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专题一 函数及其性质与幂指对函数
开篇语
函数是高中数学主要内容之一，也是高考每年必考的重要内容之一，在历年高考中，就模块一单一的内容来讲主要围绕函数的定义、最大值、最小值、函数图象性质、反函数求法和性质、指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质、函数解析式与抽象函数、函数的零点等知识进行考查。此外函数经常与数列、不等式、导数结合构成重要知识网络交汇，以此考查学生数学综合能力，本讲主要围绕模块一的知识选对相关问题进行分析研究，以求帮助同学们落实双基，逐步提高相关的做题能力。
第1讲 函数的概念
第一部分 知识点梳理
1、函数的定义
函数：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系，使_对于集合A中的任意一个数X在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应_______________，那么就称______f__为从集合A到集合B的一个函数，记作________，________其中叫做自变量，的取值范围A叫做__函数的定义域______；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做___值域_____。
2、函数的三要素：__定义域A______、__对应法则F______和______值域__为函数的三要素。
3、求函数的定义域
（1）当函数是以解析式形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合；
①负数不能为偶次方根；
②分母不能为零；
③函数本身的要求；
④有限个函数的四则运算得到的新函数，它的定义域是这有限个函数的定义域的交集。
（2）当函数是以实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。
4、求函数的解析式的常用方法
由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出，但不要忘记确定自变量的取值范围。
求函数解析式的常用方法有：
（1）由实际问题建立函数关系式。
（2）待定系数法，适用于特征已明确的函数。
（3）换元法，已知，求，设可解出代入。
（4）构造方程法。
（5）代入法，复合函数解析式常用此法。
5、分段函数
当自变量在不同的取值区间（范围）内取值时，函数的对应法则也不同的函数为分段函数。
第二部分 金题精讲
1、求函数的定义域
典例1 求下列函数的定义域
（1）；（2）
总结与启迪：求函数的定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间表示
变式题1 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2、求复合函数的定义域
典例2 设的定义域是，求下列函数的定义域。
（1）；
总结与启迪：根据“若的定义域为，则的定义域为的解集”来解相应的不等式（或不等式组）。
变式题2 已知的定义域为，求的定义域。
3、求函数的值域
典例3 求下列函数的值域 （图像的作用，图像的复合、叠加、移动）
（1）； （2）； （3）； （4）；
总结与启迪：利用熟知的基本函数的值域，通过对表达于简单的变形和观察求出函数的值域。
变式题3 求函数的值域
4、函数图象的应用
典例4 若是这两个函数的较小者，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 1 C. -1 D.无最大值
总结与启迪：函数图象可以形象地反映函数的性质，通过观察图象可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等，应用函数图象解题体现了数形结合的思想方法。
变式题4 下图所表示的解析式为（ ）
A. EMBED Equation.KSEE3
B.
C.
D.
5、求函数的解析式
典例5 求函数的解析式
已知，求。
总结与启迪：换元法（或配凑法）是求函数解析式的重要方法，若不清楚函数类型，比如已知的解析式，求的解析式，可采用配凑法或换元法，配凑法是将的右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；换元法可今，解出，即用表示，然后代入中即可求得，从而求得。
变式题5 已知，求。
6、分段函数求值域
典例8 设定义在正整数集上的函数满足，试求的值。
总结与启迪：求分段函数的函数值要注意自变量所在的范围及其对应的解析式，有时需要反复利用对应关系才能求出函数值。
变式题8 已知且，则的值是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D.10
7、分段函数的图象
典例9 已知
（1）画出的图象； （2）求的定义域和值域；
总结与启迪：研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图象。
变式题9 求下列函数的图象及值域：
（1） （2）
课后自测
1、（1）若的定义域为，求的定义域。
（2）若的定义域为，求的定义域。
2、求下列函数的解析式
（1）已知，求。
（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式。
第2讲 函数的基本性质
第一部分 知识点梳理
1、函数的单调性：
函数单调性的定义：设函数的定义域I，如果
（1）若当时，都有_________，则称在这个区间上是_____函数；
（2）若当时，都有_________，则称在这个区间上是_____函数；
函数单调区间：
若函数在某个区间是_______，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫作函数的_________。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
2、函数单调性的判断
（1）图象法
即先作出函数的_________，根据_________来判断。这种方法适用于图象容易作出的函数。
（2）定义法
定义法是证明函数单调性最基本、最重要的方法，其步骤是：
第一步：取值。即设是该区间内的任意两个值，且。
第二步：作差。准确作出差值：（或）
第三步：变形。通过因式分解、配方、分子（分母）有理化等方法，有利于判断差的符号的方向。
第四步：定号。确定（或）的符号，当符号直接确定时，可以进行分类讨论、等价转化，然后作差、作商等思路进行。
