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高中数学函数的奇偶性知识点及例题解析
一、知识要点：
1、函数奇偶性的概念
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。
理解：
(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：
奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.
3、奇偶函数的图象：
奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：
①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
5、判断函数奇偶性的方法：
⑴、定义法：对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或〕函数f（x）是偶函数；
对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或 函数f（x）是奇函数；
判断函数奇偶性的步骤：
①、判断定义域是否关于原点对称；
②、比较与的关系。
③、扣定义，下结论。
⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，
⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若为偶函数，则。
二、典例分析
1、给出函数解析式判断其奇偶性：
分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1). (2) .
解：函数的定义域是，
∵ ，∴ ，
∴ 为偶函数。
（法2—图象法）：画出函数的图象如下：
由函数的图象可知，
为偶函数。
说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、
填空题可用图象法判断函数的奇偶性。
(2) . 解：由 ，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).
∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1). (2). 。
解： (1).由，解得
∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则.
∴.
∴为奇函数.
说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。
(2). 由，解得 ，∴ 函数定义域为，
又∵，∴，
∴且，
所以 既是奇函数又是偶函数。
【例3】 判断下列函数的奇偶性：
(1).
解析 (1) .函数的定义域为R，
当时，
当时，
当时，
综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。
说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。
2、抽象函数判断其奇偶性：
【例4】 已知函数对任意的非零实数恒有判断函数的奇偶性。
解：函数的定义域为，
令，得，
令，则
取，得
故函数为偶函数。
3、函数奇偶性的应用：
(1) . 求字母的值：
【例5】已知函数是奇函数，又，，求的值.
解：由得，∴。
又得，而得，∴，
解得。又，∴或.
若，则，应舍去；若，则b=1∈Z.
∴。
说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(－1)=－f(1)，得c =0。
(2) . 解不等式：
【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。
分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.
解：画图可知f(x)＜0的解集为 ｛x｜－1＜x＜1｝，
∴f(x－1)＜0，即－1＜x-1＜1，
∴解集为｛x｜0＜x＜2｝.
（3）函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
　　7.已知f(x)=x5+ax3 bx 8，且f( 2)=10，求f(2).
　　解：法一：∵f( 2)=( 2)5+( 2)3a ( 2)b 8= 32 8a+2b 8= 40 8a+2b=10
　　　　　　　∴8a 2b= 50 ∴f(2)=25+23a 2b 8=8a 2b+24= 50+24= 26
　　　　法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
　　　　　　　∴g( 2)= g(2) ∴f( 2)+8= f(2) 8
　∴f(2)= f( 2) 16= 10 16= 26.
　　8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2 x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.
解：∵奇函数图象关于原点对称，
∴x＞0时，,
又f(0)=0
　　　，如图
　　　　　　　　　
　　9. 设定义在[ 3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a 1)＜f(a)时，求a的取值范围.
解：∵f(a 1)＜f(a) ,偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增
∴f(|a 1|)＜f(|a|)
　　　　必有|a 1|，|a|∈[0，3]
　　　　.

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