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第七节　函数的图象及应用
教学目标：
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线，具体步骤如下．
(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数图象
平移变换 y＝f(x)的图象y＝f(x＋a)的图象
y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象
y＝f(x)的图象y＝f(x)＋h的图象
y＝f(x)的图象y＝f(x)－h的图象
对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象
y＝f(x)的图象y＝f(x)的反函数的图象
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象
翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象
y＝f(x)的图象 y＝f(|x|)的图象
伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象
y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象
(1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y＝f(－2x)的图象到y＝f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度，即将x变成x－，这与三角函数中的图象变换是一致的．如把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝sin的图象．
(2)“上加下减”只针对函数值f(x)．
(3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征．
(4)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(5)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x) 的图象关于点(a，b)对称．
(6)若对函数y＝f(x)的定义域内任意的自变量x都满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
1．函数y＝21－x的大致图象为(　 )
答案：A
2．(人教A版必修第一册P101·T11改编)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　 )
解析：选B　依题意知，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B符合．
3．将函数y＝log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　 )
A．log2(2x＋1)－1 B．log2(2x＋1)＋1
C．log2x－1 D．log2x
解析：选D　将函数y＝log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，可得函数y＝log2(2x＋2)－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得函数y＝log2[2(x－1)＋2]－1＝log2(2x)－1的图象，所以g(x)＝log2(2x)－1＝log2x.
4.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________.
解析：由f(－1)＝ln(－1＋a)＝0得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1,3)，则2×(－1)＋b＝3，得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
答案：－1
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　作函数的图象　
[题点全训]
作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)先作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③.
[一“点”就过]
函数图象的画法
基础点(二)　函数图象的识辨　
[题点全训]
1．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是(　 )
解析：选B　易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0.故选B.
2.已知函数y＝f(1－x)的图象如图，则y＝|f(x＋2)|的图象是(　 )
解析：选A　把函数y＝f(1－x)的图象向左平移1个单位得y＝f(－x)的图象；作出f(－x)关于y轴对称的函数图象得y＝f(x)的图象；将f(x)向左平移2个单位得y＝f(x＋2)的图象；将y＝f(x＋2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x＋2)|的图象．
3．(2022·岳阳一模)函数f(x)＝x＋的图象大致为(　 )
解析：选A　∵f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－x＋＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除B；∵f(1)＝1>0，∴排除C；又f(2)＝2＋>0，∴排除D.故选A.
4．(2021·三明三模)若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　 )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：选C　由题图可知，当x∈(0,1)时，f(x)<0，取x＝，则对于B，f＝＝1>0，所以排除B；对于D，f＝＝>0，所以排除D；当x>0时，对于A，f(x)＝＝1＋，所以当x>1时，f(x)>1恒成立，而题图中，当x>1时，f(x)可以小于1，所以排除A，故选C.
[一“点”就过]
辨别函数图象的策略
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点　函数图象的应用　
考法1　研究函数的性质
[例1]　(2022·厦门双十中学月考)(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　 )
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个解
C．函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
[解析]　根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．
[答案]　ABD
对于已知解析式或易画出在给定区间上的图象的函数，常借助图象研究其性质：
(1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性．　　
考法2　解不等式
[例2]　(2020·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　 )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
[解析]　函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集即2x>x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，结合图象易得2x>x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.
[答案]　D
利用函数的图象解不等式的基本思路
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．　　
[共性归纳]　求解函数图象应用问题的思维流程
[针对训练]
1．(2022·南通高三期末)(多选)某同学在研究函数f(x)＝(x∈R)时，给出下面几个结论中正确的是(　 )
A．f(x)的图象关于点(－1,1)对称
B．f(x)是单调函数
C．f(x)的值域为(－1,1)
D．函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点
解析：选BCD　作出y＝f(x)的图象，如图所示：
对于A，f(x)的图象关于(0,0)对称，不关于点(－1,1)对称，故A错误；对于B，f(x)是R上的增函数，故B正确；对于C，由图象知，f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；对于D，令g(x)＝f(x)－x＝0，得x＝0，即x＝0，解得x＝0，从而函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点，故D正确．
2．(2022·淮安模拟)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上是减函数，若g(x)＝f(x－2)是奇函数，且g(2)＝0，则不等式xf(x)≤0的解集是(　 )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－4，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)
解析：选C　由g(x)＝f(x－2)的图象是把函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，且g(2)＝g(0)＝0，f(－4)＝g(－2)＝－g(2)＝0，f(－2)＝g(0)＝0，画出f(x)的大致图象，如图所示．结合函数的图象可知，当x≤－4或x≥－2时，xf(x)≤0，故选C.
