资源简介

第三节　函数的奇偶性与周期性
教学目标：
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)奇函数的特殊性质
①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.
②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.
(4)函数周期性的3个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
(5)对称性的3个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
1．(人教A版必修第一册P84·例6改编)(多选)下列给出的函数是奇函数的是(　 )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x3＋1 D．y＝sin x
解析：选ABD　在A中，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝－＝－f(x)，所以y＝为奇函数．在B中，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝－f(x)，所以y＝为奇函数．在C中，y＝x3＋1的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以y＝x3＋1不是奇函数．在D中，y＝sin x的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，所以y＝sin x是奇函数，故选A、B、D.
2．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________.
答案：－
3．(苏教版必修第一册P126·T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
答案：
4．(北师大版必修第二册P4·习题A组T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 021)＝________.
解析：由题意知f(2 021)＝f(3×674－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 021)＝1.
答案：1
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点　判断函数的奇偶性　
[题点全训]
1．以下函数图象中为奇函数的是(　 )
解析：选A　因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合，故选A.
2．下列函数是偶函数的是(　 )
A．f(x)＝xcos x B．f(x)＝
C．f(x)＝lg|x| D．f(x)＝ex－e－x
解析：选C　对于A，定义域为R，f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，f(x)是奇函数；对于B，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，f(x)是偶函数；对于D，定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数．
3．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　 )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
解析：选B　f(x－1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项A不符合题意；f(x－1)＋1＝＋1＝，是奇函数，故选项B符合题意；f(x＋1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项C不符合题意；f(x＋1)＋1＝＋1＝，不是奇函数，故选项D不符合题意．故选B.
4．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的有(　 )
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选ABC　∵f(x)＝，定义域为R，则f(－x)＝＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，∴|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)|f(x)|为奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．故选A、B、C.
[一“点”就过]
函数奇偶性的判定方法
定义法
图象法
性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　函数奇偶性的应用　
[典例]　(1)函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝4x＋m，则f＝(　 )
A．1 B．－2 C．－1 D．－
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 021)＋f(2 023)的值为________．
[解析]　(1)由函数f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，解得m＝0，所以f(x)＝4x(x≥0)．所以f＝4×＝2.所以f＝－f＝－2.
(2)设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1.
(3)由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，
∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.
∴f(2 021)＋f(2 023)＝f(2 022－1)＋f(2 022＋1)＝0.
[答案]　(1)B　(2)1　(3)0
[方法技巧]　函数奇偶性的应用类型及解题策略
求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式
求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解
求参数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解
解不等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解
[针对训练]
1．已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝(　 )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选C　由题意f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，由函数的奇偶性得f(－x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2.
2．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　 )
A．0 B．2 C．4 D．8
解析：选C　f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)的定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)解析：因为偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x－1)答案：
重难点(二)　函数周期性及应用　
[典例]　(1)已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 022(2)的值为(　 )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝________.
[解析]　(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，
∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，
∴f2 022(2)＝f3×674(2)＝f3(2)＝2，故选C.
(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2，
∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，
∴f(0)＝0，f(1)＝1，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 022)＝0，
f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝1.
故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝1 011.
[答案]　(1)C　(2)1 011
函数周期性的判定与应用的解题策略
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. 　　
[针对训练]
1．已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)等于(　 )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
解析：选D　当x>时，f＝f，即周期为1，则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为(　 )
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1
C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1
解析：选B　当x∈[－2,0)时，－x∈(0,2]，∴－x＋4∈(4,6]，又∵当x∈(4,6]时，f(x)＝2x＋1，
∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1.∴当x∈[－2,0)时，f(x)＝－2－x＋4－1.
不能将对称性向周期性有效转化
解决双对称问题时的痛点：一是不能熟练地将对称性向周期性转化，二是将2(b－a)与4(b－a)(b＞a)混淆．
————————————————————————————————————————
[典例]　函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)(　 )
A．是偶函数，也是周期函数
B．是偶函数，但不是周期函数
C．是奇函数，也是周期函数
D．是奇函数，但不是周期函数
[解析]　因为f(4＋x)为偶函数，所以f(4＋x)＝f(4－x)．又f(2－x)＝f(2＋x)，故直线x＝2和x＝4是f(x)的两条对称轴．所以f(x)是周期T＝2|4－2|＝4的函数．所以f(x)＝f(x＋4)，而f(4＋x)为偶函数，于是f(x)是偶函数，故选A.
