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第五节　指数与指数函数
教学目标：
1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1．根式
(1)根式的概念
如果xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a
2．有理数指数幂
幂的有关概念 正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a＝eq \f(1,a)＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂没有意义
有理数指数幂的性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
3.指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0图象
性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在R上为增函数 在R上为减函数
(1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0(2)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
(4)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中01．(人教A版必修第一册P115·T2改编)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1,2)，那么这个函数也必定经过点(　 )
A. B.
C．(1,2) D．
答案：D
2．(苏教版必修第一册P155·T5改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为(　 )
A．2 B．3 C．4 D．
答案：A
3．函数y＝2x＋1的图象是(　 )
答案：A
4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则(　 )
A．a答案：B
5．计算：π0＋2－2×＝________.
答案：
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　指数幂的运算　
[题点全训]
1．若x＋x＝3，则eq \f(x＋x－3,x2＋x－2－2)＝________.
解析：由x＋x＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45，x＋x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))3＝(x＋x)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.∴eq \f(x＋x－3,x2＋x－2－2)＝.
答案：
2．化简下列各式：
(1)0＋2－2×－(0.01)0.5；
(2)a·b－2·(－3ab－1)÷(4a·b－3)；
(3)eq \f( a·b－1 ·a·b,\r(6,a·b5)).
解：(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－ab－3÷(ab)＝－a·b
＝－·＝－.
(3)原式＝eq \f(ab·ab,ab)＝a·b＝.
[一“点”就过]
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
基础点(二)　指数型函数图象的识辨　
[题点全训]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　 )
解析：选A　由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.
2．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　 )
解析：选D　函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误．故选D.
[一“点”就过]
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
重难点(一)　指数函数图象的应用　
[典例]　(2022·临沂期末)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝2b，则下列不等式可能成立的是(　 )
A．0C．a[解析]　作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象，如图，当3a＝2b>1时，根据图象得0[答案]　AD
(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．　　
[针对训练]
1．若函数y＝|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　 )
A．(－∞，－1] B．[－1,0)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
解析：选B　y＝|1－x|＋m与x轴有公共点，即y＝|1－x|与y＝－m有公共点，y＝|1－x|的图象如图．
由图可知0<－m≤1 －1≤m<0.
2．函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－2|的图象如图所示．由图可知，若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则将函数y＝|3x－2|的图象至少向下移动2个单位，则m≤－2.
答案：(－∞，－2]
重难点(二)　指数函数的性质及应用　
考法1　比较大小
[例1]　(2022·重庆一中高三期末)设a＝30.8，b＝π0.8，c＝e，则a，b，c的大小关系为(　 )
A．cC．c[解析]　幂函数y＝x0.8在(0，＋∞)上单调递增，又π>3>1，则有π0.8>30.8>10.8＝1，指数函数y＝x在R上单调递减，而e>0，于是得e<0＝1，从而有e<1<30.8<π0.8，所以c[答案]　A
[方法技巧]　比较指数幂大小的常用方法
单调性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底
取中间值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系
图象法 根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小
考法2　解指数不等式
[例2]　不等式>的解集为(　 )
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)∪(1，＋∞)
[解析]　当x>0时，由>，得3x＋3－x－2>，即3·(3x)2－10·3x＋3>0，解得3x>3或3x<，所以x>1或x<－1，又因为x>0，所以x>1；当x<0时，＝＝－(3x＋3－x－2)，由>，得3x＋3－x－2<－，即3·(3x)2－2·3x＋3<0，无解．综上所述，不等式的解集为(1，＋∞)．
[答案]　B
[方法技巧]　解指数不等式的常用方法
性质法 解形如ax>ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0隐含性质法 解形如ax>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解
图象法 解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解
考法3　求参数值(范围)
[例3]　(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________.