第五步：判断。根据定义作出判断。
（3）直接法
运用已知的结论，直接得到函数的单调性。如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。
了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：
①函数与函数的单调性相反。
②函数与（c为常数）具有相同的单调性。
③当时，函数与c具有相同的单调性；当时，它们具有相反的单调性；
④若，则函数与具有相反的单调性
⑤若，则函数与具有相同的单调性
⑥对于函数可以总结为：增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减。
⑦当函数与的单调性相同时，复合函数是增函数；
当函数与的单调性相异时，复合函数是减函数；
简称为口诀“同增异减”
3、函数的最值
设函数的定义域I，如果存在实数M满足：
对于任意，都有___y<=M_____；存在_x属于I__，使y=M_________ M是函数的最大值
（1）对于任意，都有_________；（2）存在_________，使_________ M是函数的最小值
4、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性的定义：对于函数,其定义域D关于原点对称：
如果，恒有________________，那么函数为奇函数。
特别地，如果的定义域包含0，则。
如果，恒有________________，那么函数为偶函数。
（2）奇偶函数的图象特征：
函数是奇函数的象关于__________对称；
函数是偶函数的象关于__________对称；
5、函数的周期性：
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数就叫周期函数，T是周期。
第二部分 金题精讲
1、判断或证明函数的单调性
典例1 证明函数在上递减。
总结与启迪：函数的单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤，简记为“取值－作差－变形－定号－判断”。
变式题1 证明函数在上是减函数。
2、求函数的单调区间
典例2 求函数的单调区间。
变式题2 求下列函数的单调区间：
3、利用单调性求参数的取值范围
典例3 已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围。
总结与启迪：（1）解决这类与抽象函数有关变量的取值范围问题，关键在于将不等式两边化成函数值的形式，然后利用函数的单调性“脱去”函数记号，从而转化为熟悉的不等式。（2）注意考虑函数的定义域，即必须在定义域内。
变式题3 已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围。
4、由函数图象求最值。
典例4 已知函数，求的最大值、最小值。
总结与启迪：分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小者，故求分段函数的最大值或最小值，就先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。当易作出分段函数的图象时，可观察的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值与最小值。
变式题4 试求函数的最值。
5、由函数的单调性求最值
典例5 求下列函数的最大值和最小值
（1）；
（2）；
总结与启迪：（1）若函数在闭区间上是减函数，则在上的最大值为，最小值为。（2）若函数在闭区间上是增函数，则在上的最大值为，最小值为。
变式题5 求函数在上的最值。
6、求二次函数的最值
典例6 求二次函数在下列区间上的最小值。
（1） （2）
总结与启迪：求二次函数在某区间上的最值的关键是判断函数图象的对称轴与区间的位置关系。
变式题6 求函数在上的最值。
7、判断函数的奇偶性
典例7 试确定函数的奇偶性。
总结与启迪：（1）定义是判断或讨论函数奇偶性的依据。（2）定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数。例如，函数在区间上是偶函数，但在区间上却是非奇非偶函数。
变式题7 判断下列函数的奇偶性
（1）； （2）；
（3） （4）
八、判断分段函数的奇偶性
典例8 判断下列函数的奇偶性
总结与启迪：对于分段函数的奇偶性的判断，要特别注意与所满足对应关系。
变式题8 判断函数的奇偶性。
9、抽象函数奇偶性的证明
典例9 已知函数在上有定义，当且仅当时，，且对任意都有试证明：
（1）为奇函数；
（2）在上单调递减。
总结与启迪：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力。对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。
变式题9 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的都满足
（1）求，的值；
（2）证明为奇函数。
10、利用函数的奇偶性求函数解析式
典例10 是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式。
总结与启迪：解答该类问题的思路是：
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设在哪个区间内。
（2）要利用已知区间的解析式进行代入。
（3）利用函数的奇偶性写出或，从而解出。
注意，若函数的定义域内含0且为奇函数时，则必有，但若为偶函数，未必。
变式题10 已知是R上的奇函数，当时，，求函数的解析式。
11、函数的奇偶性与单调性的综合应用
典例11 定义在上的偶函数，当时单调递减，设，求的取值范围。
总结与启迪：本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式（组）。解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的不等式”。
变式题11 设在R上是偶函数，在区间上递增，且有，求的取值范围。
第3讲 基本初等函数（上）
第一部分 知识点梳理
1、整数指数幂的运算法则
同底数幂相乘：底数不变，指数相加 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 幂的乘方：底数不变，指数相乘 积的乘方，各因子乘方的积
规定：；
2、次方根的概念及性质
（1）①如果一个数的的平方等于，那么这个数叫做平方根.
