＋30 000，∴h(t)＝
(2)当1≤t≤60，t∈N时，h(t)＝－t2＋140t＋12 000＝－(t－70)2＋16 900，∴函数h(t)在[1,60]上单调递增，故h(t)max＝h(60)＝16 800(百元)；当61≤t≤100，t∈N时，h(t)＝t2－250t＋30 000＝(t－250)2－1 250，∴函数h(t)在[61,100]上单调递减，故h(t)max＝h(61)＝16 610.5(百元)，∵16 610.5<16 800，∴当t＝60时，日销售额最大，最大为16 800百元．
常见函数模型的选取及应用策略
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是正相关或负相关或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
(2)实际问题中的面积问题、利润问题、产量问题等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车的计费与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．　　
[针对训练]
某地区预计2021年的前x个月内对某种商品的需求总量f(x)(单位：万件)与月份x的近似关系式是f(x)＝x(x＋1)·(19－x)，x∈N*,1≤x≤12，求：
(1)2021年的第x月的需求量g(x)(单位：万件)与月份x的函数关系式；
(2)第几个月需求量g(x)最大．
解：(1)由题意得，当x＝1时，g(1)＝f(1)＝×2×18＝；当2≤x≤12，x∈N*时，g(x)＝f(x)－f(x－1)＝x(x＋1)(19－x)－(x－1)x(20－x)＝x(13－x)．又因为g(1)＝满足g(x)＝x(13－x)，所以2021年的第x月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式为g(x)＝x(13－x)，x∈N*,1≤x≤12.
(2)g(x)＝x(13－x)＝[42.25－(x－6.5)2]，又因为x∈N*，所以根据二次函数性质知，当x＝6或7时，g(x)最大．所以第六个月或第七个月需求量g(x)最大．
重难点(三)
[典例]　某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量M(x)(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：M(x)＝单株成本投入(含施肥、人工等)为30x元．已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元)．
(1)求f(x)的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
[解]　(1)由题意得，f(x)＝15M(x)－30x，整理得f(x)＝
(2)由(1)得f(x)＝
①当0≤x≤2时，f(x)max＝f(2)＝465；②当2解决与分式函数有关的实际应用问题的难点
(1)构建函数式．破解此难点的方法是仔细审题，恰当地设出未知数，把题目条件的文字叙述所表达的等量关系转化为函数式．
(2)根据构建的函数式求最值．由于得到的函数式为分式函数，一般要通过拆分、合并等变形把其化为at＋(a>0，b>0)的形式，再利用基本不等式求最值，同时要注意等号是否成立．　　
[针对训练]
某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有200 m2的坝面渗水．经测算知渗水现象正在以每天4 m2的速度扩散．当地政府积极组织工人进行抢修．已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2 m2，每人每天所消耗的维修材料费75元，劳务费50元，给每人发放50元的服装补贴，每渗水1 m2的损失为250元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
(1)写出n关于x的函数关系式；
(2)要使总损失最小，应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出)
解：(1)由题意知，抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为2nx，而渗水的面积为200＋4n，所以有2nx＝200＋4n，可得n＝，x≥3，x∈N*.
(2)设总损失为y，则y＝125nx＋50x＋250×2nx＝625nx＋50x＝625·＋50x＝50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋x))＝50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋x))＝50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋x＋1 250))＝50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋x－2＋1 252))≥50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋1 252))＝50(2×50＋1 252)＝67 600，当且仅当＝x－2，即x＝52时，等号成立．所以应派52名工人去抢修，总损失最小．
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1.(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是(　 )
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
解析：选BD　由题图得，前三小时的产量在逐步减少，故A错误，B正确；最后两小时内没有生产产品，故C错误，D正确．故选B、D.