[答案]　A
双对称函数具有周期性；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称(b>a)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)和(b,0)对称(b>a)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称(b>a)，则4(b－a)是函数y＝f(x)的周期．　　
[针对训练]
函数y＝f(x)满足对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
解析：∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x＋2)＝f(－x)，则f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，又f(1)＝4，f(2)＝f(0)＝0，∴f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝4.
答案：4
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(不会构造奇、偶函数)已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3，若f(a)＝5，则f(－a)＝(　 )
A．2 B．1 C．－2 D．－5
解析：选B　设g(x)＝f(x)－3＝ex－e－x＋x3，则g(－x)＝e－x－ex－x3＝－(ex－e－x＋x3)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为g(a)＝f(a)－3＝2，所以g(－a)＝f(－a)－3＝－2，则f(－a)＝1.
2．(忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b,3b－1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为________．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0.又f(x)的定义域为[－2b,3b－1]，∴－2b＋3b－1＝0，解得b＝1.∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，∴函数f(x)的值域为[1,5]．
答案：[1,5]
3．(忽略自变量0的函数值)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为______________．
解析：设x<0，则－x>0，由题意可知f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1，且f(0)＝0.综上所述，f(x)＝
答案：f(x)＝
二、融会贯通应用创新题
4．(弘扬传统文化)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，2020年是庚子年，则中华人民共和国成立100周年(公元2049年)是(　 )
A．己未年 B．辛巳年 C．庚午年 D．己巳年
解析：选D　由题知，2049－2020＝29.因为“天干”以10为周期，所以2050年仍为“庚”，所以2049年为“己”；因为“地支”以12为周期，所以2044年仍为“子”，所以2049年为“巳”．故2049年为己巳年．故选D.
5．(创新考查方式)(多选)定义在R上的函数f(x)满足x为整数时，f(x)＝2 021；x不为整数时，f(x)＝0，则(　 )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C． x∈R，f(f(x))＝2 021
D．f(x)的最小正周期为1
解析：选BCD　A中，对于函数f(x)，有f(1)＝2 021，f(－1)＝2 021，不满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)不是奇函数，所以A不正确．B中，对于函数f(x)，若x为整数，则－x也为整数，则有f(x)＝f(－x)＝2 021；若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0.综上可得f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以B正确．C中，若x为整数，则f(x)＝2 021，f(f(x))＝f(2 021)＝2 021；若x不为整数，则f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝2 021.综上， x∈R，f(f(x))＝2 021，所以C正确．D中，若x为整数，则x＋1也为整数，若x不为整数，则x＋1也不为整数，总有f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T为1.若06．(创新解题思维·数形结合)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：由图象可知，当00；当20.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
答案：(－2,0)∪(2,5]
7．(体现开放探究)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________________________________________________________________________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．
解析：对于f(x)＝x2(x∈R)，f(x1x2)＝(x1x2)2＝x·x＝f(x1)f(x2)，满足①；f′(x)＝2x，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，满足②；f′(－x)＝－2x＝－f′(x)，f′(x)是奇函数，满足③.因此f(x)＝x2(x∈R)符合题意．
答案：f(x)＝x2(x∈R)(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　 )
A．y＝x2 B．y＝|x－1|
C．y＝|x|－1 D．y＝2x
解析：选AC　选项A、C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B、D中的函数均为非奇非偶函数．故选A、C.
2．函数f(x)＝的图象(　 )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：选B　因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．
3．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是(　 )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
解析：选B　对A，y＝－|f(x)|中，－|f(－x)|与|f(x)|不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；对B，y＝xf(x2)中，因为－xf[(－x)2]＝－xf(x2)，所以函数为奇函数，故B正确；对C，y＝－f(－x)中，－f(x)与f(－x)不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；对D，y＝f(x)＋f(－x)为偶函数，故D错误．
4．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝(　 )
A．－ B．－ C. D．
解析：选C　由f(x)是定义域为R的奇函数，得f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，则f(x)是以2为周期的周期函数．所以f＝f＝f＝.故选C.
5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　 )
A.＋1 B.－1 C．－－1 D．－＋1
解析：选D　因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，f＝－＋1.
6．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．
解析：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
答案：
7．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)＝xln(x＋)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，从而ln[()2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.
答案：1
8．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－3)，当x∈[0,2]时，f(x)＝3x－1，则f(－2 021)＝________；当x∈[2,4]时，f(x)＝________.
解析：由f(x＋1)＝f(x－3)，得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(－2 021)＝f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝3－1＝2.设x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]．因为f(x)是R上的偶函数，所以当x∈[－2,0]时，f(x)＝f(－x)＝3－x－1.当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x)＝f(x－4)＝3－(x－4)－1＝34－x－1.
