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第二章 函　数
第一节　函数的概念及表示
教学目标：
1．函数的有关概念
(1)函数的概念
函数
前提 集合A，B是两个非空的实数集
对应关系 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
(2)构成函数的三要素
定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
三要素 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素
(3)表示函数的常用方法
解析法 一般情况下，必须注明函数的定义域
列表法 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征
图象法 注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点
2.分段函数
定义 在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数
相关概念 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交
1．求函数的定义域时常用的结论
(1)分式型要满足f(x)≠0；
(2)根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0；
(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0；
(4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0；
(5)正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z.
2．处理分段函数问题时，需注意
(1)分段函数不是多个函数，而是一个函数，自变量与函数值在不同范围内有不同的对应关系．
(2)解决分段函数问题时，首先要确定自变量的取值范围，然后选择与其相应的函数解析式．
1．(湘教版必修第一册P75·T1改编)(多选)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　 )
答案：BC
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin\f(πx,6)，x≤0，,logx，x>0，))则f(f(9))＝(　 )
A. B．－ C. D．－
答案：D
3．(人教A版必修第一册P65·例2改编)已知f(x)＝x＋3＋，若f(a)＝，则a＝________.
答案：1或－
4．(苏教版必修第一册P101·T6改编)函数f(x)＝＋的定义域是________．
答案：(－4,4]
5．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
答案：2x－
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
基础点(一)　函数的定义域　
[题点全训]
1．函数y＝的定义域为(　 )
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
解析：选B　要使函数有意义，x需满足解得－12．已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，则函数f(3x－1)的定义域为(　 )
A．(－7,2) B.
C．[－7,2] D．
解析：选D　设3x－1＝t，由函数f(x)的定义域为[－2,1]，得函数f(t)的定义域为[－2,1]，即－2≤t≤1，因此－2≤3x－1≤1，解得－≤x≤.
3．已知函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，则函数f(1－2x)的定义域为(　 )
A．[－2,1] B．[1,2] C．[－2,3] D．[－1,3]
解析：选C　因为函数f(2x－3)的定义域是[－1,4]，所以－1≤x≤4，即－5≤2x－3≤5，所以f(x)的定义域为[－5,5]，所以f(1－2x)满足－5≤1－2x≤5，所以－2≤x≤3，所以函数f(1－2x)的定义域为[－2,3]．故选C.
[一“点”就过]
求具体函数的定义域 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可
求抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域
基础点(二)　函数的解析式　
[题点全训]
1. 已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为__________．
解析：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：f(x)＝x2－1(x≥1)
2．若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
解析：(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.所以解得所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
答案：f(x)＝x2－x＋3
3．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
解析：(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，所以f(x)＝2x.
答案：f(x)＝2x
[一“点”就过]
求函数解析式的常用方法
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式
待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法
换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围
解方程组法 已知关于f(x)与f 或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)
已知函数定义域求参数(逆向思维)
————————————————————————————————————————
[典例]　若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－∞，＋∞) B.
C. D．
[解析]　由题意知，要使函数有意义，必须mx2＋4mx＋3≠0，即要使函数的定义域为R，则必须使mx2＋4mx＋3≠0在R上恒成立．①当m＝0时，满足条件；②当m≠0时，一元二次方程mx2＋4mx＋3＝0无实根，则Δ＝16m2－12m<0，解得0[答案]　D
已知函数的定义域求参数问题的思路
求解此类问题需运用逆向思维以及化归与转化的思想方法．化归与转化即通过某种转化过程，将一个不易解决的问题转化为一个已经解决或比较容易解决的问题．　　
[针对训练]
已知函数f(x)＝－x2＋4x＋1，其中x∈[－1，t]，函数的值域为[－4,5]，则实数t的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋1＝－(x－2)2＋5，对称轴方程为x＝2，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，f(－1)＝－4，f(2)＝5，由－x2＋4x＋1＝－4，可得x＝－1或x＝5，因为x∈[－1，t]时，f(x)的值域为[－4,5]，所以2≤t≤5，所以实数t的取值范围是[2,5]．
答案：[2,5]
重难点　分段函数的应用　
考法1　求函数值
[例1]　(1)已知函数f(x)＝则f(9)＝(　 )
A．16 B．8 C．－8 D．－16
(2)已知函数f(x)＝则f的值是(　 )
A．9 B．－9
C. D．－
[解析]　(1)根据题意，f(9)＝2f(7)＝4f(5)＝8f(3)＝16f(1)，又f(1)＝1－2＝－1，则f(9)＝16f(1)＝－16.故选D.
(2)∵>0，则f＝log2＝－2，
又∵－2<0，则f＝f(－2)＝3－2＝.
