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第六节　对数与对数函数
教学目标：
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax a>0，且a≠1 互为反函数.
1．对数式
概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数
基本性质 loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(N>0)，logaax＝x，其中a>0，且a≠1
2．对数的运算
运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式及推论 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．推论：logab·logba＝1，即logab＝；logbn＝logab；logNM＝＝；logab·logbc·logcd＝logad
3．对数函数的图象与性质
y＝logax 0＜a＜1 a＞1
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y<0；当00 当x>1时，y>0；当0在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．
(1)不论a>1还是00，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交．
(2)不论a>1还是00，且a≠1)的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象．
(3)底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性．因此若底数a的大小不确定，则需要分01两种情况讨论．
1．log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　 )
A．0 B．2 C．4 D．6
解析：选D　原式＝2log23×2log32＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.
2．(人教A版必修第一册P127·T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　 )
A. B. C．2a＋b D．2b＋a
解析：选A　log1210＝＝＝.
3．(苏教版必修第一册P149·T3改编)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　 )
A．a答案：A
4．(湘教版必修第一册P123·T19)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　 )
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
答案：D
5．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案：(4，－1)
6．函数y＝log (3x－1)的单调递减区间为________．
答案：
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　对数式的运算　
[题点全训]
1．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　 )
A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac
C.＝＋ D．＝－
解析：选AD　由题意，设4a＝6b＝9c＝M(M＞0)，则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，∴＝logM4，＝logM6，＝logM9.∵logM4＋logM9＝2logM6，∴＋＝，即＝－，整理得，ab＋bc＝2ac，易知A、D正确，B、C错误．
2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　 )
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
解析：选A　由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.
3．计算下列各式：
(1)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2＝________.
(2)＝________.
(3)log5＋31＋log32＋lg 200－lg 2＝________.
解析：(1)原式＝lg(5×100)＋lg 8－lg 5－lg 26＋50＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.
(2)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
(3)原式＝log5eq \f(5,5)＋3log36＋lg(102×2)－lg 2＝－＋6＋2＋lg 2－lg 2＝.
答案：(1)52　(2)1　(3)
[一“点”就过]
对数运算的一般思路
转化 ①利用ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算
恒等式 注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用
拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简
合并 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
基础点(二)　对数函数图象的识辨　
[题点全训]
1．若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致为(　 )
解析：选B　由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象大致为选项B.
2．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　 )
解析：选D　当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．
显然A、B、C、D四个选项都不符合．
当0于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减．
因此，选项D中的两个图象符合，故选D.
[一“点”就过]
研究对数型函数图象的思路
(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等，通过排除法求解．
(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　对数函数图象的应用　
[典例]　(1)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　 )
A. B. C．(1，) D．(，2)
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________．
[解析]　(1)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，
解得a＞，∴＜a＜1，故选B.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，
当0[答案]　(1)B　(2)
对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体步骤如下：
(1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；
(2)在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)及函数y＝g(x)的图象；
(3)观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数，由此确定参数的取值或不等式的解的情况．　　
[针对训练]
1．(2022·海南模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选B　f(x)＝|ln x|的图象如图所示，因为01，所以－ln a＝ln b，所以ab＝1，所以2a＋b≥2＝2，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时等号成立．
2．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　 )
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
解析：选D　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．
显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，
所以10x1＝lg(－x1)，
10x2＝－lg(－x2)，此时10x1＜10x2，
即lg(－x1)＜－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)＜0，
所以0＜x1x2＜1，故选D.
重难点(二)　对数函数的性质及应用　
考法1　比较大小
[例1]　已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，则(　 )
A．c>b>a B．a>b>c
C．c>a>b D．a>c>b
[解析]　由对数运算公式得，＝log26＝1＋log23，＝log412＝1＋log43，＝log618＝1＋log63，易知log23>log43>log63>0，即>>＞1，故c>b>a.