②如果一个数的的立方等于，那么这个数叫做立方根.
③一般地，如果，那么叫做的次方根（）.
（2）①正数的奇次方根是一个负数；负数的奇次方根是一个负数.
②正数的偶次方根有两，这两个数互为相反数；
（3）0的任何次方根都是0.
3、根式的定义及性质
（1）根式的概念: 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
（2）根式的性质
①；
②；
③（为大于1的奇数）；
④（为大于1的偶数）
4、分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：
负分数指数幂 规定：==
性质 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
5、有理数指数幂的运算性质
（1）； （2）； （3）
6、指数函数的定义
函数叫做指数函数，其中为自变量，函数的定义域为R.
7、指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 （0，+∞）
过定点 过定点（0，1），即时，
函数值的变化 当时，；当时， 当时，；当时，
单调性 在 R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
8、指数型函数的单调性
当时，函数与函数在相应区间上的单调性相同；当时，函数与函数在相应区间上的单调性相反。具体可用下表表示：
增 增
增 减
减 增
减 减
一般规律：“同增异减”，即与单调性相同时，复合函数为增函数；单调性不同时，复合函数为减函数。
第二部分 金题精讲
一、根式的化简与运算
典例1 计算：①；②
总结与启迪：（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个。
（2）根据运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对仅当时，恒有，若，则不一定。
（3）根式的性质，当为奇数时，，当为偶数时，
变式题1 化简的结果是（ ）
A.1 B. C.1或 D.0
二、条件根式的化简
典例2 设，化简.
总结与启迪：为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论。
变式题2 若代数式有意义，化简
三、有根式的代数式求值
典例3 已知，，求的值.
总结与启迪：本题主要考查根式的化简求值。若直接代入式子求解较繁，故应先化简变形，创造条件简化运算。
变式题3 已知,是方程的两根，且，求的值.
四、根式与分数指数幂的互化
典例4 将下列根式化成分数指数幂的形式：
⑴； ⑵； ⑶.
总结与启迪：此类问题应熟练应用。当所求根式含有很多重根号时，要搞清楚被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。
变式题4 将下列根式化成分数指数幂的形式：
⑴； ⑵.
五、分数指数幂的运算与化简
典例5 化简:
总结与启迪：根式与指数运算混合时，将根式化为分数指数幂表示运算较为方便。原式有根式时，最后结果一般应化为根式。
变式题5 计算下列各式：
⑴.; ⑵..
六、条件因式的化简与求值
典例6 已知.求：⑴；⑵.
总结与启迪：方法一注重了已知条件与所求问题之间的内在联系，运用整体思想解决问题，简化了运算过程。方法二较直接，要求代数式的值需求的值，故由已知等式可求得，使问题迎刃而解。
变式题6 当时，求的值.
七、指数幂运算的综合应用
典例7 计算下列各式
⑴.
⑵
⑶.
总结与启迪：在引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展，在进行有理数指数幂的运算时，一般思路是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质。同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程。
变式题7 ⑴化简：；
⑵计算：
八、指数函数概念的应用
典例8 形如①；②；③；④；⑤的式子是指数函数吗？
总结与启迪：在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则不是指数函数。
变式题8 若函数是指数函数，则的值为________.