[解析]　(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
[答案]　(1)(－∞，4]　(2)1
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．求参数值(范围)的方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解．　　
[针对训练]
1．(2022·临沂模拟)已知a＝31.1，b＝41.1，c＝30.9，则a，b，c的大小关系为(　 )
A．cC．b解析：选A　由题意，构造函数y＝3x，y＝x1.1，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在(0，＋∞)上单调递增；∵0.9<1.1，∴30.9<31.1，∴c2．(多选)对于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　 )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别单调递减
C．f(x)的值域为(－1,1)
D．若g(x)＝f(2－x)，则g(a)＋g(4－a)＝0(a≠2)
解析：选ABD　依题意，由ex－e－x≠0，得函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对于A，f(－x)＝＝－f(x)，f(x)为奇函数，A正确；对于B，f(x)＝＝1＋，显然e2x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数，于是得f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别单调递减，B正确；对于C，当x>0时，e2x－1>0，有1＋>1，当x<0时，－13．(2022·南通模拟)若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≥2f(x)的解集为(　 )
A．(－∞，0] B.
C. D．[0,1)
解析：选B　由题意得f(x)＝2|x|－2，所以不等式f(x－1)≥2f(x)，即2|x－1|－2≥2(2|x|－2)，亦即2|x－1|－2|x|＋1＋2≥0.当x≤0时，不等式为21－x－2－x＋1＋2≥0，显然成立．当0层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(忽略对底数分类讨论)若函数f(x)＝a (a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围为(　 )
A．(1,2) B．(0,1) C．(1,4] D．[4，＋∞)
解析：选C　根据复合函数的单调性可知，当01时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为函数f(x)在(1,3)上单调递增，所以解得12．(注意新元的取值范围)已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是(　 )
A．[2,4] B．(－∞，0]
C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
解析：选D　令t＝2x(t>0)，则y＝t2－3t＋3＝2＋，其图象的对称轴为直线t＝.当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]时，t∈(0,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意；当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(1,2]∪[4,16]，此时y∈∪[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(0,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D.
二、融会贯通应用创新题
3．(借助数学文化)《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法．它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也．其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，已知地球的质量大约是5.965秭千克，则5.965秭的位数是(　 )
A．21 B．20 C．25 D．24
解析：选C　由题意知相邻记数单位之间后面的比前面的多4位.1兆＝1012是13位数，因此1京是17位数，1垓是21位数，1秭是25位数，所以5.965秭是25位数．故选C.
4．(体现数学应用)某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·e(P0为原污染物总量)，要能够按规定排放废气，则需要过滤n小时，则正整数n的最小值为(参考数据：取ln 5＝1.609，ln 2＝0.693)(　 )
A．14 B．15 C．16 D．17
解析：选C　由题意，因为P＝P0·e，所以P0≥P0·e，所以≥e，ln≥－t，t≥ln＝ln 200＝ln(52×23)＝2ln 5＋3ln 2＝5.297，所以t≥15.891，故正整数n的最小值为16，故选C.
5．(创新考查方式)设有两个命题：①指数函数f(x)＝(2－a)x是增函数；②方程x2－ax－1＝0在(0,2]上没有实数根，当①与②至少有一个真命题时，实数a的取值范围是________．
解析：①指数函数f(x)＝(2－a)x是增函数，则有2－a>1，即a<1；②方程x2－ax－1＝0在(0,2]上没有实数根，设f(x)＝x2－ax－1，则其在(0,2]上没有零点，因为f(0)＝－1，所以f(2)＝4－2a－1<0，解得a>.故当①与②至少有一个真命题时，a∈(－∞，1)∪.
答案：(－∞，1)∪
6．(体现开放探究)能说明“已知f(x)＝2|x－1|，若f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立，则在[0,2]上，f(x)min≥g(x)max”为假命题的一个函数g(x)＝________.(填出一个函数即可)
解析：易知函数f(x)＝2|x－1|在x∈[0,2]上的最小值是1，取g(x)＝x－，作出f(x)，g(x)在[0,2]上的图象如图所示，满足f(x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立，但g(x)＝x－在[0,2]上的最大值是，不满足f(x)min≥g(x)max，所以g(x)＝x－能说明题中命题是假命题．
答案：x－(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．(2021·天津高三二模)已知a＝2 0210.2，b＝0.22 021，c＝log2 0210.2，则(　 )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
解析：选A　∵a＝2 0210.2>2 0210＝1,0b>c.