答案：2　34－x－1
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知解得110．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
二、重点难点培优训练
1．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　 )
A．f＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
解析：选B　∵f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．又∵f(2x＋1)是奇函数，∴f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．∴f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0.故B正确．
2．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　 )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D．∪
解析：选A　易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．所以f(x)>f(2x－1) f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．
解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)阶段综合·融会建模　
综合考法一　函数的单调性与奇偶性相结合
[典例]　(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　 )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
[解析]　由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D.
[答案]　D
[方法技巧]
1．常见题型及解法
比较大小问题 一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为与在同一单调区间上的有关自变量的函数值，然后利用单调性比较大小
解抽象不等式 ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用单调性脱去符号“f”，转化为解不等式(组)的问题
2.解题注意点
在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需要转化为含有符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)[针对训练]
1．已知奇函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝xf(x)，则(　 )
A．g>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))
B．g>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))
C．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))>g
D．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))>g
解析：选B　由奇函数f(x)是R上的增函数，可得当x>0时，f(x)>0.由g(x)＝xf(x)，得g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，且当x>0时，g(x)单调递增．因为g＝g(log34)，g(2)＝g，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝g，且log34>1，＝＝×2，＝×2，所以<g>g，所以g>g(2)>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))，故选B.
2．(2022·重庆沙坪坝区联考)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)．若f(2a－1)A.∪(1，＋∞) 　 B.(0,1)
C．(－∞，0)∪ 　 D.
解析：选D　由可得－1综合考法二　函数的奇偶性与周期性、对称性相结合
[典例]　(1)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　 )
A．－ B．－ C. D．
(2)(2022·滁州市重点中学期中)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
[解析]　(1)因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x)关于(1,0)中心对称，所以f(1)＝0，因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)关于直线x＝2对称，周期为4，所以f(0)＝－f(2)，f(3)＝f(1)，即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6，代入可得解得
因此f＝f＝－f＝－＝.故选D.
(2)由f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0.∵f(x)的图象关于直线x＝对称，于是f(x)＝f(1－x)，∴f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝0，f(4)＝f(－3)＝－f(3)＝0，f(5)＝f(－4)＝－f(4)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
[答案]　(1)D　(2)0
(1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解．
(2)解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性．总之，要充分利用已知条件进行适当转化．　　
[针对训练]
1．已知y＝f(x)为奇函数且对任意x∈R，f(x＋2)＝f(－x)，若当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 021)＝(　 )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选C　因为y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，因为对任意x∈R，f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，则f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝log22＝1.
2．(2022·梅州期末)已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，当x∈(0,2)时，f(x)＝x－1，则函数f(x)在区间[2 018,2 021]上的(　 )
A．最小值为－ B．最小值为－
C．最大值为 D．最大值为
解析：选B　根据题意，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(4－x)＝－f(x)．因为函数y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(－x)，则f(x＋4)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是周期为4的周期函数．当x∈(0,2)时，f(x)＝x－1，则f(x)在(0,2)上单调递减．又因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0且f(x)在(－2,0)上单调递减，则f(x)在(－2,2)上单调递减．根据题意，可得f(－2)＝f(2)且f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝f(－2)＝0，则当x∈[2 018，2 021]时，－2≤x－2 020≤1，则f(2 018)＝f(－2)＝0，且f(x)在区间(2 018,2 021]上单调递减，故f(x)在区间[2 018，2 021]上无最大值，最小值为f(2 021)＝f(1)＝－，故选B.
综合考法三　函数性质的综合应用
[典例]　已知函数f(x)(x∈R)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x.设a＝f(log3)，b＝f(log210)，c＝f(log2200)，则(　 )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
[解析]　∵f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)的周期为2.又∵f(x－1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，∴a＝f(log23)＝f(log23－2)＝f，b＝f(log210)＝f(log210－4)＝f，c＝f(log2200)＝f(log2200－8)＝f.∵－1a>c.
[答案]　C
单调性、奇偶性、周期性是函数的三大特征．对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．　　
[针对训练]
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是(　 )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
解析：选D　当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.