九、指数函数的图象问题
典例9 如图所示是指数函数①;②;③;④的图像,则的大小关系是（ ）
② ③
A. B.
C. D. ① ④
总结与启迪：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于轴，当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于轴。简称当时，底大图高。
变式题9 已知，则指数函数①，②的图像为（ ）
十、利用指数函数的性质比较大小
典例十 比较下列每组中两个数的大小：
①，；②，；③，
总结与启迪：一般地，对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数的函数图象的变化规律来判断；对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可通过中间值来判断；幂的大小即为对应函数的函数值，故可考虑利用数形结合去判断。
变式题10 若，则，，之间的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
十一、解指数不等式
典例11 设，解关于的不等式.
总结与启迪：解指数不等式问题，需注意三点：
（1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论；
（2）形如的不等式，注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解；
（3）形如的形式，利用图象求解。
变式题11 如果（其中，），求的取值范围.
十二、指数型函数的定义域与值域：
典例12 求下列函数的定义域与值域：
⑴； ⑵
总结与启迪：（1）定义域和对应关系确定值域，因此定义域和值域是密切联系的，要求值域，先看定义域。
（2）复合函数问题可以通过换元法，化繁为简，解决问题，当我们综合解决问题的能力提高了以后，也可以不用换元法，直接将问题解决。
变式题12 求下列函数的定义域和值域：
⑴； ⑵.
十三、指数型函数的图象变换问题
典例13 利用函数的图象，作出下列函数的图象.
⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹
总结与启迪：（1）的图象可由的图象平移得到：当时，左移个单位，当时，右移个单位，（）的图象是由函数的图象经过向左（）、向右（）平移产生的。
（2）的图象可由的图象平移得到：时，上移个单位，时，下移个单位，如（）的图象是的图象经过向上（）、向下（）平移产生的。
（3）与（）的图象关于轴对称。
变式题13 已知函数.
⑴作出图象；
⑵有图象指出单调区间；
⑶有图像指出，当取什么值时有函数最值.
十四、指数型函数的单调性
典例14 讨论的单调性.
总结与启迪：求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成，通过考查和的单调性，求出的单调性。
变式题14 求出下列函数的单调区间.
⑴； ⑵.
十五、指数型函数的奇偶性的确定
典例15 已知函数.
⑴求的定义域；
⑵讨论的奇偶性；
⑶试说明.
总结与启迪：对一些比较复杂的函数进行奇偶性的判断，通常需要先化简再判断，在第（3）问中，由定义域的形式，自然想到分两种情况说明。
变式题15 当时，试讨论函数的奇偶性.
第3讲 基本初等函数（下）
第一部分 知识点梳理
1、对数的概念
对数的定义，如果，则叫做___________，记作_________，叫做对数的底数，N叫做真数。
2、两种重要对数
（1）以10为底的对数叫做___________，并把简记为___________。
（2）以无理数为底的对数，叫做_______并把简记为______
3、对数与指数之间的关系
当时，。
4、对数的基本性质
（1）___________和___________没有对数；
（2）
（3）。
5、对数的恒等式
将中的用替换即得=________（）
6、对数的运算性质
如果，那么
（1）；
（2）；
（3）
7、换底公式
（其中）的相关推论：
（1）___________（）；
（2）___________（）；
（3）___________；
（4）___________；
（5）__________；
8、对数的概念
函数___________叫做对数函数，其中___________是自变量。
9、对数函数的图象与性质。
定义
底数
图象
性质 定义域
值域
过定点 图象过定点_________，即.