[答案]　A
[方法技巧]　比较对数函数值大小的方法
单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法 根据图象观察得出大小关系
考法2　解对数不等式
[例2]　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log (2x－5))>f(log38)的解集为(　 )
A. B.
C. D.
[解析]　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f(log (2x－5))>f(log38)化为|log (2x－5)|>|log38|，即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38＝log3，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或[答案]　C
常见的对数不等式的类型及解题方法
(1)解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，常借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)解形如logaf(x)>b的不等式，应先将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解．
(3)解形如logaf(x)>logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式，利用对数函数的单调性“脱去”对数符号，同时应保证真数大于零．　　
考法3　对数函数的性质的综合应用
[例3]　已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
[解]　(1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.又当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立，所以3－2a>0，所以a<.又a>0且a≠1，所以a∈(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，所以函数t(x)为减函数．因为f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以y＝logat为增函数，所以a>1，当x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，所以即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
[方法技巧]
解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．　　
[针对训练]
1．(2021·天津高考)设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　 )
A．aC．b解析：选D　∵log20.3log22＝1，∴b>1，∵0<0.40.3<0.40＝1，∴02．(多选)若f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列命题正确的是(　 )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增
C．f(x)没有最大值
D．f(x)没有最小值
解析：选ABC　对于A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)，∵lg(|－x|＋1)＝lg(|x|＋1)，∴f(x＋2)为偶函数，A正确；对于B，当x≥0时，f(x＋2)＝lg(x＋1)，∴f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递增；∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度后得到f(x)的图象，∴f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，B正确；对于C、D，根据f(x)的单调性，知f(x)min＝f(2)，无最大值，故C正确，D错误．
3．已知loga<1，那么a的取值范围是________．
解析：∵loga<1＝logaa，∴当01时，y＝logax为增函数，得a>，∴a>1.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
不会构造函数解决指数、对数的综合问题
解决有关指数、对数综合问题时，可能遇到以下解题瓶颈：一是不会构造函数，活用初等函数的单调性解题；二是不会放缩，不能准确比较两个数(式)的大小．
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[典例]　(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　 )
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
[解析]　令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log22b，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b.故选B.
[答案]　B
　　解决本题时，若不构造函数很难得出答案，本题构造函数的策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求解．解决指数函数与对数函数的综合问题时，一般运用指数函数的图象与性质等知识．　　
[针对训练]
(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　 )
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
解析：选A　由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－x＜2y－y.设f(x)＝2x－x，则f(x)＜f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，则由f(x)＜f(y)，得x＜y，所以y－x＞0，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞0，故选A.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽略对数式对真数的限制条件)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝(　 )
A．4 B．1 C．4或1 D．
解析：选A　由题意得
∴由①得x2－5xy＋4y2＝0，∴2－＋4＝0，解得＝4或＝1(不满足②，舍去)，∴＝4.
2．(忽略对底数的讨论)已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　 )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2]
解析：选C　当00恒成立，所以解得≤a≤；当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，所以解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．
3．(忽略对数函数的定义域)若函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围是(　 )
A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．(1，＋∞)
解析：选B　令u＝2－ax，因为a>0，所以u＝2－ax在定义域上是减函数，要使函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则函数y＝logau在其定义域上必为增函数，故a>1.当x∈[0,1]时，umin＝2－a×1＝2－a.因为2－ax>0在x∈[0,1]时恒成立，所以umin>0，即2－a>0，a<2.综上可知，a的取值范围是(1,2)．
二、融会贯通应用创新题
4．(体现数学应用)交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝(dB)为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v的声音对应的分贝数为f(v)dB，那么满足：f(v)＝10×lg.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90 dB，则90 dB的声音与50 dB的声音强度之比为(　 )
A．40 B．100 C．40 000 D．10 000
解析：选D　设90 dB的声音与50 dB的声音强度分别为v1，v2，由公式f(v)＝10×lg可知，109＝，105＝，解得v1＝10－3，v2＝10－7，所以＝10 000，故选D.
5．(结合新定义问题)对任意实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为(　 )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C. D．
解析：选B　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log(3x－2)和y＝log2x的大致图象，得到f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，\f(2,3)6．(弘扬传统文化)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝0.32.1，b＝log30.8，c＝30.8，对方的三个数以及排序如表：
第一局 第二局 第三局
对方 3 0.9 0.027
则我方必胜的排序是________．
解析：由指数函数性质知0.33<0.32.1<1，a＝0.32.1∈(0.33,1)，c＝30.8∈(1，＋∞)，由对数函数性质知b<0，因此当排序为b，c，a时，我方必胜．
答案：b，c，a
7．(强化开放思维)已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________.(写出一个即可)
解析：符合对数函数幂的对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn)．
答案：log2x(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1.(2022·江苏高二月考)函数f(x)＝eq \r(log 2x＋1 )的定义域为(　 )
A. B.
C. D．{x|x≥0}
解析：选C　因为f(x)＝eq \r(log 2x＋1 )，所以log(2x＋1)≥0，即log(2x＋1)≥log1，所以0<2x＋1≤1，解得－2．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(ln 6)＝(　 )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选C　由题意，函数f(x)＝
则f(－2)＋f(ln 6)＝1＋log2[2－(－2)]＋eln 6＝1＋2＋6＝9.