2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－cos x，则下列结论正确的是(　 )
A．fB．f(2 022)C．f(2 022)D．f解析：选C　∵f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 022)＝f(2＋4×505)＝f(2)＝f(0)，f＝f，f＝f，∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－cos x单调递增，∴f(0)[课时验收评价]
1．已知偶函数y＝f(x)在(0，＋∞)递减，则关于m的不等式fA．(－2,0)∪(0,2) B．(0,2)
C.∪ D．
解析：选C　由于偶函数y＝f(x)在(0，＋∞)递减，由f2，所以0<|m|<，解得－2．(2022·郑州一模)设f(x)是R上的奇函数且满足f(x－1)＝f(x＋1)，当0≤x≤1时，f(x)＝5x(1－x)，则f(－2 022.6)＝(　 )
A. B. C．－ D．－
解析：选D　对任意的x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(－2 022.6)＝f(－0.6)，由函数f(x)是R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝5x(1－x)，因此，f(－2 022.6)＝f(－0.6)＝－f(0.6)＝－5×0.6×(1－0.6)＝－.
3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，f(1)＝0，则不等式≥0的解集为(　 )
A．(－∞，－1]∪(0,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．[－1,0)∪[1，＋∞) D．[－1,0)∪(0,1]
解析：选B　依题意f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，f(1)＝0，可知，当00，当x>1时f(x)<0，又f(x)是奇函数，图象关于原点中心对称，故当－10，不等式≥0，即≥0，故≥0，即≤0，所以当x>0时，需f(x)≤0，即x≥1；当x<0时，需f(x)≥0，即x≤－1.综上，不等式≥0的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
4．函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，y＝f(x－1)的图象关于(1,0)对称，且f(8)＝1，则f(2 020)＝(　 )
A．1 B．－1 C．0 D．2
解析：选B　因为函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋12)，所以函数f(x)的周期为T＝12，将y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位可得y＝f(x)的图象，又y＝f(x－1)的图象关于(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，故f(x)为R上的奇函数，所以f(2 020)＝f(168×12＋4)＝f(4)＝f(4－12)＝f(－8)＝－f(8)＝－1.
5．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)单调递减，则下列关于f(x)的判断正确的是(　 )
A．f(x)的一个周期是4
B．f(x)在[1,2]上单调递增
C．(3,0)是f(x)的一个对称中心
D．f(6)＝0
解析：选ABD　由题意，函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，又由y＝f(x＋1)是偶函数，可得函数y＝f(x)关于直线x＝1对称，即f(x)＝f(2－x)，联立可得f(－x)＝－f(2－x)，即f(－x)＝f(4－x)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的一个周期是4，所以A正确；又由当x∈[－1,0]时，f(x)单调递减，根据函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得当x∈[0,1]时，f(x)单调递减，再由函数y＝f(x)关于直线x＝1对称，可得f(x)在[1,2]上单调递增，所以B正确；由函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(0)＝0，即原点(0,0)为函数f(x)的一个对称中心，又由函数y＝f(x)关于直线x＝1对称，且周期T＝4，可得f(2)＝0，f(4)＝0，f(6)＝0，且(2k,0)，k∈Z为函数f(x)的对称中心，所以C不正确，D正确．
6．(多选)定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，满足f(2－x)＝f(x)，且在区间[－3，－2]上是减函数，则下列不等式正确的是(　 )
A．f>f(1) B．fC．f(3)>f(π) D．f(3)解析：选BC　∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(－x)＝f(x)，∵f(2－x)＝f(x)，∴f(x)关于x＝1对称，且周期为2，∵f(x)在区间[－3，－2]上是减函数，则在[2,3]上是增函数，可得f＝f＝f，f(1)＝f(3)，∵f7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，那么函数y＝－f(x＋4)的图象与函数y＝f(6－x)的图象(　 )
A．关于点(1,0)对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点(5,0)对称 D．关于直线x＝5对称
解析：选A　设P(m，n)是函数y＝－f(x＋4)图象上的任意一点，则n＝－f(m＋4)，作等量变换n＝－f[6－(2－m)]，即－n＝f[6－(2－m)]，则点P′(2－m，－n)在y＝f(6－x)的图象上，∵P(m，n)，P′(2－m，－n)关于点(1,0)对称，∴函数y＝－f(x＋4)的图象与函数y＝f(6－x)的图象关于点(1,0)对称，故选A.
8．已知函数f(x)＝x|x|，对任意的x∈R，f(ax2)＋4f(3－x)≥0恒成立，则实数a的最小值为(　 )
A. B. C. D．
解析：选C　因为f(x)＝x|x|，定义域为R，且f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．当x≥0时，f(x)＝x2单调递增，则当x<0时，f(x)单调递增，所以f(x)＝x|x|是R上的增函数．因为f(ax2)＋4f(3－x)≥0，所以f(ax2)≥－4f(3－x)＝4f(x－3)＝4(x－3)|x－3|＝(2x－6)|2x－6|＝f(2x－6)，所以ax2≥2x－6，即ax2－2x＋6≥0恒成立，所以a>0且Δ＝4－24a≤0，得a≥，即实数a的最小值为.