单调性 在 R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
10、指数函数与对数函数的关系。
对数函数与指数函数互为_________。因此，对数函数的定义域就是指数函数的_________，即为_________；对数函数的值域就是指数函数的_________，即为_________。
11、反函数的性质
（1）互为反函数的两函数的图象关于_________对称。
（2）若点（m,n）在原函数的图象上，则点_________必在其反函数的图象上。
（3）原函数与其反函数的图象的交点必在直线_________上。
12、幂函数：
（1）幂函数的定义：形如_________（是常数，是自变量）的函数叫做幂函数，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。其定义域随着常数取值的不同而不同。
（2）幂函数的图象都过定点_________；
（3）在幂函数中我们主要讨论时的幂函数。
在幂函数中，为奇函数的是_________；为偶函数的是_________。定义域是R的是_________；定义域是的是_________。第一象限内是增函数的是_________；在第一象限内是减函数的是_________。
第二部分 金题精讲
1、由对数的概念求参数的取值范围
典例1 求下列各式中的取值范围。
（1）； （2）。
总结与启迪：求解此类式子中参数的范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组求解。
变式题1 求使式子有意义的的取值范围。
2、对数的运算
典例2 计算：
（1）；
（2）。
总结与启迪：利用对数的运算性质解决问题的一般思路：把复杂的真数化简。
变式题2 计算：。
3、换底公式的应用
典例3 计算：
总结与启迪：方法一是先在两个括号内分别换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底），然后再化简。上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法。
变式题3 计算
4、有条件的对数式的计算
典例4 （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值。
总结与启迪：求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求值的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至它们之间的联系。
5、求与对数函数有关的定义域
典例5 求下列函数的定义域：
（1）；
（2）
总结与启迪：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数的定义域的方法外，还要对这种函数的自身有如下要求：1、要特别注意真数大于零；2、要注意对数的底数。
变式题5 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
六、比较对数值的大小
典例6 比较下列各数的大小
（1）与；
（2）与；
（3）与。
总结与启迪：利用函数的单调性可进行对数的大小的比较，常用的方法有：
1、若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接判断；
2、若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论；
3、若底数不同，真数相同，则可用换底公式化为同底，再进行比较；
4、若底数、真数都不同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较。
变式题6 比较与的大小。
7、对数函数相关的值域
典例7 求下列函数的最大、小值。
（1） ；
（2）。
总结与启迪：首先求函数的定义域，然后用对数运算性质变形，并由对数函数的性质去求函数的最大、小值。
变式题7 函数的值域为____________。
8、利用对数函数图象作出函数图象
典例8 作出函数的图象。
总结与启迪：（1）一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（）或向左（）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（）或向下（）平移个单位而得到。
含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称。
（2）画的图象应抓住三个点。
变式题8 画出函数的图象，求使成立的的取值范围。
9、由函数的单调性解对数不等式
典例9 已知，求的取值范围。
总结与启迪：（1）解对数不等式问题通常转化为一般不等式（组）求解；
（2）解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则。
（3）若含有字母，应考虑分类讨论。
变式题9 已知，求的取值范围。
十、利用幂函数性质比较大小
典例10 比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和； （3）和
（4），和
总结与启迪：比较两个或多个数值的大小。若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”、“-1”或“0”这些数作为中间量来进行比较。
变式题10 比较下列各组数中两个数的大小；
（1）与； （2）与； （3）与。
第4讲 函数与基本方程
第一部分 知识点梳理
1、函数的零点：
对于函数使方程_________的实数叫做函数的零点（其实反应的就是函数值为0时，就是函数的零点）。
2、函数零点的性质：
方程有实数根___________________________；
___________________________；
如果函数在区间上图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根。
第二部分 金题精讲
1、求函数的零点
典例1 指出下列函数的零点；
①；②；③。
总结与启迪：求函数的零点的方法：
（1）代数法：函数零点就是相应方程的实数根，可用求根公式或分解因式分解。
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，图象与轴的交点的横坐标即为函数的零点。
变式题1 求下列函数的零点。
（1）；（2）；（3）。
2、判断函数零点的个数
典例2 求函数的零点个数。
总结与启迪：判断函数的零点的个数的方法主要有：
（1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数。
（2）由，得，在同一坐标系中作出和的图象，利用图象判定方程根的个数。
变式题2 求函数的零点个数。
3、已知函数零点的个数求参数的取值范围。
典例3 若函数仅有一个零点，求实数的取值范围。
总结与启迪：根据零点的个数求形如的函数中参数的取值范围时，要分和两种情况讨论。
变式题3 已知函数有两个零点，求的取值范围。
4、一元二次方程根的分布
典例4 已知关于的一元二次方程，若方程有两个根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求取值范围。
总结与启迪：本类题目重在考查方程根（或函数零点）的分布，解此类问题可设出方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制，要注意以下四点：（1）判别式；（2）对称轴；（3）所给区间端点的函数值；（4）图象开口方向。
变式题4 关于的方程有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围。
章末自测
1、设函数，且当时，有意义，求实数的取值范围。
2、设函数为奇函数，且对任意都有，当时，，，求在区间上的最大值。
3、已知函数
（1）求的定义域；
（2）讨论函数的单调性。
4、已知函数，。
（1）若在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围。
② ①
① ②
②
①
①
②

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