3．(2021·郑州三模)已知55>32，a＝log23，b＝log35，c＝，则(　 )
A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．b>c>a
解析：选A　由对数函数的性质，可得a＝log23>log2＝，b＝log35b；又由lg 55>lg 32，所以5lg 5>2lg 3，即＝log35>，所以b>c，所以a>b>c.
4．函数f(x)＝－loga(x－b)及g(x)＝bx＋a，则y＝f(x)及y＝g(x)的图象可能为(　 )
解析：选B　当00单调递减，f(t)＝logat单调递减，所以f(x)＝loga单调递增且定义域为(b，＋∞)，此时g(x)＝bx＋a与y轴的截距a∈(0,1)，排除C.当a>1时，t＝>0单调递减，f(t)＝logat单调递增，所以f(x)＝loga单调递减且定义域为(b，＋∞)，此时g(x)＝bx＋a与y轴的截距a∈(1，＋∞)，故排除D；对于A、B，由y＝g(x)的图象知b＜0，则f(x)＝－loga(x－b)＝0时，x＝1＋b＜1，故排除A，所以只有B符合要求．故选B.
5．(多选)已知函数f(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1)，下列关于f(x)的说法正确的是(　 )
A．f(x)的定义域是(－∞，1)
B．f(x)的值域是R
C．f(x)的图象过原点
D．当a>1时，f(x)在定义域上是增函数
解析：选ABC　对于A选项，由1－x>0，解得x<1，所以函数f(x)的定义域是(－∞，1)，A选项正确；对于B选项，函数f(x)的值域是R，B选项正确；对于C选项，因为f(0)＝loga1＝0，所以函数f(x)的图象过原点，C选项正确；对于D选项，当a>1时，由于内层函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，外层函数y＝logau为增函数，所以函数f(x)在定义域上是减函数，D选项错误．
6．计算：log535＋2log－log5－log514＝________.
解析：原式＝log535－log5－log514＋log()2
＝log5＋log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．
解析：当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上可知，实数a的取值范围是.
答案：
8．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0解析：因为f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m2，不满足题意．综上可得＝9.
答案：9
9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－30，a≠1，－3(2)f(x)是奇函数，理由如下：因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f(x)是奇函数．
10．已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2＝－log2，即log2＝log2，由＝，解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)，所以f(x)＝log2，令>0，解得x<－1或x>1，所以函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}．
(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]．
二、重点难点培优训练
1．(多选)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是(　 )
A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f(x)一定有最小值
C．当a＝0时，f(x)的值域为R
D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
解析：选AC　对于A，当a＝0时，解不等式x2－1>0得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对于B、C，当a＝0时，f(x)＝lg(x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg(x2－1)的值域为R，故B错误，C正确；对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1的图象的对称轴x＝－≤2.解得a≥－4.但当a＝－4时，f(x)＝lg(x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误．
2．已知正实数a，b，c满足a＝log2a，b＝log2b，c＝logc，则a，b，c的大小关系为(　 )
A．aC．b解析：选B　因为c＝logc，所以－c＝log2c.又a＝log2a，b＝log2b，所以a，b，c分别为y＝x，y＝x，y＝－x的图象与y＝log2x的图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝x，y＝－x与y＝log2x的图象，如图，由图可知c3．设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调递增函数；②存在[m，n] D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”．若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0，且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则实数t的取值范围是(　 )
A. B.
C. D．
解析：选A　因为g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0，且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，故g(m)＝m，g(n)＝n，即g(x)＝x有两个不相同的实数根．由loga(a2x＋t)＝x，得a2x－ax＋t＝0，令p＝ax>0，则p2－p＋t＝0有两个不同的正根．则解得04．已知函数f(x)＝log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．所以a＝0为所求．
(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数，所以＋a>0在R上恒成立．即a>－在R上恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0，即a的取值范围为[0，＋∞)．
(3)由已知得函数f(x)是减函数．故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.由题设得log2(1＋a)－log2≥2 解得－

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