[答案]　(1)D　(2)C
求分段函数的函数值的方法
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．　　
考法2　与方程结合
[例2]　已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是(　 )
A．－3或5 B．3或－3
C．－3 D．3或－3或5
[解析]　由f(x)＝当a<1时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；当a>1时，f(a)＝2a＝10，解得a＝5，故a的值是－3或5.
[答案]　A
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．　　
考法3　与不等式结合
[例3]　(1)已知f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集为________．
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
[解析]　(1)由题意得，不等式f(x)＞f(1)等价于或解得－2＜x＜0或x＞1，
故不等式f(x)＞f(1)的解集为(－2,0)∪(1，＋∞)．
(2)由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，∴－1，显然成立．当x>时，原不等式为2x＋2>1，显然成立．综上可知，x的取值范围是.
[答案]　(1) (－2,0)∪(1，＋∞)　(2)
涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．　　
[针对训练]
1．已知f(x)＝则f(f(x))≥1的解集是(　 )
A．(－∞，－]　 B.(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．[4，＋∞)　　 D．(－∞，－]∪[4，＋∞)
解析：选D　当x≥0时，f(x)＝≥0，所以f(f(x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝≥1，解得x≥4；当x＜0时，f(x)＝x2＞0，所以f(f(x))＝f(x2)＝≥1，解得x≥(舍)或x≤－.综上，x≥4或x≤－.故选D.
2.已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________.
解析：由题意，得f()＝()2－4＝2.又f(f())＝3，所以f(2)＝3，即|2－3|＋a＝3，解得a＝2.
答案：2
3．(2022·四川诊断性测试)已知函数f(x)＝
则f(f(5))＝________，不等式f(x＋2)＋f(x)＞f(2)的解集为________．
解析：∵f(5)＝log24＝2，∴f(f(5))＝f(2)＝1.∴f(x＋2)＋f(x)＞f(2)＝1，
则或
或解得x＞2或1＜x≤2，则原不等式的解集为{x|x＞1}．
答案：1　{x|x＞1}
层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点)
一、全面清查易错易误点
1．(误认为f(g(x))与f(h(x))中“x”的含义相同)已知f(x2－1)的定义域为[0,3]，则f(2x－1)的定义域是(　 )
A. B.
C. D．
解析：选B　∵f(x2－1)的定义域为[0,3]，∴0≤x≤3，∴－1≤x2－1≤8，即f(x)的定义域为[－1,8]．∴在f(2x－1)中－1≤2x－1≤8，∴0≤x≤，即函数f(2x－1)的定义域为.
2．(忽视新元的范围致误)若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝________.
解析：由题意，f(2x)＝4x－2x＝(2x)2－2x，设t＝2x>0，则f(t)＝t2－t，t>0，所以f(x)＝x2－x，x>0.
答案：x2－x(x>0)
3．(忽视自变量的范围致误)设函数f(x)＝ 则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1 (x＋1)2≥1 x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1 4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x∈(－∞，－2]∪[0,10]．
答案：(－∞，－2]∪[0,10]
4．(忽视自变量的实际意义)某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100 m的可作为围墙的材料，则场地的面积S(单位：m2)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为____________．
解析：由于场地的长为x m，则宽为(50－x)m，由题意得S＝x(50－x)．易知x＞0,50－x＞0，所以自变量x的取值范围为0＜x＜50.故所求函数的关系式为S＝x(50－x)(0＜x＜50)．
答案：S＝x(50－x)(0＜x＜50)
二、融会贯通应用创新题
5．(借助数学文化)中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》时首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应法则是公式、图象、表格还是其他形式．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(－2)＋1)的值为(　 )
x x≤0 0y 1 2 3
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C　f(f(－2)＋1)＝f(1＋1)＝f(2)＝3.
6．(链接生活实际)(多选)如图所示，一座小岛与海岸线上最近的P点的距离是2 km，从P点沿海岸线正东12 km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h，步行的速度为5 km/h，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离．设u＝＋x，v＝－x，则(　 )
A．函数v＝f(u)为减函数
B．15t－u－4v＝32
C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少
D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h
解析：选AC　∵u＝＋x，v＝－x，∴＝，x＝，uv＝4，易知v＝在(0，＋∞)上是减函数，A正确；t＝＋＝＋－，整理得15t＝u＋4v＋36，B错误；由A、B得15t＝u＋＋36≥2＋36＝44，当且仅当u＝，即u＝4时取等号，由＋x＝4，解得x＝＝1.5，C正确；当x＝4时，t＝＋，t－3＝－＝＝>0，t>3，D错误．故选A、C.
7．(创新命题形式)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度．他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1.依据该同学的想法可得到的合理的成年男子高个子系数k关于身高x(单位：cm)的函数关系式为________________．
解析：由题意，设k＝ax＋b(a>0)，x∈[160,190]．
由解得所以k＝x－，
所以k＝
答案：k＝
8．(强化开放思维)有以下三个条件：①定义域不是R；②值域为R；③奇函数．写出一个同时满足以上三个条件的函数：f(x)＝________.