2．若2≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　 )
A. B.
C. D．[2，＋∞)
解析：选B　∵x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，∴2x2＋1≤2－2x＋4，即≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3,21]，即为.
3.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　 )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0解析：选D　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以00，即b<0.
4．(多选)对函数f(x)＝判断正确的是(　 )
A．增区间为(0，＋∞) B．增区间为(－∞，0)
C．值域为 D．值域为
解析：选BD　根据指数函数性质，y＝x在(－∞，＋∞)上单调递减，而y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，故f(x)＝的单调递增区间为(－∞，0)；y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)，而y＝x在[1，＋∞)上单调递减，故f(x)＝的值域为.故选B、D.
5．(多选)设实数a，b，c满足ea＝ln b＝1－c，则下列不等式可能成立的有(　 )
A．a解析：选BC　如图，画出函数y＝ex，y＝ln x，y＝1－x的图象，当ea＝ln b＝1－c＝k∈(0,1)时，根据图象可知a1时，c6．计算：0.5＋0.1－2＋－3π0＋＝______.
解析：原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
答案：100
7．函数f(x)＝的单调递减区间为________．
解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
8．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,8)，则不等式f(x)＋2x<8的解集为________．
解析：由题意，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,8)，可得a3＝8，解得a＝2，即f(x)＝2x，令g(x)＝f(x)＋2x＝2x＋2x，可得函数g(x)为R上的单调递增函数，且g(2)＝8，所以不等式f(x)＋2x<8，即为g(x)答案：(－∞，2)
9．已知函数f(x)＝|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝t在R上是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.
10．已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明．
解：(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1(经检验，a＝－1时f(x)为奇函数，满足题意)．
(2)由(1)知f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增．证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝.因为x1二、重点难点培优训练
1．设f(x)＝ex,0A．q＝r

p D．p＝r>q
解析：选C　∵0，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，∴f>f()，即q>p.又r＝＝＝e＝q，故q＝r>p.故选C.
2．已知实数a，b满足>a>b>，则(　 )
A．b<2 B．b>2
C．a< D．a>
解析：选B　由>a，得a>1，由a>b，得2a>b，故2a，得b>4，得b<4.由2a2a>2，a<<2，故1对于选项A、B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)>0恒成立，故A错误，B正确；对于选项C，D，a2－(b－a)＝2－，由于13．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈(0,1]时，f(x)＝ex－1，则下列判断正确的是(　 )
A．f(x)的周期为4 B．f(x)的值域为[－1,1]
C．f(x＋1)是偶函数 D．f(2 021)＝1
解析：选ACD　f(x)是奇函数，f(x)＝－f(－x)，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2＋x)，从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期；f(x＋1)的图象是由f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，因此f(x＋1)的图象关于y轴对称，它是偶函数；f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝e1－1＝1；当x∈(0,1]时，x－1∈(－1,0]，f(x)＝ex－1∈，f(0)＝0，当x∈[－1,0)时，f(x)∈，再由对称性、周期性可得f(x)的值域是∪{0}∪，综上A、C、D正确，B错误．
4．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求m，n的值；
(2)用定义法证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(0)＝0，即m－30＝0，解得m＝1，又∵f(－1)＝－f(1)，∴＝－，解得n＝1.经检验当m＝1且n＝1时，f(x)＝满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．
(2)证明：由(1)得f(x)＝＝－1＋，任取实数x1，x2，且x10，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)根据(1)(2)知，函数f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上为减函数．∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，即f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．即t2－2t>－2t2＋k对任意的t∈R都成立．即k<3t2－2t对任意的t∈R都成立，∵3t2－2t＝32－，当t＝时，3t2－2t有最小值，最小值为－，∴k<－，即k的取值范围是.

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