不能恰当地运用图形求参数的范围
在解决函数相关问题时，若用直接法很难求解甚至无法解题时，要想到数形结合的思想，即方程问题函数解(方程的根即等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在(不在)另一个函数图象的上方或下方时相应x的值)．
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[典例]　(2022·湖南八校联考)已知函数f(x)＝若实数m∈[－2,0]，则|f(x)－f(－1)|在区间[m，m＋2]上的最大值的取值范围是(　 )
A．[1,4] B．[2,4] C．[1,3] D．[1,2]
[解析]　由题意，当x≤－1时，f(x)＝x＋2；当－1[答案]　D
(1)对于求参数的范围问题，如果根据所给的函数式不易解决，且相关的函数图象容易做出，可考虑运用数形结合的思想方法，把条件式转化为图象间的关系，利用图象求出参数的范围．
(2)本例中由m∈[－2,0]，可知区间[m，m＋2] [－2,2]，且该区间长度为2，然后画出函数f(x)的图象，进而可得到y＝|f(x)－1|在[－2,2]上的图象，结合图象求解．　　
[针对训练]
已知函数f(x)＝若g(x)为偶函数，且x≥0时，g(x)＝f(x)，若g(x)在[m,3](m<3)上的值域为[－4,0]，则实数m的取值范围为(　 )
A．[－3,3) B．[－3,0] C．[0,3) D．[－2,2]
解析：选B　由题意，可以画出函数g(x)的大致图象如图．由g(0)＝0，g(－3)＝g(3)＝－4，结合图象可知－3≤m≤0，故选B.
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(混淆分段函数的分类标准)已知函数f(x)＝则函数f(1＋2x)的图象是(　 )
解析：选B　由题意得，当1＋2x≥0，即x≥－时，f(1＋2x)＝2＋2x；当1＋2x＜0，即x＜－时，f(1＋2x)＝－2x－1，所以f(1＋2x)＝故选B.
2．(混淆一个函数图象的对称性与两个函数图象的对称关系)设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　 )
A．直线y＝1对称 B．直线x＝1对称
C．直线y＝2对称 D．直线x＝2对称
解析：选D　设函数y＝f(x－3)的图象上任意一点P(x0，y0)，则y0＝f(x0－3)，且P(x0，y0)关于直线x＝2的对称点为Q(4－x0，y0)．又函数y＝f(1－x)中，当x＝4－x0时，y＝f[1－(4－x0)]＝f(x0－3)，所以Q(4－x0，y0)在y＝f(1－x)的图象上．故函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝2对称，故选D.
3．(忽视函数变化速度的相对性)函数y＝的图象大致是(　 )
解析：选C　函数y＝的定义域为{x∈R|x≠0}，排除A；当x<0时，3x－1<0，故y>0，排除B；当x>0时，y>0，由于当x足够大时，3x的增长速度比x3快，可知x→＋∞时，y→0，故选C.
4．(平移的规则掌握不清)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.
答案：y＝f(－x＋1)
二、融会贯通应用创新题
5．(结合新定义问题)(多选)定义一种运算：a b＝设f(x)＝(5＋2x－x2) |x－1|，则下面结论正确的有(　 )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．函数f(x)的图象与直线y＝5有三个公共点
C．函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1,3]
D．函数f(x)的最小值是2
解析：选ACD　由题意，f(x)＝(5＋2x－x2) |x－1|＝作出函数的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；函数f(x)的图象与直线y＝5有四个公共点，故B错误；函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1,3]，故C正确；函数f(x)的最小值是2，故D正确．
6.(浸润家国情怀)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以使口感最佳．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点的分布情况，下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y(单位：℃)随时间x(单位：min)变化规律的是(　 )
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝max＋n(m>0,0C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0且a≠1)
解析：选B　由题图易知函数单调递减，排除A、C；易知函数在x＝0处有定义，排除D.故选B.
7.(体现数学应用)为庆祝深圳特区成立40周年，2020年10月11日深圳无人机精英赛总决赛在光明区举行，全市共39支队伍参加，如图反映了某学校代表队制作的无人机载重飞行从某时刻开始15分钟内的速度v(x)(单位：米/分)与时间x(单位：分)的关系．若定义“速度差函数”u(x)为无人机在时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象为(　 )
解析：选D　由题意可得，当x∈[0,6]时，无人机做匀加速运动，v(x)＝80＋x，“速度差函数”u(x)＝x.当x∈[6,10]时，无人机做匀减速运动，速度v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x)＝160－80＝80.当x∈[10,12]时，无人机做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20.当x∈[12,15]时，无人机做匀加速运动，“速度差函数”u(x)＝160－60＝100，结合所给的图象，故选D.
8．(强化开放思维)已知函数f(x)＝若 x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0成立，请写出一个符合条件的函数g(x)的表达式________．
解析：由 x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＋f(－x0)＝0可得g(x0)＝－f(－x0)，由y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称可得y＝ln x与y＝－ln(－x)的图象关于原点对称，如图．取y＝时，在第三象限显然有一交点x0，故取g(x)＝.