解析：同时满足题中三个条件的函数为y＝tan x或y＝等．
答案：(答案不唯一)
[课时验收评价]
一、点全面广强基训练
1．函数y＝的定义域为(　 )
A．(－∞，－1] B．[1,2)∪(2，＋∞)
C．[－1,1] D．∪
解析：选D　要使得函数y＝有意义，必须满足解得－1≤x<－或－2．(多选)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是(　 )
A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x
B．f(x)＝x，g(x)＝()2
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a＞0且a≠1)
解析：选CD　对于选项A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于选项B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于选项C，g(x)＝＝x，两函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数；对于选项D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数．
3．已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为(　 )
A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝3x－2 D．f(x)＝2x－3
解析：选C　因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝kx＋b，k≠0，则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b，因为所以解得k＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x－2.故选C.
4．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　 )
A．f(－2)＝4 B．若f(m)＝9，则m＝±3
C．f(x)是偶函数 D．f(x)在R上单调递减
解析：选AD　由于－2<0，所以f(－2)＝(－2)2＝4，故A选项正确；由f(m)＝9>0知m≤0且m2＝9，因此m＝－3，故B选项错误；由f(x)的图象(图略)可知f(x)是奇函数，且在R上单调递减，故C选项错误，D选项正确．综上，正确的结论是A、D.
5．已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)A．(－∞，0] B．(3，＋∞)
C．[1,3) D．(0,1)
解析：选B　由f(x)＝可得当x<1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝log22＝1，要使得f(2x＋1)3，即不等式f(2x＋1)6．已知函数f(2x)＝log2x＋x，则f(4)＝________.
解析：令x＝2，则f(22)＝f(4)＝log22＋2＝1＋2＝3.
答案：3
7．已知函数f(x)＝若f(a)＝2，则实数a＝________.
解析：当a≥0时，令a2＋1＝2，解得a＝1；当a<0时，令＝2，解得a＝－，故a＝1或a＝－.
答案：1或－
8．已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，则函数y＝的定义域为________．
解析：已知函数f(x)的定义域为[－2,1]，对于函数y＝，有即解得0答案：(0,1)
9．(1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3，求f(x)；
(2)已知f[f(x)]＝4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x)；
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝x，求f(x)．
解：(1)令t＝x＋1，则x＝t－1.∴f(t)＝2(t－1)2－(t－1)＋3＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6.
∴f(x)＝2x2－5x＋6.
(2)∵f(x)为一次函数，∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)．∴f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9.∴解得或
∴f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
(3)∵2f(x)＋f＝x，①
∴2f＋f(x)＝.②
联立①②式，消去f，得f(x)＝x－.
10．(2022·济宁高三月考)已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)求f(x)的最大值．
解：(1)∵>1，∴f＝－2×＋8＝5.∵0<<1，∴f＝＋5＝.∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)函数f(x)的图象如图．
(3)由(2)中图象可知，当x＝1时，f(x)取得最大值，最大值为6.
二、重点难点培优训练
1．(多选)在数学中有许多以数学家的名字命名的定义、定理、公式、法则和方程等，其中德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数．下列关于狄利克雷函数f(x)的说法正确的是(　 )
A．f(f(0))＝1
B．对于任意实数x，均有f(x＋)＝f(x)成立
C．f(f(x))为偶函数
D．存在无数个实数x，使得f(－x)＝－f(x)成立
解析：选ACD　因为f(f(0))＝f(1)＝1，所以A选项正确；因为当x＝－时，有f(x＋)＝f(－＋)＝f(0)≠f(－)，所以B选项错误；无论x是无理数还是有理数，都有f(f(x))＝1，f(f(－x))＝1，则f(f(x))＝f(f(－x))，即函数f(f(x))为偶函数，所以C选项正确；因为对于任意的无理数x，都有f(x)＝0＝－f(－x)成立，所以D选项正确．
2．已知函数f(x)＝ 的定义域为R，则m的取值范围是(　 )
A．(－1,2) B．(－1,2] C．[－1,2] D．[－1,2)
解析：选C　由题意得，(m＋1)x2－(m＋1)x＋≥0在R上恒成立．当m＋1＝0，即m＝－1时，f(x)＝恒成立，符合题意；当m＋1≠0时，只需解得－13．设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
解析：选D　∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)4．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，则f(x)＝[x]，x∈[－1,2]的值域为________，g(x)＝x[x]，x∈[－1,2]的值域为________．
解析：当x∈[－1,2]时，f(x)＝[x]可取－1,0,1,2，即函数f(x)的值域为{－1,0,1,2}．因为x∈[－1,2]，g(x)＝x[x]＝根据分段函数的性质可知，函数g(x)的值域为[0,2)∪{4}．
答案：{－1,0,1,2}　[0,2)∪{4}
5．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，∴y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．

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