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(1－x)，且函数f(x＋1)是奇函数．若f＝－，则f＝(　 )
A．－1 B．1 C．－ D．
解析：选D　因为函数f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)．又f(x)＝f(1－x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，所以f＝f＝f.因为f＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－＋1))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())，所以f＝－f＝，即f＝.故选D.
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数．若f(x)在(0,3)上单调递减，则下列结论正确的是(　 )
A．f(10)B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e))C．f(ln 2)D．f(ln 2)解析：选A　∵f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6.又∵y＝f(x＋3)为偶函数，∴f(x＋3)＝f(－x＋3)，∴f(10)＝f(4＋6)＝f(4)＝f(1＋3)＝f(－1＋3)＝f(2)．∵111．(2021·南充三模)已知f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数，若f(－1)>－6，f(2 021)＝，则实数a的取值范围是(　 )
A. 　 B.(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) 　 D.
解析：选C　因为f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数，所以f(2 021)＝f(5×404＋1)＝f(1)＝f(－1)，因为f(2 021)＝，f(－1)>－6，所以>－6，整理得>0，解得a<或a>2，所以实数a的取值范围是∪(2，＋∞)，故选C.
12．(多选)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，且当x≥1时函数f(x)单调递增，则(　 )
A．f(1)＝0
B．f(x)是周期函数
C．方程f(x)＝0有唯一实数解
D．函数f(x)在(－∞，0)内单调递减
解析：选AC　对A，∵f(1＋x)＝－f(1－x)，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，故A正确；对B，∵f(1＋x)＝－f(1－x)，即f(1＋x)＋f(1－x)＝0，∴f(x)的图象关于(1,0)对称，且当x≥1时函数f(x)单调递增，∴f(x)在R上单调递增，故f(x)不是周期函数，故B错误；对C，∵f(x)在R上单调递增，且f(1)＝0，∴方程f(x)＝0有唯一实数解x＝1，故C正确；对D，当x≥1时，函数f(x)单调递增，且f(x)的图象关于(1,0)对称，则函数f(x)在(－∞，0)内单调递增，故D错误．
13．设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，满足：>0，若f(2)＝4，则不等式f(x)－>0的解集为________．
解析：令F(x)＝xf(x)，由f(x)是定义在R上的奇函数，可得F(x)是定义在R上的偶函数，由对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，满足：>0，可得F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(2)＝4，可得F(2)＝8，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，且F(－2)＝8，不等式f(x)－>0，即为>0，即>0，可得或即或解得x>2或－2答案：(－2,0)∪(2，＋∞)
14．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝2－f(－x)，且函数f(x＋1)是偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝1－x2，则f(2 021)＝________.
解析：∵定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝2－f(－x)，且函数f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＋f(－x－1)＝2且f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(－x＋1)＋f(－x－1)＝2，∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2.即f(x＋2)＋f(x)＝2　①；f(x＋4)＋f(x＋2)＝2　②.②－①得f(x＋4)＝f(x)．故函数f(x)的周期为4，∴f(2 021)＝f(2 020＋1)＝f(1)＝2－f(－1)＝2－0＝2.
答案：2
15．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝f(x－1)，f(1－x)＋f(x)＝1，则f(x)的最小正周期为________，f(x)的一个解析式可以为______________．
解析：因为f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)＝f(x－2)，f(x)的最小正周期为2.因为f(1－x)＋f(x)＝1，所以函数f(x)关于点对称，满足关于点对称以及最小正周期为2的方程可以为f(x)＝＋cos πx.
答案：2　f(x)＝＋cos πx(答案不唯一)
16．函数y＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.则对于函数f(x)＝|x－[x]|，有下列说法：①f(x)的值域为[0,1)；②f(x)是以1为周期的周期函数；③f(x)是偶函数；④f(x)在区间[1,2)上是单调递增函数．其中，正确的命题序号为________．
解析：当x∈[n，n＋1)时，[x]＝n，f(x)＝|x－n|＝x－n，所以f(x)∈[0,1)，故①④正确；当x∈[n，n＋1)时，则x＋1∈[n＋1，n＋2)，[x＋1]＝n＋1，f(x＋1)＝|x＋1－[x＋1]|＝|x＋1－(n＋1)|＝|x－n|＝f(x)，故②正确；f＝＝，f＝＝，所以③错误．
答案：①②④

展开更多......

收起↑