答案：g(x)＝(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1.函数y＝－ex的图象(　 )
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
解析：选D　由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．
2．将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为(　 )
解析：选C　将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln[1－(x－1)]＝ln(2－x)的图象，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数为y＝ln(2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y＝ln(2－x)＋2在(－∞，2)上为减函数，且y＝ln(2－x)＋2的图象过点(1,2)，故选C.
3．(2022·河南名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，其对应的函数可能是(　 )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：选B　由图象得，函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，故排除选项A和D.当0＜x＜1时，f(x)＞0，但在选项C中，当0＜x＜1时，x2＜1，所以f(x)＜0，故排除选项C.若f(x)＝，定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x＞1时，f(x)＝单调递减；当0＜x＜1时，f(x)＝单调递增，与题中图象相符，故选B.
4．(2021·天津高考)函数y＝的图象大致为(　 )
解析：选B　设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A、C；当x∈(0,1)时，ln|x|<0，x2＋2>0，所以f(x)<0，排除D.
5．(2021·淄博二模)函数f(x)＝(ex＋e－x)tan x的部分图象大致为(　 )
解析：选D　因为f(x)＝(ex＋e－x)tan x，x≠kπ＋，k∈Z，定义域关于原点对称，且f(－x)＝(ex＋e－x)tan(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故排除C；当x＝0时，f(0)＝0，故排除B；当x＝1时，f(1)>0，故排除A，故选D.
6．已知f(2x＋1)为偶函数，则f(2x)的对称轴是________．
解析：因为y＝f(2x＋1)＝f，则y＝f(2x)＝f，所以只要将y＝f(2x＋1)的图象向右平移个单位长度即可得到f(2x)的图象，因为y＝f(2x＋1)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以f(2x)的对称轴是x＝.
答案：x＝
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，作出f(x)的图象，如图．由图易知a<2.　
答案：(－∞，2)
8．设函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上满足f(－x)＋f(x)＝0，在(0，＋∞)上对任意实数x1≠x2都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0成立，又f(－3)＝0，则(x－1)f(x)<0的解集为________．
解析：由题意，易知函数f(x)为奇函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，又f(－3)＝0，则f(3)＝0, 作出函数f(x)的草图如图所示．
(x－1)f(x)<0 或根据f(x)的图象可知(x－1)f(x)<0的解集为(－3,0)∪(1,3)．
答案：(－3,0)∪(1,3)
9．已知函数f(x)＝若f(x)－a＝0有3个实数根，则实数a的取值范围为________．
解析：作出f(x)的图象如图．方程f(x)－a＝0的根的个数，即为函数y＝f(x)与y＝a的交点个数，由图知，当0答案：(0,1]
10．作出下列函数的图象．
(1)y＝； (2)y＝|x2－4x＋3|.
解：(1)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，如图所示．
(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图实线部分所示．
二、重点难点培优训练
1．(多选)已知函数f(x)＝(a∈R)，则y＝f(x)的大致图象可能为(　 )
解析：选ABD　当a＜0时，y＝，即y2－x2＝－a(y≥0)，所以该曲线是焦点在y轴的双曲线的上半支，即为D；当a＝0时，y＝＝|x|，即为A；当a＞0时，若x∈[－，]，则y2＋x2＝a(y≥0)，该曲线是圆心在原点，半径为的圆的上半部分(含端点)，若x∈(－∞，－)∪(，＋∞)，x2－y2＝a(y≥0)，则该曲线是焦点在x轴上的双曲线位于x轴上方的部分，即为B.故选A、B、D.
2．已知函数f(x)＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋logx，\f(1,8)≤x<1，,2x，1≤x≤2，))若f(a)＝f(b)(aA. B. C. D．
解析：选B　f＝2＋log＝5，f(2)＝22＝4，f(1)＝2，作出函数f(x)的大致图象，如图1所示．设k＝f(a)＝f(b)∈(2,4]，由2＋loga＝k,2b＝k，得a＝k－2，b＝log2k.当k＝4时，a＝，b＝2，ab＝.则当k∈(2,4]时，ab－＝k－2·log2k－＝k－2·(log2k－2k－3)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x与y＝2x－3的图象，如图2所示．则由图2可知，当x∈(2,4]时，log2x－2x－3≥0，所以ab－≥0，即ab≥，故ab的最小值为，故选B.
3．若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点(A，B)与点(B，A)是函数f(x)的一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　 )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选B　作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象及其关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，观察它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可．观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．
4．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为________．
解析：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，
当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；
当0即a2－1≤×2－1，
解得a≤，所以a的取值范围是.
答案：

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