2．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　 )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
解析：选B　因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8天．
3．2020年12月24日起，铁路部门在京沪高铁，成渝高铁的部分车次试点“静音车厢”服务，为旅客提供更加安静、舒适的旅行环境．假设强度为v的声音对应的分贝为f(v) dB，且f(v)与lg v的关系可用一次函数进行模拟，强度为10－4的声音对应的分贝为80 dB，强度为10－11的声音对应的分贝为10 dB.若“静音车厢”内要求产生的声音不超过30 dB，则其对应的声音强度应不超过(　 )
A．10－9 B．10－7 C．10－6 D．10－5
解析：选A　由已知，设f(v)＝klg v＋m(k≠0)，则解得所以f(v)＝10lg v＋120，则由f(v)≤30可得04.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　 )
解析：选B　水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.
5．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　 )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
解析：选C　设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可获得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
6．某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
解析：由题意知100＝alog2(1＋1) a＝100，当x＝7时，可得y＝100log2(7＋1)＝300.
答案：300
7．(2022·深圳模拟)冈珀茨模型(y＝k·abt)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y＝k0·e1.4e－0.125t(当t＝0时，表示2020年初的种群数量)，若m(m∈N*)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为________．(ln 2≈0.7)
解析：由题意知，k0·e1.4e－0.125mln 2≈0.7，则1－e－0.125m>，所以e－0.125m<，解得m>≈＝5.6，又m∈N*，所以m的最小值为6.
答案：6
8．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．则日销售额的最大值为________．
解析：设日销售额为S，当1≤t≤30时，S＝(－2t＋200)×＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400，∴当t＝20时，Smax＝6 400；当31≤t≤50时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000，∴当t＝31时，Smax＝6 210.∵6 210<6 400，∴当t＝20时，日销售额有最大值6 400.
答案：6 400
9．某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)可近似看作一次函数y＝－x＋100的关系．设商店获得的利润(利润＝销售总收入－总成本)为S元．
(1)试用销售单价x表示利润S；
(2)试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
解：(1)S(x)＝xy－40y＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋100)＝－x2＋140x－4 000(40≤x≤80)．
(2)S(x)＝－(x－70)2＋900(40≤x≤80)，所以当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
10．某市乘出租车计费规定：3公里以内7元，超过3公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.5元计费．
(1)写出乘出租车所走公里数x与乘车费y的函数关系y＝f(x)．
(2)若甲、乙两地相距12公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费多少元？
解：(1)设乘出租车走x公里，车费为y元，当08时，y＝15＋2.5(x－8)＝2.5x－5.所以y＝
(2)因为甲、乙两地相距12公里，即x＝12>8，所以车费y＝2.5×12－5＝25(元)．所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费25元．
二、重点难点培优训练
1.(2022·厦门一模)(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则(　 )
A．a＝3
B．注射一次治疗该病的有效时长为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时长为5小时
解析：选AD　由函数图象可知y＝当t＝1时，y＝4，即1－a＝4，解得a＝3，所以y＝故A正确；设药物刚好起效的时间为t1，则4t1＝0.125，解得t1＝，设药物刚好失效的时间为t2，则＝0.125，解得t2＝6，故药物有效时长为t2－t1＝6－＝5小时，药物的有效时长不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×＝0.5微克，故C错误，故选A、D.
2．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)．其中星等为mi的天体的亮度为Ei(i＝1,2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)(　 )
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
解析：选C　由题意，得1－1.25＝2.5(lg E2－lg E1)，所以lg＝，解得r＝＝10.又10x≈1＋2.3x＋2.7x2(|x|较小)，所以r≈1＋2.3×＋2.7×2＝1.257.故与r最接近的是1.26.
3．(2022·西安中学高三月考)2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2 (N0表示碳14原有的质量)，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约________年．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)
解析：由题意，N＝N0·2，由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，∴N0·2＝N0，即2＝，两边同时取以2为底的对数，得＝log23－log27＝－≈－＝－1.2，∴T＝1.2×5 730＝6 876年．∴推测良渚古城存在的时期距今约6 876年．
答案：6 876
4．新冠肺炎疫情期间，各地医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足19万件时，W(x)＝x2＋x(万元)，在年产量大于或等于19万件时，W(x)＝26x＋－320(万元)，每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)因为每件商品售价为25元，则x万件商品销售收入为25x万元，依题意得，当0(2)当0联系QQ1127636121加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸

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